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        一類半線性分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程解的性質(zhì)

        2022-11-28 03:58:34彭紅玲樊明書
        關(guān)鍵詞:算子線性定理

        彭紅玲, 樊明書

        (西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

        1 簡介

        主要研究如下一類半線性分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程

        (1)

        分?jǐn)?shù)階Laplacian算子的定義有多種,常用的有如下3種定義.

        定義 1.2[2-4]假設(shè)g:RN→R的速降函數(shù),(-Δ)sg的定義如下:

        (-Δ)sg(x)=CN,sP.V.

        從定義1.2可以看出,(-Δ)s是以積分形式定義的一個非局部算子,Caffarelli等在文獻(xiàn)[5]中用延拓的方法將非局部的Laplacian算子化為局部可變分的算子,并給出等價定義.

        定義 1.3[5]u:RN→R速降函數(shù),U:RN×[0,∞)→R是u的延拓,函數(shù)U滿足

        用定義1.3來定義分?jǐn)?shù)階Laplacian算子.

        Cortazar等[6]發(fā)表半線性拋物方程

        的爆破問題,其中Ω是RN中的光滑有界凸區(qū)域,M≥0,V是Lipschitz連續(xù)的,φ(x)>0且滿足相容性條件.

        Winkler等[7]研究了拋物方程

        其中v是?Ω的外法向量.文章指出λ>0時有整體解,也存在爆破正解.

        Vázquez等[8]發(fā)表對分?jǐn)?shù)階多孔介質(zhì)方程(FPME)

        在RN空間中Cauchy問題解的存在性和唯一性,其中0<σ<2,m>0.

        Tan等[9]研究了如下半線性分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程

        近年研究分?jǐn)?shù)次p-Laplacian算子問題的還有文獻(xiàn)[10-12]等.

        下面對方程(1)用Caffarelli-Silvestre的延拓法.令U:Ω×(0,∞)→R是函數(shù)u:Ω→R的延拓函數(shù),記D={(x,y)|(x,y)∈Ω×(0,∞)},D的橫向邊界為?LD=?Ω×[0,∞),可將(1)式化為

        (2)

        記(-Δ)s=As,(-Δ)s/2=As/2,0

        u∈Hs0(Ω).

        (4)

        受文獻(xiàn)[9,13-16]的啟發(fā),定義

        H(U)=h(U)-f(U)-g(U).

        對E(U(t))關(guān)于t求導(dǎo),可得

        ?U·?Utdxdy-

        (5)

        所以E(U(t))關(guān)于t單調(diào)遞減,且有

        勢阱的深度:d=infU≠0}.

        本文的主要結(jié)果如下.

        定理 1.3若U=U(x,y,t;U0)是(2)式的解,且存在t0≥0使得E(U(t0))≤0,則當(dāng)k<0時,U在有限時間內(nèi)爆破.

        2 整體解和漸進(jìn)行為

        為證明解的整體存在性,先引入4個引理.

        H(U)=h(U)-f(U)-g(U)>0}.

        (λ-λp)(h(U)-f(U))≥0,

        而p>1,故

        E(λU)>

        引理2.2的證明可參見文獻(xiàn)[17-19],此處省去證明.

        證明因為

        所以

        若設(shè)

        由于a(x)∈[m,M],則

        ρn(x)=min{|x|2s,n},

        γn(u)=min{ku,n},

        βn(u)=min{a(x)|u|p-1u,n},

        (7)

        引理2.4的證明過程用到了Gal?rkin方法,此處省去證明,引理2.4和2.5的證明過程具體可參照文獻(xiàn)[9].接下來給出定理1.1的證明.

        I(u0)+ε0

        (8)

        第一種情況與(8)式矛盾,將第二種情況代入I(un)有

        I(udx-

        (9)

        (10)

        由(10)式可得

        (12)

        對(12)式的左邊,由分?jǐn)?shù)階Sobolev不等式,當(dāng)p=2時,有

        (13)

        其中c>0.結(jié)合(11)~(13)式可得

        所以方程(2)的解整體存在.

        下面給出定理1.2的證明.

        定理1.2證明對任意序列tn→∞,令Un=U(x,y,tn;U0).由于自反巴拿赫空間的有界列都是弱緊的,結(jié)合引理2.5,存在序列{Un}和函數(shù)U使得:

        U

        UnUinLp+1(Ω×{0}),

        U

        令測試函數(shù)

        φ(x,y,t)=

        其中

        ψ∈Hs

        由弱解的定義,有

        將φ代入上面的式子,可得

        對第二項,用分部積分法,結(jié)合ρ(0)=ρ(1)=0,有

        a(x)|U|p-1Uρ(t-tn)ψ+

        kUρ(t-tn)ψ)dx]dt=0.

        令δ=t-tn,則

        a(x)|U(tn+δ)|p-1U(tn+δ)ρ(δ)ψ+

        kU(tn+δ)ρ(δ)ψ)dx]dδ=0.

        (14)

        ‖U(tn+δ)-ωδ‖Lp+1(Ω×{0})→0,

        ‖U(tn)-ω‖Lp+1(Ω×{0})→0.

        下證在Ω×{0}中幾乎處處有ωδ=ω.結(jié)合能量等式和H?lder不等式,有

        因為0≤δ≤1,當(dāng)tn→∞時‖U(tn+δ)-U(tn)‖L2(Ω×{0})→0,即在Ω×{0}中幾乎處處有ωδ=ω.重新整理(14)式可得

        a(x)|U|p-1U(tn)ρ(δ)ψ+

        kUρ(δ)ψ)dx]dδ-

        ?U(tn))ρ(δ)·?ψdxdydδ+

        U(tn))kρ(δ)ψdxdδ=0.

        由勒貝格控制收斂定理,當(dāng)tn→∞時,上式等號左端后四項趨近于0,對等號左端第二項有

        即U(tn)在弱意義上趨近于(2)式的穩(wěn)態(tài)解.

        3 爆破

        給出定理1.3的證明.

        定理1.3證明(反證法) 若t=∞,令

        對t求導(dǎo),可得

        在(2)式的兩邊同乘以U,再在D上積分,有

        (15)

        在能量等式(6)兩邊同乘p+1 ,再加上(15)式有

        (p+1)E(U(t0)),

        因為E(U(t0))≤0,k<0,所以對?t≥t0,有

        所以

        (16)

        由H?lder不等式,有

        r′(t1)(t-t1)→∞,

        由此,當(dāng)t>t1,可得

        兩邊同時積分,可得

        r′(t0))2lnr(t)|tt1→∞,

        r(t)r″(t)>(1+α)(r′(t))2.

        0

        J(t3)+J′(t3)(t-t3)→-∞,t→∞,

        顯然矛盾,故U在有限時間內(nèi)爆破.

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