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        一個偶極量子氣體爆破的新準則

        2022-11-28 03:56:00王洪莉
        關鍵詞:定義

        王洪莉, 黃 娟*

        (1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學 可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室, 四川 成都 610066)

        考慮如下描述偶極量子氣體的Gross-Pitaevskii方程

        (1)

        其中θ=θ(x)是x∈R3和偶極軸n∈R3(|n|=1)間的夾角,即cos如果n=(0,0,1),則對x=(x1,x2,x3)∈R3,其偶極相互作用核還可以表達為

        (2)

        本文先介紹一些預備知識,如方程的局部適定性和varial恒等式等;然后給出本文的主要結論及證明.

        1 預備知識

        對于方程(1),定義如下空間

        其中H1(R3)=W1,2(R3)是Sobolev空間,其內積和范數分別是

        〈φ,φ〉

        下面,將回顧Cauchy問題(1)的局部適定性.

        命題 1.1對λ1,λ2∈R,φ0∈Σ(R3),存在時間T+,使得Cauchy問題(1)有唯一解

        φ∈{φ∈C([0,T+];H1(R3));φ,▽φ,xφ∈

        即要么T+=+∞(整體存在),要么T+<+∞,(爆破).當t∈[0,T+)時,Cauchy問題(1)的質量泛函和能量泛函是守恒的:

        (3)

        (4)

        其中

        引理 1.1令φ0∈Σ(R3),φ是方程(1)的解.設

        當y(0)<∞時,下列等式成立:

        (5)

        引理 1.2[5]假設λ1、λ2滿足(2),對任意φ∈H1(R3),都有Φ(|φ|2)≥0(當φ(x)=0時,Φ(|φ|2)=0),即

        其中σ>0滿足

        2 爆破條件

        定理 2.1假設φ0∈Σ(R3),y(0)<∞,E[φ0]>0.若滿足

        其中ω2=min且

        (7)

        則Cauchy問題(1)的解將在有限時間內爆破.

        證明由(4)和(6)式知

        λ2(K*|φ|2)|φ|2)dx=

        通過引理1.2得

        (9)

        又有ω2=min結合內插不等式可得

        ‖φ‖

        (10)

        則(9)式可化為

        t∈[0,T+).

        (11)

        令y(t)=ymaxν(s),s=at,其中

        y

        (12)

        再由(11)式可知

        ν

        (13)

        利用Lushnikov在文獻[16]中提出的一個粒子在帶勢壘的場中運動的力學類比,(13)式可重新記為:

        νss=F1+F2,s∈[0,T+/a),

        (14)

        這里ν=ν(s)是在帶勢壘場中運動的粒子,它受F1和F2兩個力的作用,其中,

        為粒子ν的電勢,F2=-g2(s)是一個將粒子ν拖向零點的未知力.若粒子在有限的時間內到達零點(ν(s*)=0,0

        ν

        (15)

        定義粒子ν的能量

        (16)

        1)ε(0)

        2)ε(0)>Umax,νs(0)<0;

        3)ε(0)=Umax,νs(0)<0,ν(0)<1.

        由ε

        1)?-f(ν(0))<νs(0)

        2)?νs(0)<-f(ν(0));

        3)?ν(0)<1,νs(0)=-f(ν(0)).合并條件1)~3),得

        ν

        (17)

        由y(t)=ymaxν(at),可推出

        綜上可得

        其中g由(7)式定義.

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