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        如何根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式

        2022-11-27 19:36:54毛佳艷
        關(guān)鍵詞:關(guān)系式倒數(shù)化簡

        毛佳艷

        數(shù)列的遞推關(guān)系式一般是指相鄰兩項(xiàng)或三項(xiàng)之間的關(guān)系,通常用an+1、an、an-1來表示.由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,需仔細(xì)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式,對其進(jìn)行合理的變形,才能順利求得問題的答案.本文主要談一談如何根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式的形式求其通項(xiàng)公式.

        一、形如an+1-an=f(n)的遞推關(guān)系式

        形如an+1-an=f(n)的遞推關(guān)系式,表示的是數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差項(xiàng)是一個關(guān)于n的式子,可以將通項(xiàng)公式an用相鄰兩項(xiàng)之差的和來表示,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.根據(jù)遞推關(guān)系式求得這些相鄰項(xiàng)之差的和,便可用關(guān)于n的式子來表示an,化簡所得的結(jié)果,即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        例1.

        令n=1,2,3,…,n-1,便可根據(jù)已知的遞推關(guān)系式,求得數(shù)列中所有相鄰兩項(xiàng)之差,將其累加,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.對于形如an+1an=f(n)的遞推關(guān)系式,也可采用類似的思路,令n=1,2,3,…,n-1,將這些式子累乘,即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        二、形如an+1=Aan+B的遞推關(guān)系式

        形如an+1=Aan+B的遞推關(guān)系式比較常見,通常需引入?yún)?shù)k,將其設(shè)為an+1-k=A(an-k),然后將其與已知遞推關(guān)系式的系數(shù)進(jìn)行對比,即可求得k的值,這樣便構(gòu)造出等比數(shù)列{an-B1-A}.根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,就能求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        例2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        引入?yún)?shù)k,便可構(gòu)造出等比數(shù)列{bn},根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        例3.

        通過取倒數(shù),便可將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an+1=Aan+B的形式,再引入?yún)?shù),便可構(gòu)造等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來求得問題的答案.

        可見,遞推關(guān)系式不同,求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也不相同.因此,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,要重點(diǎn)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式,將其進(jìn)行合理的變形,如令n=1,2,3,…,n-1,再將其累加或累乘;引入?yún)?shù)或取倒數(shù),再將其構(gòu)造成等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,這樣便可將問題順利轉(zhuǎn)化為簡單問題來求解,達(dá)到化難為易的目的.

        (作者單位:陜西省神木市職業(yè)技術(shù)教育中心)

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