王洪莉, 黃 娟*
(1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學 可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室, 四川 成都 610066)
考慮如下描述偶極量子氣體的Gross-Pitaevskii方程
(1)
其中θ=θ(x)是x∈R3和偶極軸n∈R3(|n|=1)間的夾角,即cos如果n=(0,0,1),則對x=(x1,x2,x3)∈R3,其偶極相互作用核還可以表達為
(2)
本文先介紹一些預備知識,如方程的局部適定性和varial恒等式等;然后給出本文的主要結論及證明.
對于方程(1),定義如下空間
其中H1(R3)=W1,2(R3)是Sobolev空間,其內積和范數分別是
〈φ,φ〉
下面,將回顧Cauchy問題(1)的局部適定性.
命題 1.1對λ1,λ2∈R,φ0∈Σ(R3),存在時間T+,使得Cauchy問題(1)有唯一解
φ∈{φ∈C([0,T+];H1(R3));φ,▽φ,xφ∈
即要么T+=+∞(整體存在),要么T+<+∞,(爆破).當t∈[0,T+)時,Cauchy問題(1)的質量泛函和能量泛函是守恒的:
(3)
(4)
其中
引理 1.1令φ0∈Σ(R3),φ是方程(1)的解.設
當y(0)<∞時,下列等式成立:
(5)
引理 1.2[5]假設λ1、λ2滿足(2),對任意φ∈H1(R3),都有Φ(|φ|2)≥0(當φ(x)=0時,Φ(|φ|2)=0),即
其中σ>0滿足
定理 2.1假設φ0∈Σ(R3),y(0)<∞,E[φ0]>0.若滿足
其中ω2=min且
(7)
則Cauchy問題(1)的解將在有限時間內爆破.
證明由(4)和(6)式知
λ2(K*|φ|2)|φ|2)dx=
通過引理1.2得
(9)
又有ω2=min結合內插不等式可得
‖φ‖
(10)
則(9)式可化為
t∈[0,T+).
(11)
令y(t)=ymaxν(s),s=at,其中
y
(12)
再由(11)式可知
ν
(13)
利用Lushnikov在文獻[16]中提出的一個粒子在帶勢壘的場中運動的力學類比,(13)式可重新記為:
νss=F1+F2,s∈[0,T+/a),
(14)
這里ν=ν(s)是在帶勢壘場中運動的粒子,它受F1和F2兩個力的作用,其中,
為粒子ν的電勢,F2=-g2(s)是一個將粒子ν拖向零點的未知力.若粒子在有限的時間內到達零點(ν(s*)=0,0
ν
(15)
定義粒子ν的能量
(16)
1)ε(0) 2)ε(0)>Umax,νs(0)<0; 3)ε(0)=Umax,νs(0)<0,ν(0)<1. 由ε 1)?-f(ν(0))<νs(0) 2)?νs(0)<-f(ν(0)); 3)?ν(0)<1,νs(0)=-f(ν(0)).合并條件1)~3),得 ν (17) 由y(t)=ymaxν(at),可推出 綜上可得 其中g由(7)式定義.