湖南 周志剛 譚宏志

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，而運(yùn)算推理是重要的研究方法，數(shù)學(xué)運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要價(jià)值，它在發(fā)展學(xué)生理性思維和培育學(xué)生思維能力中具有不可替代的作用.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果.它是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要工具,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格推理的重要途徑.數(shù)學(xué)運(yùn)算是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊內(nèi)容教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一,下面就筆者參與《教學(xué)考試》雜志社的命題征集活動(dòng)中命制的一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的命制歷程，與同行交流.

一、試題呈現(xiàn)與分析

【試題】已知函數(shù)f(x)=xlnx-(a+1)x+ea.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea對(duì)x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

1.試題考查意圖

本題以函數(shù)為背景，以導(dǎo)數(shù)為工具，考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題，具體考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及不等式恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)建模中的同構(gòu)思想，考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2.試題解法分析

第(1)問(wèn)思路：通過(guò)求導(dǎo)，研究函數(shù)的極值，從而求出函數(shù)的最值；

第(2)問(wèn)思路：不等式恒成立問(wèn)題有兩種常規(guī)處理方法：(ⅰ)參變分離后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；(ⅱ)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)的分類討論，求出參數(shù)取值范圍，而本題第(2)問(wèn)采用將兩邊式子轉(zhuǎn)化為相同結(jié)構(gòu)后，利用同構(gòu)思想轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出參數(shù)取值范圍.

解析：(1)依題意，f′(x)=lnx-a，令f′(x)=0，解得x=ea，因?yàn)閍>0，所以ea>1，當(dāng)1ea時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)的最小值為f(ea)=ealnea-(a+1)ea+ea=0.

(2)解法一：由已知f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea，

得xlnx-(a+1)x+ea≤(x-a-2)ex-1+ea

即xlnx-(a+1)x+ea≤(x-1)ex-1-(a+1)ex-1+ea=ex-1lnex-1-(a+1)ex-1+ea，

即f(x)≤f(ex-1)，因?yàn)閑x-1≥x對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以要使不等式f(x)≤f(ex-1)成立，

只需f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，又f′(x)=lnx-a，所以lnx-a≥0，即a≤lnx對(duì)x∈[1,+∞)恒成立，所以a≤(lnx)min=ln1=0，所以a≤0.

解法二：由已知f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea，

得(x-a-2)ex-1-xlnx+(a+1)x≥0,

對(duì)x∈[1,+∞)恒成立，取x=e代入得，

令g(x)=(x-a-2)ex-1-xlnx+(a+1)x,x∈[1,+∞),g(1)=0.

g′(x)=(x-a-1)ex-1-lnx+a,顯然g′(1)=0，

h′(x)單調(diào)遞增，令h′(1)≥0，解得a≤0，

當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)x∈[1,+∞)，h′(x)≥h′(1)≥0，于是h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

又h(x)≥h(1)=0，所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(0)=0，

即(x-a-2)ex-1-xlnx+(a+1)x≥0.

當(dāng)a>0時(shí)，存在x0∈(1,+∞)使得h′(x0)=0，

因?yàn)楫?dāng)1x0時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)有最小值h(x0)，且h(x0)

綜上,a的取值范圍為(-∞,0].

二、試題命制立意

1.明確考查知識(shí)

根據(jù)預(yù)先制定的雙向細(xì)目標(biāo)，明確了考查的必備知識(shí)為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，具體考查的內(nèi)容是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值(或最值)，并據(jù)此解決函數(shù)與方程和不等式有關(guān)的問(wèn)題.

2.預(yù)設(shè)度量難度

根據(jù)命題構(gòu)想，本題作為考試試卷的第20題，難度系數(shù)控制在0.35，具有一定的區(qū)分度，屬于試卷中等偏難題.

3.明確考查能力

本題主要考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力以及在處理數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力.

4.明確考查思想

在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想往往會(huì)同時(shí)體現(xiàn)，本題在命制中明確將構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的同構(gòu)思想作為考查的重點(diǎn)，著重考查函數(shù)與方程，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

三、試題命制歷程

1.試題背景

本題的試題素材來(lái)自于廈門大學(xué)研究生入學(xué)考試題：

ey+xlnx-x-xy≥0(x≥1,y≥0).

2.試題加工與完善

原題是雙變量構(gòu)成的二元不等式，筆者以該二元不等式左邊為目標(biāo)，預(yù)設(shè)變量x為主元，y為參數(shù)，于是得到原型函數(shù)f(x)=xlnx-(a+1)x+ea，再結(jié)合命題立意的要求，形成了第一稿：

已知函數(shù)f(x)=xlnx-(a+1)x+ea(a>0).

(1)求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a)ex-1+ea對(duì)x∈[e,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

但是在筆者解析過(guò)程中發(fā)現(xiàn)第二問(wèn)由不等式求參數(shù)取值范圍時(shí)，不利于下一步的計(jì)算，于是對(duì)函數(shù)進(jìn)行調(diào)整，并形成了第二稿：

已知函數(shù)f(x)=xlnx-(a+1)x+ea(a>0).

(1)求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea對(duì)x∈[e,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

調(diào)整后第二問(wèn)的解析：

由已知f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea，

得xlnx-(a+1)x+ea≤(x-a-2)ex-1+ea

即xlnx-(a+1)x+ea≤(x-1)ex-1-(a+1)ex-1+ea=ex-1lnex-1-(a+1)ex-1+ea，

即f(x)≤f(ex-1)，因?yàn)閑x-1≥x對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以要使不等式f(x)≤f(ex-1)恒成立，

只需f(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增，又f′(x)=lnx-a，所以lnx-a≥0，即a≤lnx對(duì)x∈[e,+∞)恒成立，

所以a≤(lnx)min=lne=1，所以0

考慮其中ex-1≥x對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.但是當(dāng)x=e時(shí)等號(hào)不成立，學(xué)生解題方法會(huì)因此受限，于是筆者進(jìn)一步修改自變量的范圍形成了第三稿：

已知函數(shù)f(x)=xlnx-(a+1)x+ea.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea對(duì)x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

這也是最終形成的定稿.

四、命題感悟

1.試題亮點(diǎn)

回顧試題命制過(guò)程，注重知識(shí)與方法，能力與素養(yǎng)的并重，體現(xiàn)了新高考命題的方向，主要有以下幾個(gè)亮點(diǎn)：(1)素材選擇來(lái)源于研究生考試試題，體現(xiàn)高考為大學(xué)選拔人才的功能，經(jīng)過(guò)深加工后的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)型函數(shù)，貼近高考，學(xué)生易于接受；(2)重視數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查，試題第(1)問(wèn)屬于常規(guī)考查，難度適中，大部分學(xué)生均可順利完成，第(2)問(wèn)通過(guò)改變參數(shù)與取值范圍，讓學(xué)生可從不同角度與方法解決，淡化技巧，注重通性通法，注重對(duì)主干知識(shí)的考試，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)；(3)注重?cái)?shù)學(xué)思想的考查，本題考查的函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想均為高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想，基于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的同構(gòu)思想是最大亮點(diǎn)；(4)命題中筆者嚴(yán)格遵循《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的高考命題建議，同時(shí)兼顧當(dāng)前學(xué)校學(xué)生的學(xué)情，試題有梯度，有人文關(guān)懷.

2.命題感悟

通過(guò)本次原創(chuàng)試題命制，筆者有以下幾點(diǎn)感悟：

(1)遵循標(biāo)準(zhǔn)，體現(xiàn)精神

命題是為選拔人才服務(wù)，所命試題要符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的育人導(dǎo)向，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí).

(2)精選素材，體現(xiàn)功能

命題要精選素材，好的素材是命制好試題的基礎(chǔ)，教師應(yīng)該在平時(shí)廣泛閱讀，留心積累，認(rèn)真研究教材與高考真題，對(duì)于競(jìng)賽題和大學(xué)試題也可嘗試了解研究，選好素材后，在命制過(guò)程中要體現(xiàn)考試的核心功能，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，能力為重的原則.

(3)兼顧學(xué)情，體現(xiàn)素養(yǎng)