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        淺談運(yùn)用“割”“補(bǔ)”策略解圖形面積問(wèn)題

        2022-11-25 11:30:33甘肅省天水市秦州區(qū)娘娘壩中學(xué)李亞軍
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:大圓輔助線陰影

        ?甘肅省天水市秦州區(qū)娘娘壩中學(xué) 李亞軍

        1 策略一:割

        所謂“割”,即是對(duì)原圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線,將原圖形分為若干個(gè)常見的規(guī)則圖形(如正方形、直角三角形等),并利用各個(gè)圖形的面積和進(jìn)行求解.使用“割”策略求解的關(guān)鍵在于合理將原圖形進(jìn)行分割,使得分割后的每個(gè)圖形的面積都易于求解.除此之外,還需要對(duì)各個(gè)基本圖形的面積計(jì)算公式了然于心,即可保證正確求解.

        例1已知⊙O是△ABC內(nèi)切圓,D,E,F(xiàn)分別是BC,AC,AB邊上的切點(diǎn),如果BC=a,AC=b,AB=c,內(nèi)切圓O的半徑為r,求△ABC的面積.

        分析:本題不知道三角形的高,所以無(wú)法直接運(yùn)用三角形的面積公式求解,而找出三角形的高具有一定難度,且耗費(fèi)時(shí)間較多.若采用“割”的手段,以圓心O作為三角形頂點(diǎn),以⊙O的半徑作為三角形的高,分別求出△AOB,△AOC,△BOC的面積即可順利求解.

        解:如圖1,連接OA,OB,OC,OD,OE,OF,把△ABC分割為△AOB,△AOC,△BOC三個(gè)部分.

        圖1

        ∵D,E,F(xiàn)是切點(diǎn),

        ∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.

        ∴OD=OE=OF=r.

        練習(xí)1如圖2所示,是由一個(gè)大圓和四個(gè)相同的小圓組成的圖案,若大圓的半徑等于2,則陰影部分的面積為______.

        圖2

        分析:本題陰影部分面積的求解,考查的是勾股定理的應(yīng)用,圓的對(duì)稱性與正方形的性質(zhì),以及對(duì)扇形面積與弓形面積的理解.正多邊形與圓是解題的關(guān)鍵.

        解:如圖3所示,由圓的對(duì)稱性與割補(bǔ)法可得,陰影部分的面積為大圓的面積減去正方形的面積.

        圖3

        ∵大圓的半徑等于2,∠ACB=90°,AC=BC,

        ∴AB=4,AC2+BC2=16.

        ∴AC2=8.

        ∴陰影部分的面積S=π×22-AC2=4π-8.

        2 策略二:補(bǔ)

        所謂“補(bǔ)”,是指通過(guò)對(duì)原圖形添加輔助線的方式將原圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,進(jìn)而利于求解的策略.一般來(lái)說(shuō),需要“補(bǔ)”的圖形都不規(guī)則,不易計(jì)算,因此需要將其“補(bǔ)”成一個(gè)規(guī)則圖形幫助求解.“補(bǔ)”的關(guān)鍵在于根據(jù)原圖形的特點(diǎn)將其添補(bǔ)成一個(gè)常見的且易于求解的圖形,最后利用相關(guān)圖形的面積公式相加或者相減即可得解.如例題2.

        圖4

        分析:本題要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求解,旋轉(zhuǎn)變換前后,對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等,圖形的大小、形狀都不改變.將原正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后得到的陰影部分的圖形極其不規(guī)則,不易直接計(jì)算其面積,“割”的手段也不甚好用,但添加輔助線可將其轉(zhuǎn)變?yōu)榈妊苯翘菪?,利用已知條件和公式可輕松得出陰影部分的面積.

        解:如圖5,設(shè)DC與B′C′交于點(diǎn)E,連接AE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠BAB′=30°.

        圖5

        ∵AD=AB′,AE=AE,∠D=∠B′=90°,

        ∴△AB′E≌△ADE.

        ∵∠B′AD=∠DAB-30°

        =60°,

        ∴∠B′AE=∠DAE=30°.

        練習(xí)2如圖6所示,邊長(zhǎng)等于1的兩個(gè)正方形互相重合,若摁住其中一個(gè)不動(dòng),使另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積為______.

        圖6

        分析:本題考查正方形的性質(zhì)和圖形的旋轉(zhuǎn)變換,可將AD′延長(zhǎng)作輔助線,由于原圖形旋轉(zhuǎn)了45°,因此AD′的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,再用△ABC的面積減去△CD′E的面積即可.

        ④向8只燒杯中依次加入等量適量清水、2×10-11、2×10-10、2×10-9、2×10-8、2×10-7、2×10-6g·L-1的2,4-D溶液。

        解:如圖7所示,連接D′C,設(shè)BC與C′D′交于點(diǎn)E.

        圖7

        ∵正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了45°,

        ∴點(diǎn)D′位于正方形ABCD的對(duì)角線AC上.

        ∴∠D′CE=45°.

        ∵∠AD′E=90°,

        ∴∠ED′C=180°-∠AD′E=180°-90°=90°.

        ∴△CD′E是等腰直角三角形,即CD′=D′E.

        在Rt△ABC中,由勾股定理,可得

        3 策略三:割補(bǔ)并舉

        當(dāng)單獨(dú)使用“割”或者“補(bǔ)”都不能順利求解時(shí),就可以利用割補(bǔ)并舉的方式求解,這種策略在等積變形中最常見.割補(bǔ)并舉是指將原圖形上的某一部分切割下來(lái)放到其他合適的位置上,使其成為一個(gè)較為規(guī)則的圖形,進(jìn)而簡(jiǎn)化求解.運(yùn)用此策略根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行靈活割補(bǔ),結(jié)合題目已知條件計(jì)算求解即可.

        例3如圖8所示,圖中的三塊陰影部分由兩個(gè)半徑等于1的圓和其外公切線分割而得,如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和,則這兩個(gè)圓的公共弦長(zhǎng)等于( ).

        圖8

        分析:本題只利用“割”或者“補(bǔ)”較難求解,既需要“割”又需要“補(bǔ)”.根據(jù)已知條件可得圓的面積恰好等于矩形ABCD的面積,在此基礎(chǔ)上結(jié)合垂徑定理即可解得公共弦長(zhǎng).

        故選正確答案:D.

        練習(xí)3如圖9所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=8 cm,把△ABC以點(diǎn)B為中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長(zhǎng)上點(diǎn)C′處,求AC邊掃過(guò)的圖形(圖中陰影部分)的面積為______(結(jié)果保留π).

        圖9

        分析:本題可將△A′BC′中陰影部分割補(bǔ)到△ABC中,將原陰影部分轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)規(guī)則的環(huán)形,再利用大扇形的面積減去小扇形的面積即可得到所求陰影面積.

        解:由題意可知,點(diǎn)A走過(guò)的路徑為弧AA′,且其所對(duì)的圓心角為∠ABA′=180°-∠A′BC′=180°-60°=120°.

        在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AB=8.

        又∵△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′BC′,

        ∴∠A′BC′=∠ABC=60°.

        在初中數(shù)學(xué)知識(shí)中,內(nèi)角和定理、勾股定理等常用割補(bǔ)法證明,解答與梯形有關(guān)的問(wèn)題也可利用“割”“補(bǔ)”的策略進(jìn)行求解.總而言之,“割”“補(bǔ)”的方法在解題中十分常見,對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力大有裨益,也有助于培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想.

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