文/胡煥過
數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度是中考數(shù)學考查的熱點內容。隨著考查的不斷深入,此類問題的創(chuàng)新性、綜合性也更強,出現(xiàn)了一批背景豐富、考點全面、題型新穎、貼近生活的題型。下面,我們就一起走入2022年中考現(xiàn)場。
“三數(shù)”,即平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),從不同的角度給我們提供了一組數(shù)據(jù)的面貌特征。正因為如此,我們把這三個數(shù)作為一組數(shù)據(jù)集中趨勢的代表。
例1(2022·浙江杭州)某校學生會要在甲、乙兩位候選人中選擇一人擔任文藝部干事,對他們進行了文化水平、藝術水平、組織能力的測試,根據(jù)綜合成績擇優(yōu)錄取。他們的各項成績(單項滿分100分)如表所示:
候選人甲 乙文化水平80分80分藝術水平87分96分組織能力82分76分
(1)如果把各項成績的平均數(shù)作為綜合成績,應該錄取誰?
(2)如果想錄取一名組織能力較強的候選人,把文化水平、藝術水平、組織能力三項成績分別按照20%、20%、60%的比例計入綜合成績,應該錄取誰?
【分析】(1)根據(jù)題意,求這組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù),再通過比較大小作出決策;(2)與(1)有區(qū)別,文化水平、藝術水平、組織能力三項成績的重要程度不相同,分別占20%、20%、60%。我們把衡量各個數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值稱為“權”。根據(jù)題意,這一問求的是這組數(shù)據(jù)的加權平均數(shù),再通過比較大小作出決策。
解:(1)甲的綜合成績?yōu)?83(分),乙的綜合成績?yōu)?4(分)。因為乙的綜合成績比甲的高,所以應該錄取乙。
(2)甲 的 綜 合 成 績 為80×20%+87×20%+82×60%=82.6(分),乙的綜合成績?yōu)?0×20%+96×20%+76×60%=80.8(分)。因為甲的綜合成績比乙的高,所以應該錄取甲。
【點評】本題主要考查平均數(shù)的運用,解題的關鍵是區(qū)分算術平均數(shù)與加權平均數(shù)的概念和熟練掌握兩者的計算公式。
例2(2022·河北)五名同學捐款數(shù)分別是5,3,6,5,10(單位:元),捐10元的同學后來又追加了10元。追加后的5個數(shù)據(jù)與之前的5個數(shù)據(jù)相比,集中趨勢相同的是( )。
A.只有平均數(shù)
B.只有中位數(shù)
C.只有眾數(shù)
D.中位數(shù)和眾數(shù)
【分析】分別計算前后數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),比較即可得出答案。
解:追加前,平均數(shù)為
從小到大排列為3,5,5,6,10,則中位數(shù)為5。5出現(xiàn)次數(shù)最多,眾數(shù)為5。
追加后,平均數(shù)為
從小到大排列為3,5,5,6,20,則中位數(shù)為5。5出現(xiàn)次數(shù)最多,眾數(shù)為5。
綜上,中位數(shù)和眾數(shù)都沒有改變。
故選D。
【點評】本題綜合考查了平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的運用。我們要注意以下幾點:(1)求平均數(shù)需要全組所有數(shù)據(jù),其中任何數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)變動。平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的總體水平,易受極端值的影響。(2)求中位數(shù)需要把數(shù)據(jù)先按大小順序排列,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則處于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響,中位數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平,不易受極端值的影響。(3)眾數(shù)與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關,結果可以不唯一。眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平,不易受極端值的影響。