夏 晨，戚承志，利 學(xué)，周卓群

(1. 北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，北京100044；2. 北京未來城市設(shè)計(jì)高精尖創(chuàng)新中心，北京100044；3. 城市交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)北京國際科技合作基地，北京100044)

在外部加載條件下，脆性材料將產(chǎn)生新的裂紋，而初始裂紋將會(huì)進(jìn)一步發(fā)展，最后貫穿并破壞材料。為了研究這類材料中裂紋的演化機(jī)理，已有多位學(xué)者提出并發(fā)展了I 型裂紋模型[1?8]。隨著軸向荷載的增大，主裂紋頂部會(huì)產(chǎn)生次生裂紋，而次生裂紋將呈現(xiàn)曲線擴(kuò)展，最終平行于加載方向。

HUANG 等[9]分析了側(cè)限以及應(yīng)變率效應(yīng)對(duì)于巖石材料動(dòng)力強(qiáng)度的影響。由于缺乏對(duì)材料力學(xué)性質(zhì)退化以及慣性效應(yīng)的影響，其研究結(jié)果不符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。BHAT 等[10]在前人模型[4? 11]的基礎(chǔ)上，引入損傷演化率，擴(kuò)大了該模型的適用范圍，但是該模型沒有考慮動(dòng)力加載時(shí)裂紋間的相互作用。

在單軸壓縮加載條件下，I 型裂紋模型可以表達(dá)具有穩(wěn)定裂紋擴(kuò)展的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[5?7]。該模型不能確定材料的壓縮強(qiáng)度極限，為了改進(jìn)這個(gè)缺陷，部分學(xué)者提出了一些可考慮裂紋相互作用的模型[12?19]，試件在動(dòng)力荷載作用下，裂紋間的相互作用強(qiáng)度取決于裂紋的初始尺寸、走向、密度及其空間分布。ASHBY 和SAMMIS[4]通過引入裂紋間的橋連附加內(nèi)力以考慮裂紋相互作用效應(yīng)，然而，該方法是一種近似的處理方式。KACHANOV 等 [12 ? 14]以及FABRIKANT[15? 16]提出了更一般的裂紋間相互作用的處理方法，KACHANOV 的方法基于應(yīng)力疊加原理來求解相互作用函數(shù)。根據(jù)KACHANOV 考慮裂紋間相互作用的方法，ZHENG 等[17]揭示了材料的整體破壞和率效應(yīng)的機(jī)理，但是其研究未考慮裂紋擴(kuò)展速度對(duì)斷裂韌性的影響以及彈性模型退化的影響。QI 等[20]考慮裂紋擴(kuò)展速度、彈性模量退化以及裂紋相互作用等因素，提出了巖石類材料動(dòng)力加載下的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系。此模型未考慮裂紋面滑動(dòng)過程中，滑動(dòng)速度對(duì)裂紋面摩擦系數(shù)的影響。研究表明：裂紋面摩擦滑動(dòng)對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋發(fā)展有重要影響[21?24]。

本文將考慮裂紋面滑動(dòng)過程對(duì)裂紋面摩擦行為的影響，提出一種考慮裂紋相互作用、裂紋密度以及裂紋面滑動(dòng)摩擦的裂紋動(dòng)力擴(kuò)展模型，用以研究軸向動(dòng)力加載過程中脆性材料的裂紋擴(kuò)展和動(dòng)力行為。

1 軸向加載下巖石的三維動(dòng)力模型

1.1 慣性效應(yīng)引起的附加應(yīng)力

1.2 軸向加載作用下的裂紋擴(kuò)展三維模型

假定體積為V的試樣中，含有N個(gè)幣狀的初始裂紋，其平均直徑為2a。根據(jù)ASHBY 和SAMMIS[4]，有效彈性模量可以表達(dá)為：

式中：Eeff和E分別為材料的有效彈性模量和彈性模量；D為損傷因子，可由式(4)求解：

式中：l為次生裂紋的長(zhǎng)度； α=cosψ ， ψ為主裂紋平面與加載方向的夾角；Cr為單位體積內(nèi)的裂紋數(shù)，Cr=N/V。

根據(jù)胡克定理，試件z方向的應(yīng)變可以表達(dá)為：

式中，νeff為有效泊松比。假定有效彈性模量與體積模量相等，則有：

將式(1)～式(4)代入式(8)，試件的軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下：

式(9)右側(cè)第一項(xiàng)為動(dòng)力加載項(xiàng)，第二項(xiàng)為應(yīng)變加速度的貢獻(xiàn)。根據(jù)式(9)，可研究動(dòng)力加載過程中，裂紋相互作用、裂紋密度以及裂紋面滑動(dòng)摩擦行為等不同因素對(duì)巖石材料的裂紋擴(kuò)展、試件受力變形和強(qiáng)度的影響。

1.3 裂紋尖端運(yùn)動(dòng)方程

通過求解式(14)，可以求得裂紋擴(kuò)展速度以及裂紋長(zhǎng)度。

假定主裂紋和次生裂紋的半徑分別為a和l，裂紋中心的間距為2b，如圖2 所示。依據(jù)ASHBY和SAMMIS[4]的研究，次生裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)為：

圖2 I 型裂紋受力狀態(tài)及單個(gè)I 型裂紋示意圖[27]Fig. 2 Stress condition for mode I crack and diagram of one isolated crack[27]

1.4 裂紋的動(dòng)力相互作用模型

不同于ASHBY 和SAMMIS[4]引入裂紋間的橋連附加內(nèi)應(yīng)力來近似考慮裂紋間相互作用，LEKESIZ等[28]基于Kachanov 的研究，提出針對(duì)I 型裂紋的裂紋相互作用計(jì)算方法：

1.5 裂紋壁摩擦系數(shù)與滑移速度的相關(guān)性

在研究斷層活動(dòng)以及與摩擦相關(guān)的巖石破裂問題時(shí)，常采用速度及狀態(tài)依賴性摩擦本構(gòu)模型(Rate-and state-frictional law)[29? 31]描 述 其 摩 擦 行為。次生裂紋受到初始裂紋滑動(dòng)的驅(qū)動(dòng)，亦可以采用速度及狀態(tài)依賴性摩擦本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行研究。裂紋摩擦系數(shù)可以表達(dá)為：

實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果[32?33]表明：當(dāng)滑移速度大于0.1 m/s 后，摩擦系數(shù)會(huì)快速降低，這與速度弱化和非穩(wěn)態(tài)滑移的初動(dòng)是密切相關(guān)的。巖石類別對(duì)摩擦系數(shù)與滑動(dòng)速度的依賴性影響不大，可以將滑動(dòng)分為三個(gè)速度區(qū)間，如圖3 所示。

圖3 不同巖石材料摩擦系數(shù)與滑移速度相關(guān)性[32?33]Fig. 3 Dependence of friction coefficient on slip velocity[32?33]

為了統(tǒng)一這三個(gè)速度區(qū)間，SPAGNUOLO 等[34]提出一種修正的摩擦定律(Modified friction law, MFL)：

為了確定摩擦對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響，需要先求解裂紋面的相對(duì)滑移量，進(jìn)一步可求得相應(yīng)的摩擦面滑動(dòng)速度。圖4 展示了單一I 型裂紋的張開。N、n、T以及t分別是單位矢量，其方向如圖4所示。AA'為初始裂紋，其長(zhǎng)度為2a；次生裂紋長(zhǎng)度為l。驅(qū)動(dòng)初始裂紋滑動(dòng)的力如圖4(b)所示，其中：F為驅(qū)動(dòng)力；Q為抵抗力；而FC為彈性閉合力；R為沿裂紋均勻分布的開裂力?；瑒?dòng)會(huì)沿初始裂紋AA′產(chǎn)生相對(duì)位移uW。而裂紋間相互作用會(huì)引起I 型裂紋上均勻分布的附加荷載，進(jìn)而引起初始裂紋的相對(duì)位移uF，如圖5 所示[35]。

圖4 I 型裂紋初始裂紋面滑移時(shí)的受力狀態(tài)[35]Fig. 4 Slip over pre-existing crack as a driving mechanism for wing crack growth[35]

圖5 I 型裂紋張開時(shí)的相互作用效應(yīng)[35]Fig. 5 Effect of crack interaction on wing crack opening[35]

因此，初始裂紋面的總相對(duì)滑動(dòng)量可表達(dá)為：

對(duì)式(22)所求解的總位移量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即可得到初始裂紋面的滑移速度，進(jìn)而通過式(21)求解裂紋面的動(dòng)摩擦系數(shù)。

2 不同裂紋面摩擦行為對(duì)動(dòng)力加載過程的影響

根據(jù)ZHANG 等[36]的霍普金森桿試驗(yàn)(SHPB)，試樣的半徑為37 mm，彈性模量E和泊松比ν分別取17.2 GPa 和0.19，初始裂紋長(zhǎng)度為3 mm。入射應(yīng)力脈沖持續(xù)時(shí)間與撞擊桿長(zhǎng)相關(guān)，可以表達(dá)為：

式中：t/μs 為時(shí)間； σi為入射應(yīng)力脈沖的最大幅值，與撞擊速度相關(guān)。對(duì)于半徑37 mm 試件的SHPB 試驗(yàn)，入射應(yīng)力脈沖的最大幅值與撞擊速度的關(guān)系如下：

當(dāng)撞擊速度為15.7 m/s 時(shí)，入射應(yīng)力脈沖的最大幅值為128.04 MPa。假設(shè)試件的軸向應(yīng)變值與入射應(yīng)力脈沖值成正比，即：

根據(jù)上述方程及參數(shù)，可求得試件的軸向應(yīng)變、應(yīng)變率和應(yīng)變加速度，其結(jié)果如圖6～圖8 所示。

圖6 軸向應(yīng)變隨時(shí)間的變化Fig. 6 Axial strain vs time

圖7 軸向應(yīng)變率隨著時(shí)間的變化Fig. 7 Axial strain rate of the specimen vs time

圖8 軸向應(yīng)變加速度隨時(shí)間的變化Fig. 8 Variation of axial strain acceleration of the specimen with time

QI 等[20]研究了在摩擦系數(shù)為常數(shù)情況下，不同裂紋密度對(duì)裂紋的啟裂應(yīng)力、動(dòng)力加載過程、動(dòng)強(qiáng)度以及慣性效應(yīng)的影響。但是實(shí)際觀測(cè)和試驗(yàn)結(jié)果表明：裂紋面上的摩擦系數(shù)與滑移速度相關(guān)，在裂紋面滑動(dòng)過程中并非常數(shù)。下面將采用第1 節(jié)提出的模型，以ZHANG 等[36]的試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為參考，采用Matlab 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分析動(dòng)力摩擦過程對(duì)動(dòng)力加載過程中巖石材料行為的影響。

2.1 動(dòng)摩擦條件下裂紋密度的影響

裂紋面上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，其摩擦行為可以采用速度及狀態(tài)依賴型摩擦本構(gòu)模型進(jìn)行研究。本節(jié)將采用式(21)描述的摩擦本構(gòu)模型，以正方形分布的裂紋陣列(如圖9 所示)為例，考慮裂紋間相互作用，分析不同裂紋密度條件對(duì)裂紋啟裂應(yīng)力、動(dòng)力加載過程、最高強(qiáng)度以及慣性效應(yīng)的影響。

圖9 正方形分布裂紋陣列示意圖[31]Fig. 9 Periodic square configuration cracks[31]

a2?b2、p和Vc分別取0.01、0.8 以及0.1。V0=1 μm/s，μ0(V0)≈0.7。為考慮不同裂紋密度的影響，假定 λ=a/b分別為0.15、0.30、0.50、0.70、0.8、0.9 和0.95。其余主要計(jì)算參數(shù)如表1 所示。聯(lián)合式(9)和式(18)，可計(jì)算不同裂紋密度條件時(shí)試件的動(dòng)力加載過程、破壞強(qiáng)度以及慣性效應(yīng)的影響等，計(jì)算結(jié)果如圖10～圖12 和表2 所示。在圖10 中，“S-0.9”代表裂紋密度參數(shù)為 λ=0.9的正方形陣列裂紋結(jié)果，文中其他相關(guān)表示均遵守這種規(guī)則。

圖1 圓柱體試件坐標(biāo)示意圖Fig. 1 Diagram of coordinate axes for cylindrical sample.

圖10 裂紋密度參數(shù)為0.9 時(shí)的裂紋面滑移速度Fig. 10 Slip velocity vs time for 'S-0.9' cracks

表1 數(shù)值計(jì)算采用的參數(shù)Table 1 List of the parameters for the numerical calculations

從圖11 和表2 可以看出，隨著裂紋密度從0.15 增大至0.95，裂紋互相作用逐漸增強(qiáng)，相互作用系數(shù)從1.0008 逐步增長(zhǎng)至1.4218。而裂紋的啟裂時(shí)刻從64×10?6s 逐步提前至59×10?6s，啟裂時(shí)的加載應(yīng)力由3.46 MPa 降低至2.29 MPa。這個(gè)過程中，試件破壞的時(shí)刻亦不斷提前，破壞時(shí)的加載應(yīng)力從199.18 MPa 大幅下降至22.21 MPa。當(dāng) λ=0.15時(shí)，裂 紋 擴(kuò) 展 持 續(xù) 了60×10?6s；當(dāng)λ=0.95時(shí)，裂紋擴(kuò)展僅持續(xù)了29×10?6s，為裂紋密度0.15 時(shí)的一半。由圖12 可見，慣性效應(yīng)引起的試件軸向附加應(yīng)力隨裂紋密度的增大而逐漸增大。慣性作用引起的附加軸向應(yīng)力峰值出現(xiàn)在為裂紋密度0.5 的試件中，最大值為1.83 MPa。相對(duì)于QI 等[20]摩擦系數(shù)為常數(shù)的結(jié)果，動(dòng)摩擦過程會(huì)促進(jìn)裂紋發(fā)展，并降低試樣的強(qiáng)度。

圖11 不同裂紋密度條件下軸向應(yīng)力隨加載時(shí)間變化Fig. 11 Axial stress vs time for different crack concentration

圖12 不同裂紋密度條件下慣性引起附加軸向應(yīng)力隨加載時(shí)間變化Fig. 12 Inertia induced additional axial stress vs time for different crack density

表2 不同裂紋密度條件下啟裂和破壞時(shí)刻以及相應(yīng)的加載應(yīng)力Table 2 The moments of crack growth initiation, sample failure and corresponding loading stresses for different crack density

2.2 動(dòng)強(qiáng)度因子結(jié)果對(duì)比

動(dòng)強(qiáng)度因子(Dynamic increase factor, DIF，為試件破壞時(shí)的動(dòng)強(qiáng)度與精力強(qiáng)度之比)常用于研究應(yīng)變率效應(yīng)對(duì)巖石材料動(dòng)力強(qiáng)度的影響。目前，已有眾多學(xué)者通過實(shí)驗(yàn)研究了應(yīng)變率處于1 s?1～103s?1之間時(shí)巖石材料的DIF。為驗(yàn)證上述提出的模型，將第2.1 節(jié)的理論結(jié)果與SHPB 實(shí)驗(yàn)結(jié)果[36? 39]對(duì)比在圖13 中。根據(jù)ZHENG 等[17]的研究，當(dāng)材料的受壓強(qiáng)度十倍于受拉強(qiáng)度時(shí)，裂紋密度參數(shù)為0.3。因此，選取了裂紋密度參數(shù)為0.3 時(shí)，采用MFL 的理論值，在圖13 中用黑色星代表。在圖13 中，動(dòng)強(qiáng)度因子均隨應(yīng)變?cè)龃蠖龃?，表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng)。同時(shí)，在400 s?1～700 s?1應(yīng)變區(qū)間，隨著試件直徑從12.7 mm 增大到74 mm，動(dòng)強(qiáng)度因子亦呈現(xiàn)增大趨勢(shì)，表現(xiàn)出明顯的動(dòng)力尺寸效應(yīng)。

圖13 不同尺寸試樣的動(dòng)強(qiáng)度因子對(duì)比Fig. 13 DIFs of concrete-like materials obtained from this study and SHPB specimens with different diameters

2.3 不同摩擦系數(shù)的結(jié)果對(duì)比

為進(jìn)一步研究摩擦效應(yīng)對(duì)動(dòng)強(qiáng)度的影響，將摩擦系數(shù)假定為常數(shù)，分別取值0.05 和0.7。裂紋密度參數(shù)λ 分別取0.3 和0.95，以考慮不同裂紋密度的影響。采用MFL 時(shí)，裂紋面開始滑動(dòng)前，摩擦系數(shù)假定為0.7。其他參數(shù)與第2.1 小節(jié)保持一致，對(duì)比結(jié)果如圖14 所示。

圖14 不同摩擦系數(shù)條件下軸向應(yīng)力隨加載時(shí)間變化Fig. 14 Axial stress vs time for different constant friction coefficients for the model of wing crack interaction

隨著摩擦系數(shù)的增加，軸向應(yīng)力亦有明顯增加，而試件的破壞時(shí)間會(huì)延遲。相對(duì)于摩擦系數(shù)為常數(shù)0.7 的結(jié)果，MFL 破壞出現(xiàn)得更早(分別為113×10?6s 和123×10?6s)，破壞時(shí)試樣軸向應(yīng)力更低(分別為63.8 MPa 和91.6 MPa)。這是由于摩擦系數(shù)增大后，裂紋面需更高應(yīng)力克服摩擦進(jìn)行滑動(dòng)，進(jìn)而影響有效模量和試件的強(qiáng)度。此外，當(dāng)初始裂紋開始滑動(dòng)后，MFL 里的摩擦系數(shù)隨著速度的增加而降低，促使裂紋增長(zhǎng)并降低試件的強(qiáng)度。在地震事件中，尤其是大地震，斷層面摩擦滑移產(chǎn)生的熱能會(huì)引起近1000 ℃的溫度增長(zhǎng)，導(dǎo)致斷層接觸面數(shù)毫米到數(shù)厘米的融化[40]，斷層面的摩擦系數(shù)急劇下降。因此，在研究動(dòng)力加載過程中巖石材料的摩擦行為時(shí)，MFL 相對(duì)于靜摩擦系數(shù)更為合理，可以考慮接觸面滑動(dòng)引起的摩擦弱化現(xiàn)象。

3 結(jié)論

基于巖石類材料的I 型裂紋模型，考慮正方形裂紋陣列情況下的裂紋相互作用，采用MFL 模型考慮裂紋面的動(dòng)力摩擦過程，提出了一種考慮裂紋相互作用、裂紋密度以及裂紋面滑動(dòng)摩擦的脆性材料動(dòng)力模型。主要結(jié)論如下：

(1) 根據(jù)此模型和數(shù)值計(jì)算，定量研究了MFL模型以及常摩擦系數(shù)條件下，裂紋密度對(duì)裂紋擴(kuò)展過程、試件受力和破壞的影響。結(jié)果表明，隨著裂紋密度的增大，裂紋的相互作用增強(qiáng)，試件破壞時(shí)的加載應(yīng)力降低，而慣性效應(yīng)引起的試件軸向附加應(yīng)力增大。

(2) 不同裂紋摩擦系數(shù)的結(jié)果表明，隨著摩擦系數(shù)的增大，試樣軸向應(yīng)力增加，而破壞時(shí)刻會(huì)延遲。采用MFL 模型計(jì)算裂紋的動(dòng)力摩擦過程時(shí)，假定在裂紋滑動(dòng)前的摩擦系數(shù)為0.7。MFL 模型結(jié)果表明，隨著裂紋開始滑動(dòng)，裂紋面摩擦系數(shù)逐漸降低。相對(duì)于摩擦系數(shù)為常數(shù)0.7 的結(jié)果，其破壞出現(xiàn)得更早(分別為113×10?6s 和123×10?6s)，破壞時(shí)試件軸向應(yīng)力更低(分別為6.38×107Pa 和9.16×107Pa)。動(dòng)力摩擦過程會(huì)促進(jìn)巖石材料中的裂紋發(fā)展，并降低材料強(qiáng)度。相對(duì)于常數(shù)摩擦系數(shù)，考慮速度及狀態(tài)依賴型摩擦模型更為合理。

(3) 本模型計(jì)算的動(dòng)強(qiáng)度因子與其他實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比顯示，脆性材料在動(dòng)力加載過程中表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng)和動(dòng)力尺寸效應(yīng)。本文提出的模型有助于進(jìn)一步研究動(dòng)力加載條件下，脆性材料的動(dòng)力破壞過程。