首都師范大學(xué)附屬順義實(shí)驗(yàn)小學(xué) 李朝霞 任志梅

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號(hào)體系、獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)、形象的圖像語(yǔ)言。它有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。小學(xué)階段的學(xué)生具有活潑好動(dòng)，注意持久性差，無(wú)意注意、機(jī)械識(shí)記和形象思維占優(yōu)勢(shì)的特點(diǎn)。作為教師，我們必須深刻把握兩者的特點(diǎn)，找到連接直觀和抽象的路徑，從而明確學(xué)習(xí)目的，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效果。很多有經(jīng)驗(yàn)的教師都選擇“幾何直觀”。幾何直觀，即直接看到的圖形、實(shí)物等，由于有圖、物、符號(hào)等做支撐，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)看、想、說(shuō)、做等數(shù)學(xué)活動(dòng)變得簡(jiǎn)明、形象。因此幾何直觀可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)。

一、幾何直觀讓數(shù)學(xué)知識(shí)變“溫暖”

數(shù)學(xué)枯燥、數(shù)學(xué)難學(xué)，是現(xiàn)在很多小學(xué)生不喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)理由，究其原因，其實(shí)并不是孩子天生不喜歡，而是作為教師對(duì)教材的處理、學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)沒(méi)有遵循孩子的認(rèn)知規(guī)律，過(guò)分強(qiáng)調(diào)抽象思維的邏輯。往往我們感覺(jué)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，孩子們聽(tīng)起來(lái)總是一頭霧水，師生很難同步，原因就是我們?nèi)鄙倭酥虚g環(huán)節(jié)——理解，造成學(xué)生只會(huì)單純模仿，遇到變式就錯(cuò)誤百出，更別談應(yīng)用了。

（一）幾何直觀促進(jìn)概念的理解

概念教學(xué)貫穿整個(gè)小學(xué)階段，可以說(shuō)支撐了數(shù)學(xué)教學(xué)的整體結(jié)構(gòu)。由此可見(jiàn)，小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確掌握是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、積累經(jīng)驗(yàn)、指導(dǎo)今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。但是概念教學(xué)中關(guān)注形式化的表達(dá)，忽視概念內(nèi)涵理解的現(xiàn)象仍然很普遍。

【案例】“到底是幾個(gè)？”

乘法分配律的教學(xué)歷來(lái)是教師關(guān)注的焦點(diǎn)，翻看各版本教材，幾乎所有的教材采取的流程都是：?jiǎn)栴}情境引入主題—兩種方法解決問(wèn)題判定相等關(guān)系—模仿等式結(jié)構(gòu)概括乘法分配律。

通過(guò)模仿，孩子們判斷哪些等式應(yīng)用了乘法分配律以及根據(jù)乘法分配律填空問(wèn)題并不大，但是只限于基本模式，稍有改動(dòng)孩子們就會(huì)出錯(cuò)。

師：題目要求填一個(gè)數(shù)，你為什么這么寫(xiě)呢？

生1 答案：63×99+63×1=（99+1）×63

生1：前面都是4 個(gè)數(shù)合成3 個(gè)數(shù)呀。

生2 答案：63×99+ 1 =（99+1）×63

師：為什么填1 呢？

生2：后面括號(hào)里是1，前面差1，后面差99。

通過(guò)調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)，孩子們?cè)趯W(xué)習(xí)乘法分配律的時(shí)候關(guān)注更多的是它的外在形式，再加上課上我們的例題、練習(xí)都是乘法分配律的基本格式，孩子們本身就比較容易受視覺(jué)干擾，一旦脫離乘法分配律核心本質(zhì)——乘法的意義，孩子們對(duì)乘法分配律的理解是不深刻的，尤其是后面利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的時(shí)候更會(huì)錯(cuò)樣百出：

1 0 2×9 9=1 0 2×（9 9+1），102×99=102×100-1，等等。

于是在實(shí)際教學(xué)中，我創(chuàng)設(shè)生活情境，緊抓乘法意義，采用動(dòng)態(tài)圖形演示加幾何圖形描述多管齊下認(rèn)識(shí)運(yùn)算定律。

活動(dòng)一：借助具體情境，利用動(dòng)態(tài)演示，初步感知乘法分配律。

以貼近學(xué)生生活的實(shí)例呈現(xiàn)問(wèn)題，展開(kāi)乘法分配律的探究。

求一共貼了多少塊瓷磚？學(xué)生得出兩種不同答案。

（1）4×8+6×8 （2）（4+6）×8

師：能說(shuō)說(shuō)每種方法每一步求的是什么嗎?

生1：4×8 是在計(jì)算左面鋪了多少塊，6×8 是在計(jì)算右面鋪了多少塊，求一共鋪了多少用加法。

生2：（4+6）×8 是把左右的瓷磚看成一個(gè)整體，4+6 就是整體的一行是10 個(gè)，共有8 行。

在學(xué)生講述計(jì)算過(guò)程時(shí)，教師通過(guò)動(dòng)態(tài)課件的演示，兩個(gè)圖形合并成一個(gè)圖形。學(xué)生在動(dòng)態(tài)的圖形支撐下，初步感知到乘法分配律如何將兩部分看成一個(gè)整體的過(guò)程，明確了兩個(gè)算式的相等關(guān)系：

4×8+6×8 =（4+6）×8

緊接著教師追問(wèn)：你能結(jié)合圖，從算式意義的角度說(shuō)說(shuō)為什么它們相等嗎？（出示實(shí)物模型）如果我再把第三面墻也鑲上1 列瓷磚，你知道如何列式嗎？

借助實(shí)物模型，比較抽象的空間想象在這節(jié)課降低了難度，孩子們有擺、有畫(huà)、有觀察、有想象的，多渠道寫(xiě)出算式。當(dāng)孩子把三部分合成一個(gè)整體，并自覺(jué)地說(shuō)出各部分的含義時(shí)，對(duì)乘法分配律的認(rèn)識(shí)就更深了一步。

活動(dòng)二:借助幾何圖形，抽象運(yùn)算模型，深化理解乘法分配律。

師：孩子們，想象一下將墻上鋪好的瓷磚展開(kāi)鋪平，會(huì)是一個(gè)什么圖形？

生：長(zhǎng)方形。

隨著學(xué)生的回答出示圖形。

師：你能計(jì)算出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？

生3：我把大長(zhǎng)方形看成兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和，一個(gè)是ac，另一個(gè)是bc，所以大長(zhǎng)方形的面積就是ac+bc。

師：誰(shuí)有不同的做法？

生4：大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a+b，寬是c，那利用面積公式就是(a+b)×c。

師：那我們就可以說(shuō)ac+bc=(a+b)×c。

將具體形象的因素抽離，利用學(xué)生學(xué)過(guò)的圖形面積基礎(chǔ)，求出上面大的長(zhǎng)方形的面積，很巧妙地融合在三個(gè)矩形之間的面積關(guān)系之中，既有代數(shù)的抽象，更有幾何圖形的抽象。學(xué)生理解乘法分配律更加透徹。一句繞嘴難理解，使人迷惑卻又十分重要的定律很輕易地通過(guò)課件的動(dòng)態(tài)演示和圖形說(shuō)理被學(xué)生接受了。

（二）幾何直觀促進(jìn)算理的明晰

在小學(xué)階段計(jì)算也占有較大的比重，以往的課堂，這部分的內(nèi)容最不容易引起教師們的重視。學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤也被簡(jiǎn)單地定義為粗心馬虎。隨著課改的推進(jìn)，教師們的教學(xué)觀念也隨之轉(zhuǎn)變，開(kāi)始注重讓學(xué)生經(jīng)歷明晰算理的過(guò)程，逐步完成“動(dòng)作思維—形象思維—抽象思維”的發(fā)展過(guò)程。

【案例】?jī)晌粩?shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法

一年級(jí)學(xué)習(xí)《兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法》時(shí)，面對(duì)新問(wèn)題23+18 等于多少，學(xué)生幾乎脫口而出41。那41是怎么來(lái)的？我們可以讓學(xué)生利用畫(huà)圖的方法將自己的思維展現(xiàn)出來(lái)，從而明晰其中的道理。

通過(guò)看學(xué)生作品不難發(fā)現(xiàn)：學(xué)生已經(jīng)明晰了單根小棒和單根小棒相加，整捆小棒和整捆小棒相加，當(dāng)單根小棒夠10 根時(shí)，會(huì)捆成一捆小棒，計(jì)數(shù)器同理。這樣就為理解豎式計(jì)算時(shí)相同數(shù)位對(duì)齊、個(gè)位滿十進(jìn)一起到了很好的鋪墊，尤其在辨析豎式書(shū)寫(xiě)是否正確時(shí)，學(xué)生會(huì)巧妙地結(jié)合圖來(lái)說(shuō)明理由。

師：有幾位同學(xué)是用豎式計(jì)算的，看到他們的豎式你有什么想問(wèn)的嗎？

生1：答案明明是41，他怎么寫(xiě)成311 了呢？

生2：11 不能放在個(gè)位上。

生3：答案是41，他寫(xiě)的31，少了一個(gè)10。

師：那你們能說(shuō)說(shuō)他們這樣寫(xiě)豎式為什么不行嗎？

生4：我們可以看上面的圖，計(jì)數(shù)器個(gè)位最多放9 個(gè)珠子，夠10 個(gè)珠子就要換成十位上的1 個(gè)珠子，不能把11 寫(xiě)在那。

生5：3 根小棒加8 根小棒一共是11 根小棒，夠10 根捆成一捆，整捆的小棒就變成4 捆了。

……

這種讓學(xué)生借助圖形進(jìn)行說(shuō)理，借助幾何直觀進(jìn)行明理，在畫(huà)理、講理中真正落實(shí)理解算理掌握算法這一計(jì)算課繞不開(kāi)的教學(xué)目標(biāo)。

教材的改變同樣證明了幾何直觀對(duì)理解算理的重要性，以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，翻看了舊版教材，無(wú)論是北京版、北師大版還是人教版，里面都沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)子圖，那在新版教材的這部分知識(shí)的教學(xué)中都有不同程度的使用。教材的這一改變是希望可以借助點(diǎn)子圖這樣的直觀模型，更好地刻畫(huà)學(xué)生的思維軌跡，幫助學(xué)生理解筆算過(guò)程中每一步的意義及豎式中的兩層積的由來(lái)，明確用因數(shù)十位上的數(shù)去乘時(shí)，所得的結(jié)果末尾要和十位對(duì)齊的道理，同時(shí)促使學(xué)生經(jīng)歷豎式的形成過(guò)程，真正接受豎式的書(shū)寫(xiě)格式。

二、幾何直觀讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變“有趣”

畫(huà)圖是解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常使用的策略，通過(guò)畫(huà)圖能直觀地顯示題意，有條理地表示數(shù)量，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，從而形成解題的思路。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)幫助學(xué)生從小養(yǎng)成一種用直觀的圖形語(yǔ)言刻畫(huà)、思考問(wèn)題的習(xí)慣。

【案例】畫(huà)圖理解“行程問(wèn)題”題意

王偉和李想在400 米的環(huán)形跑道上，從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而行。王偉每秒跑4.5 米，李想每秒跑5.5米。多少秒后兩個(gè)人第二次相遇？

面對(duì)較長(zhǎng)的文字?jǐn)⑹鲱}，很多孩子不自覺(jué)地動(dòng)筆開(kāi)始畫(huà)，由此可以看出孩子們?cè)谶@個(gè)時(shí)候是有畫(huà)圖的需求的，同時(shí)也有的學(xué)生上來(lái)就算，抽象邏輯好的孩子可以抓住關(guān)鍵點(diǎn)厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，但一部分孩子還是缺乏這方面的能力。如按400÷（4.5+5.5）=40(秒) 或400÷4.5×2=178（秒），400÷5.5×2=145 秒，178+145=323（秒）。

課上學(xué)生交流時(shí)，畫(huà)圖的孩子思路清晰地說(shuō)著自己的解題過(guò)程，而沒(méi)有畫(huà)圖的孩子聽(tīng)得一頭霧水，搖頭表示不太明白。生生互動(dòng)中，我了解到有的孩子甚至題目中的條件都沒(méi)有記清楚，在學(xué)生邊講邊畫(huà)邊交流的過(guò)程中，沒(méi)有畫(huà)圖的孩子體會(huì)出來(lái)畫(huà)圖是有利于幫助自己分析問(wèn)題從而解決問(wèn)題的。

三、 幾何直觀讓數(shù)學(xué)思想變“牢固”

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“所謂教育，就是一個(gè)人把在學(xué)校所學(xué)忘光后剩下的東西?！倍嗄甑臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給我們的唯有數(shù)學(xué)的思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中并沒(méi)有給出數(shù)學(xué)思想方法的具體名稱，只是在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中隱含著，學(xué)生理解起來(lái)是很抽象的。

【案例】“兩位數(shù)加一位數(shù)口算進(jìn)位加法”中假設(shè)思想的滲透

師：我們用了很多方法解決了69+4 等于多少的問(wèn)題，那老師這還有一種解法，你看看你能看懂嗎？

70+4=74

74-1=73

生1：70 是哪來(lái)的呢？

生2：69+1 不就是70 嗎？

生3：可是為什么還要減1？

生4：這個(gè)就是把69 看成了70，但是我們算的是69+4，還要把多的那個(gè)1 減去。

討論到這里有學(xué)生明白了，但是仍然有部分學(xué)生不理解。

師：還有部分學(xué)生不理解，誰(shuí)有什么辦法可以讓大家更清楚是怎么回事？

生5：老師，我用黑板上的小棒邊擺邊說(shuō)。

學(xué)生利用實(shí)物模型，動(dòng)手?jǐn)[一擺讓抽象的假設(shè)思想理解起來(lái)更容易。

【案例】轉(zhuǎn)化思想

師：用你自己的方法解決？

學(xué)生都是利用通分求解的，有的甚至由于通分步驟太多導(dǎo)致出錯(cuò)。

師：很多同學(xué)都覺(jué)得通分起來(lái)太麻煩了，老師這有一種簡(jiǎn)便算法：有人知道是怎么來(lái)的嗎？

這時(shí)學(xué)生開(kāi)始議論起來(lái)。有人說(shuō)是因?yàn)槔蠋熤懒舜鸢?，然后看出?lái)的；有人說(shuō)他在奧數(shù)班學(xué)過(guò)，問(wèn)其原因卻回答不出。其實(shí)這是高中等比數(shù)列求和公式的滲透，在高中，面對(duì)這個(gè)問(wèn)題的推導(dǎo)我們會(huì)利用到錯(cuò)位相減法，具體做法如下：

設(shè)

很顯然利用這樣的代數(shù)方法進(jìn)行推導(dǎo)，對(duì)于小學(xué)生而言理解起來(lái)是很困難的，于是就巧妙地借助幾何直觀將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題進(jìn)行解決。

這時(shí)我出示了下圖：

師：你能結(jié)合這幅圖來(lái)想一想原因嗎？有誰(shuí)看懂了？

一道復(fù)雜的代數(shù)題轉(zhuǎn)化為幾何來(lái)思考和解決是那么直觀、形象、簡(jiǎn)捷，這就是幾何直觀的力量。

綜上所述，借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，可以形象生動(dòng)地展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題的能力。