夏 晨，戚承志，利 學，周卓群

(1. 北京建筑大學土木與交通工程學院，北京100044；2. 北京未來城市設(shè)計高精尖創(chuàng)新中心，北京100044；3. 城市交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)北京國際科技合作基地，北京100044)

在外部加載條件下，脆性材料將產(chǎn)生新的裂紋，而初始裂紋將會進一步發(fā)展，最后貫穿并破壞材料。為了研究這類材料中裂紋的演化機理，已有多位學者提出并發(fā)展了I 型裂紋模型[1?8]。隨著軸向荷載的增大，主裂紋頂部會產(chǎn)生次生裂紋，而次生裂紋將呈現(xiàn)曲線擴展，最終平行于加載方向。

HUANG 等[9]分析了側(cè)限以及應變率效應對于巖石材料動力強度的影響。由于缺乏對材料力學性質(zhì)退化以及慣性效應的影響，其研究結(jié)果不符合實驗結(jié)果。BHAT 等[10]在前人模型[4? 11]的基礎(chǔ)上，引入損傷演化率，擴大了該模型的適用范圍，但是該模型沒有考慮動力加載時裂紋間的相互作用。

在單軸壓縮加載條件下，I 型裂紋模型可以表達具有穩(wěn)定裂紋擴展的非線性應力-應變關(guān)系[5?7]。該模型不能確定材料的壓縮強度極限，為了改進這個缺陷，部分學者提出了一些可考慮裂紋相互作用的模型[12?19]，試件在動力荷載作用下，裂紋間的相互作用強度取決于裂紋的初始尺寸、走向、密度及其空間分布。ASHBY 和SAMMIS[4]通過引入裂紋間的橋連附加內(nèi)力以考慮裂紋相互作用效應，然而，該方法是一種近似的處理方式。KACHANOV 等 [12 ? 14]以及FABRIKANT[15? 16]提出了更一般的裂紋間相互作用的處理方法，KACHANOV 的方法基于應力疊加原理來求解相互作用函數(shù)。根據(jù)KACHANOV 考慮裂紋間相互作用的方法，ZHENG 等[17]揭示了材料的整體破壞和率效應的機理，但是其研究未考慮裂紋擴展速度對斷裂韌性的影響以及彈性模型退化的影響。QI 等[20]考慮裂紋擴展速度、彈性模量退化以及裂紋相互作用等因素，提出了巖石類材料動力加載下的應力-應變本構(gòu)關(guān)系。此模型未考慮裂紋面滑動過程中，滑動速度對裂紋面摩擦系數(shù)的影響。研究表明：裂紋面摩擦滑動對裂紋尖端應力強度因子和裂紋發(fā)展有重要影響[21?24]。

本文將考慮裂紋面滑動過程對裂紋面摩擦行為的影響，提出一種考慮裂紋相互作用、裂紋密度以及裂紋面滑動摩擦的裂紋動力擴展模型，用以研究軸向動力加載過程中脆性材料的裂紋擴展和動力行為。

1 軸向加載下巖石的三維動力模型

1.1 慣性效應引起的附加應力

1.2 軸向加載作用下的裂紋擴展三維模型

假定體積為V的試樣中，含有N個幣狀的初始裂紋，其平均直徑為2a。根據(jù)ASHBY 和SAMMIS[4]，有效彈性模量可以表達為：

式中：Eeff和E分別為材料的有效彈性模量和彈性模量；D為損傷因子，可由式(4)求解：

式中：l為次生裂紋的長度； α=cosψ ， ψ為主裂紋平面與加載方向的夾角；Cr為單位體積內(nèi)的裂紋數(shù)，Cr=N/V。

根據(jù)胡克定理，試件z方向的應變可以表達為：

式中，νeff為有效泊松比。假定有效彈性模量與體積模量相等，則有：

將式(1)～式(4)代入式(8)，試件的軸向應力-應變關(guān)系如下：

式(9)右側(cè)第一項為動力加載項，第二項為應變加速度的貢獻。根據(jù)式(9)，可研究動力加載過程中，裂紋相互作用、裂紋密度以及裂紋面滑動摩擦行為等不同因素對巖石材料的裂紋擴展、試件受力變形和強度的影響。

1.3 裂紋尖端運動方程

通過求解式(14)，可以求得裂紋擴展速度以及裂紋長度。

假定主裂紋和次生裂紋的半徑分別為a和l，裂紋中心的間距為2b，如圖2 所示。依據(jù)ASHBY和SAMMIS[4]的研究，次生裂紋的應力強度因子表達為：

圖2 I 型裂紋受力狀態(tài)及單個I 型裂紋示意圖[27]Fig. 2 Stress condition for mode I crack and diagram of one isolated crack[27]

1.4 裂紋的動力相互作用模型

不同于ASHBY 和SAMMIS[4]引入裂紋間的橋連附加內(nèi)應力來近似考慮裂紋間相互作用，LEKESIZ等[28]基于Kachanov 的研究，提出針對I 型裂紋的裂紋相互作用計算方法：

1.5 裂紋壁摩擦系數(shù)與滑移速度的相關(guān)性

在研究斷層活動以及與摩擦相關(guān)的巖石破裂問題時，常采用速度及狀態(tài)依賴性摩擦本構(gòu)模型(Rate-and state-frictional law)[29? 31]描 述 其 摩 擦 行為。次生裂紋受到初始裂紋滑動的驅(qū)動，亦可以采用速度及狀態(tài)依賴性摩擦本構(gòu)關(guān)系進行研究。裂紋摩擦系數(shù)可以表達為：

實驗研究結(jié)果[32?33]表明：當滑移速度大于0.1 m/s 后，摩擦系數(shù)會快速降低，這與速度弱化和非穩(wěn)態(tài)滑移的初動是密切相關(guān)的。巖石類別對摩擦系數(shù)與滑動速度的依賴性影響不大，可以將滑動分為三個速度區(qū)間，如圖3 所示。

圖3 不同巖石材料摩擦系數(shù)與滑移速度相關(guān)性[32?33]Fig. 3 Dependence of friction coefficient on slip velocity[32?33]

為了統(tǒng)一這三個速度區(qū)間，SPAGNUOLO 等[34]提出一種修正的摩擦定律(Modified friction law, MFL)：

為了確定摩擦對裂紋擴展的影響，需要先求解裂紋面的相對滑移量，進一步可求得相應的摩擦面滑動速度。圖4 展示了單一I 型裂紋的張開。N、n、T以及t分別是單位矢量，其方向如圖4所示。AA'為初始裂紋，其長度為2a；次生裂紋長度為l。驅(qū)動初始裂紋滑動的力如圖4(b)所示，其中：F為驅(qū)動力；Q為抵抗力；而FC為彈性閉合力；R為沿裂紋均勻分布的開裂力。滑動會沿初始裂紋AA′產(chǎn)生相對位移uW。而裂紋間相互作用會引起I 型裂紋上均勻分布的附加荷載，進而引起初始裂紋的相對位移uF，如圖5 所示[35]。

圖4 I 型裂紋初始裂紋面滑移時的受力狀態(tài)[35]Fig. 4 Slip over pre-existing crack as a driving mechanism for wing crack growth[35]

圖5 I 型裂紋張開時的相互作用效應[35]Fig. 5 Effect of crack interaction on wing crack opening[35]

因此，初始裂紋面的總相對滑動量可表達為：

對式(22)所求解的總位移量對時間求導，即可得到初始裂紋面的滑移速度，進而通過式(21)求解裂紋面的動摩擦系數(shù)。

2 不同裂紋面摩擦行為對動力加載過程的影響

根據(jù)ZHANG 等[36]的霍普金森桿試驗(SHPB)，試樣的半徑為37 mm，彈性模量E和泊松比ν分別取17.2 GPa 和0.19，初始裂紋長度為3 mm。入射應力脈沖持續(xù)時間與撞擊桿長相關(guān)，可以表達為：

式中：t/μs 為時間； σi為入射應力脈沖的最大幅值，與撞擊速度相關(guān)。對于半徑37 mm 試件的SHPB 試驗，入射應力脈沖的最大幅值與撞擊速度的關(guān)系如下：

當撞擊速度為15.7 m/s 時，入射應力脈沖的最大幅值為128.04 MPa。假設(shè)試件的軸向應變值與入射應力脈沖值成正比，即：

根據(jù)上述方程及參數(shù)，可求得試件的軸向應變、應變率和應變加速度，其結(jié)果如圖6～圖8 所示。

圖6 軸向應變隨時間的變化Fig. 6 Axial strain vs time

圖7 軸向應變率隨著時間的變化Fig. 7 Axial strain rate of the specimen vs time

圖8 軸向應變加速度隨時間的變化Fig. 8 Variation of axial strain acceleration of the specimen with time

QI 等[20]研究了在摩擦系數(shù)為常數(shù)情況下，不同裂紋密度對裂紋的啟裂應力、動力加載過程、動強度以及慣性效應的影響。但是實際觀測和試驗結(jié)果表明：裂紋面上的摩擦系數(shù)與滑移速度相關(guān)，在裂紋面滑動過程中并非常數(shù)。下面將采用第1 節(jié)提出的模型，以ZHANG 等[36]的試驗實驗數(shù)據(jù)為參考，采用Matlab 進行數(shù)值計算，分析動力摩擦過程對動力加載過程中巖石材料行為的影響。

2.1 動摩擦條件下裂紋密度的影響

裂紋面上發(fā)生相對滑動，其摩擦行為可以采用速度及狀態(tài)依賴型摩擦本構(gòu)模型進行研究。本節(jié)將采用式(21)描述的摩擦本構(gòu)模型，以正方形分布的裂紋陣列(如圖9 所示)為例，考慮裂紋間相互作用，分析不同裂紋密度條件對裂紋啟裂應力、動力加載過程、最高強度以及慣性效應的影響。

圖9 正方形分布裂紋陣列示意圖[31]Fig. 9 Periodic square configuration cracks[31]

a2?b2、p和Vc分別取0.01、0.8 以及0.1。V0=1 μm/s，μ0(V0)≈0.7。為考慮不同裂紋密度的影響，假定 λ=a/b分別為0.15、0.30、0.50、0.70、0.8、0.9 和0.95。其余主要計算參數(shù)如表1 所示。聯(lián)合式(9)和式(18)，可計算不同裂紋密度條件時試件的動力加載過程、破壞強度以及慣性效應的影響等，計算結(jié)果如圖10～圖12 和表2 所示。在圖10 中，“S-0.9”代表裂紋密度參數(shù)為 λ=0.9的正方形陣列裂紋結(jié)果，文中其他相關(guān)表示均遵守這種規(guī)則。

圖1 圓柱體試件坐標示意圖Fig. 1 Diagram of coordinate axes for cylindrical sample.

圖10 裂紋密度參數(shù)為0.9 時的裂紋面滑移速度Fig. 10 Slip velocity vs time for 'S-0.9' cracks

表1 數(shù)值計算采用的參數(shù)Table 1 List of the parameters for the numerical calculations

從圖11 和表2 可以看出，隨著裂紋密度從0.15 增大至0.95，裂紋互相作用逐漸增強，相互作用系數(shù)從1.0008 逐步增長至1.4218。而裂紋的啟裂時刻從64×10?6s 逐步提前至59×10?6s，啟裂時的加載應力由3.46 MPa 降低至2.29 MPa。這個過程中，試件破壞的時刻亦不斷提前，破壞時的加載應力從199.18 MPa 大幅下降至22.21 MPa。當 λ=0.15時，裂 紋 擴 展 持 續(xù) 了60×10?6s；當λ=0.95時，裂紋擴展僅持續(xù)了29×10?6s，為裂紋密度0.15 時的一半。由圖12 可見，慣性效應引起的試件軸向附加應力隨裂紋密度的增大而逐漸增大。慣性作用引起的附加軸向應力峰值出現(xiàn)在為裂紋密度0.5 的試件中，最大值為1.83 MPa。相對于QI 等[20]摩擦系數(shù)為常數(shù)的結(jié)果，動摩擦過程會促進裂紋發(fā)展，并降低試樣的強度。

圖11 不同裂紋密度條件下軸向應力隨加載時間變化Fig. 11 Axial stress vs time for different crack concentration

圖12 不同裂紋密度條件下慣性引起附加軸向應力隨加載時間變化Fig. 12 Inertia induced additional axial stress vs time for different crack density

表2 不同裂紋密度條件下啟裂和破壞時刻以及相應的加載應力Table 2 The moments of crack growth initiation, sample failure and corresponding loading stresses for different crack density

2.2 動強度因子結(jié)果對比

動強度因子(Dynamic increase factor, DIF，為試件破壞時的動強度與精力強度之比)常用于研究應變率效應對巖石材料動力強度的影響。目前，已有眾多學者通過實驗研究了應變率處于1 s?1～103s?1之間時巖石材料的DIF。為驗證上述提出的模型，將第2.1 節(jié)的理論結(jié)果與SHPB 實驗結(jié)果[36? 39]對比在圖13 中。根據(jù)ZHENG 等[17]的研究，當材料的受壓強度十倍于受拉強度時，裂紋密度參數(shù)為0.3。因此，選取了裂紋密度參數(shù)為0.3 時，采用MFL 的理論值，在圖13 中用黑色星代表。在圖13 中，動強度因子均隨應變增大而增大，表現(xiàn)出明顯的應變率效應。同時，在400 s?1～700 s?1應變區(qū)間，隨著試件直徑從12.7 mm 增大到74 mm，動強度因子亦呈現(xiàn)增大趨勢，表現(xiàn)出明顯的動力尺寸效應。

圖13 不同尺寸試樣的動強度因子對比Fig. 13 DIFs of concrete-like materials obtained from this study and SHPB specimens with different diameters

2.3 不同摩擦系數(shù)的結(jié)果對比

為進一步研究摩擦效應對動強度的影響，將摩擦系數(shù)假定為常數(shù)，分別取值0.05 和0.7。裂紋密度參數(shù)λ 分別取0.3 和0.95，以考慮不同裂紋密度的影響。采用MFL 時，裂紋面開始滑動前，摩擦系數(shù)假定為0.7。其他參數(shù)與第2.1 小節(jié)保持一致，對比結(jié)果如圖14 所示。

圖14 不同摩擦系數(shù)條件下軸向應力隨加載時間變化Fig. 14 Axial stress vs time for different constant friction coefficients for the model of wing crack interaction

隨著摩擦系數(shù)的增加，軸向應力亦有明顯增加，而試件的破壞時間會延遲。相對于摩擦系數(shù)為常數(shù)0.7 的結(jié)果，MFL 破壞出現(xiàn)得更早(分別為113×10?6s 和123×10?6s)，破壞時試樣軸向應力更低(分別為63.8 MPa 和91.6 MPa)。這是由于摩擦系數(shù)增大后，裂紋面需更高應力克服摩擦進行滑動，進而影響有效模量和試件的強度。此外，當初始裂紋開始滑動后，MFL 里的摩擦系數(shù)隨著速度的增加而降低，促使裂紋增長并降低試件的強度。在地震事件中，尤其是大地震，斷層面摩擦滑移產(chǎn)生的熱能會引起近1000 ℃的溫度增長，導致斷層接觸面數(shù)毫米到數(shù)厘米的融化[40]，斷層面的摩擦系數(shù)急劇下降。因此，在研究動力加載過程中巖石材料的摩擦行為時，MFL 相對于靜摩擦系數(shù)更為合理，可以考慮接觸面滑動引起的摩擦弱化現(xiàn)象。

3 結(jié)論

基于巖石類材料的I 型裂紋模型，考慮正方形裂紋陣列情況下的裂紋相互作用，采用MFL 模型考慮裂紋面的動力摩擦過程，提出了一種考慮裂紋相互作用、裂紋密度以及裂紋面滑動摩擦的脆性材料動力模型。主要結(jié)論如下：

(1) 根據(jù)此模型和數(shù)值計算，定量研究了MFL模型以及常摩擦系數(shù)條件下，裂紋密度對裂紋擴展過程、試件受力和破壞的影響。結(jié)果表明，隨著裂紋密度的增大，裂紋的相互作用增強，試件破壞時的加載應力降低，而慣性效應引起的試件軸向附加應力增大。

(2) 不同裂紋摩擦系數(shù)的結(jié)果表明，隨著摩擦系數(shù)的增大，試樣軸向應力增加，而破壞時刻會延遲。采用MFL 模型計算裂紋的動力摩擦過程時，假定在裂紋滑動前的摩擦系數(shù)為0.7。MFL 模型結(jié)果表明，隨著裂紋開始滑動，裂紋面摩擦系數(shù)逐漸降低。相對于摩擦系數(shù)為常數(shù)0.7 的結(jié)果，其破壞出現(xiàn)得更早(分別為113×10?6s 和123×10?6s)，破壞時試件軸向應力更低(分別為6.38×107Pa 和9.16×107Pa)。動力摩擦過程會促進巖石材料中的裂紋發(fā)展，并降低材料強度。相對于常數(shù)摩擦系數(shù)，考慮速度及狀態(tài)依賴型摩擦模型更為合理。

(3) 本模型計算的動強度因子與其他實驗結(jié)果對比顯示，脆性材料在動力加載過程中表現(xiàn)出明顯的應變率效應和動力尺寸效應。本文提出的模型有助于進一步研究動力加載條件下，脆性材料的動力破壞過程。