何燕燕

二項分布是一種重要的分布，很多同學(xué)不能正確判斷一個變量是否服從二項分布，自然也不能很好地利用二項分布的概念來解題.下面，我們來重點剖析二項分布的定義，并探討一下判定一個變量是否服從二項分布的方法，以及利用二項分布的定義求解相關(guān)的概率問題.

一、二項分布的定義及概率公式

在n次獨立重復(fù)試驗中，若（1）每次試驗都有兩個相互對立的結(jié)果，分別為“成功”和“失敗”；（2）每次試驗“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1-p；（3）各次試驗是相互獨立的，用X表示n次試驗中成功的次數(shù)，則X服從二項分布，簡記為X?B（n，p）.在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）.

對于這個定義和概率公式，我們要明確三點：

1.n次試驗是獨立重復(fù)試驗，條件（3）說明了各個試驗的獨立性，條件（1）（2）說明了試驗的重復(fù)性；

2.服從二項分布的變量是指n次獨立重復(fù)試驗中，事件“成功”的次數(shù)；

3.概率公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）中的Ckn是一個組合數(shù)，pk是k次成功的概率，（1-p）n-k是n-k次不成功的概率.由于k次成功和n-k次不成功相互獨立且同時發(fā)生，所以pk（1-p）n-k表示k次成功n-k次不成功的概率.由于k次成功有Ckn種可能，所以任何一種可能發(fā)生的概率都是pk（1-p）n-k，因此在n次試驗中，k次成功且n-k次不成功發(fā)生的概率是Ckn個pk（1-p）n-k相加，即Cknpk（1-p）n-k.

二、判斷一個變量是否服從二項分布的方法

判斷一個變量是不是服從二項分布，主要看三點：

1.各次試驗中的事件是否相互獨立，即試驗是不是n次獨立重復(fù)試驗；

2.在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率是否相同.

3.在每一次試驗中，試驗的結(jié)果是否只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.

例1.女性患色盲的概率是0.25%，X為任取n個女人中患色盲的人數(shù)，請判斷X是否服從二項分布.

分析：把檢查n個女人是否患色盲看成是n次試驗，每次試驗檢查一個女人，有兩個結(jié)果：患色盲與不患色盲，可以分別看成“成功”和“失敗”兩種情況.檢查色盲患者在每次試驗中發(fā)生的概率都是0.25%，即“成功”的概率在每次試驗中都是0.25%，“失敗”的概率即不患色盲，在每次試驗中發(fā)生的概率都是99.75%.在各次試驗中，由于婦女不同，檢查結(jié)果相互之間不影響，即各次試驗是相互獨立的.因此n次試驗是獨立重復(fù)試驗.而X是n個女人中患色盲的人數(shù)，可以看成是n次試驗中“成功”的次數(shù)，所以X服從二項分布，且是服從參數(shù)分別是n，0.25%的二項分布，記作X?B（n，0.25%）.

三、概率公式的應(yīng)用

一些與二項分布有關(guān)的問題中要求根據(jù)實驗的情況求概率.對于此類問題，我們需先根據(jù)二項分布的定義判斷變量是否服從二項分布，然后根據(jù)二項分布的概率公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）進(jìn)行求解.

例2.已知一批產(chǎn)品的次品率是0.12，從中任取5件，設(shè)X為5件中的次品數(shù)，求P（X=3）.

分析：把抽取5件產(chǎn)品看成是5次獨立重復(fù)試驗，每次所抽到的產(chǎn)品有兩種情況：次品與不是次品，我們將是次品看作是“成功”，不是次品看作是“失敗”.由題意可知，每次抽到次品的概率是0.12，即“成功”的概率是0.12，“失敗”的概率是0.88，且各次試驗的結(jié)果互不影響.用X表示5件產(chǎn)品中的次品數(shù)，即X代表5次試驗中成功的次數(shù)，因此X服從二項分布，記作X?B（5，0.12）.根據(jù)二項分布的概率公式P（X=k）=Ck50.12k0.885-k（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=3）C350.1230.882==0.013381632.

在解答問題時，我們通常要先判斷n次試驗是否是獨立重復(fù)試驗，然后找到服從二項分布的變量.一般來說，在n次獨立重復(fù)試驗中，試驗成功或不成功的次數(shù)都是服從二項分布的.設(shè)成功的次數(shù)為X，則X～B（n，p）；設(shè)失敗的次數(shù)為Y，則Y～B（n，1-p）.要根據(jù)所求的概率是與成功有關(guān)，還是與失敗有關(guān)，來確定服從二項分布的變量.

（作者單位：陜西省神木市職業(yè)技術(shù)教育中心）