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        例析平行四邊形幾個重點性質(zhì)的應(yīng)用

        2022-11-25 11:30:33甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)崆峒鎮(zhèn)初級中學(xué)蘇天偉
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)學(xué)生

        ?甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)崆峒鎮(zhèn)初級中學(xué) 蘇天偉

        1 引言

        平行四邊形及其性質(zhì)既是初中數(shù)學(xué)的重點知識,又是歷年中考命題的熱點[1].由此可見,平行四邊形的性質(zhì)既是基礎(chǔ)又是重點,所以對于初中生而言,了解并掌握其中的幾個重點性質(zhì)非常有必要.基于此,筆者對平行四邊形性質(zhì)中的幾個重點進(jìn)行研究,通過例題分析和方法探究給一線教師教學(xué)提供參考意見.

        2 平行四邊形的性質(zhì)

        平行四邊形的性質(zhì)是北師大版教材八年級數(shù)學(xué)下冊第六章第一節(jié)的內(nèi)容[2].教材在簡要給出平行四邊形的定義后,緊接著安排了平行四邊形的性質(zhì),順序和內(nèi)容如下.

        性質(zhì)1平行四邊形是中心對稱圖形,兩條對角線的交點就是它的對稱中心.

        例1如圖1,直線BD可以將ABCD分成全等的兩個部分,這樣的直線還有很多.

        圖1

        (1)多畫幾條這樣的直線,看看它們有什么共同的特征;

        (2)嘗試用中心對稱圖形的性質(zhì)去解釋你的發(fā)現(xiàn).

        解析:(1)先畫出幾條這樣的直線,然后觀察這些直線的共同特征,如圖2所示.

        圖2

        性質(zhì)2平行四邊形的對邊相等.

        例2小明用長50 cm的鐵絲圍成了如圖3所示的平行四邊形.已知一條邊的長為16 cm,求平行四邊形其他三邊的長.

        圖3

        解析:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)2知,AB=CD,AD=BC,則AB=CD=16(cm),進(jìn)而求出其他兩邊長均為9 cm.

        性質(zhì)3平行四邊形的對角相等.

        例3如圖4所示,四邊形ABCD是平行四邊形,E,F(xiàn)分別是AB和DC邊上的點,且AE=CF.

        圖4

        求證:△ADE≌△CBF.

        分析:本題應(yīng)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先得到AD=CB和∠A=∠C,然后由AE=CF得到△ADE≌△CBF.

        性質(zhì)4平行四邊形的對角線互相平分.

        例4如圖5所示,四邊形ABCD是平行四邊形,AC和BD是它的兩條對角線,且相交于點O.已知OB=3,OA=4,AB=5.試求平行四邊形的其他各邊長,并求出兩條對角線的長.

        圖5

        分析:本題由OB=3,OA=4,AB=5,根據(jù)勾股定理逆定理得到△AOB是直角三角形,且AC⊥BD,再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到DC,AD,BC的長度和兩條對角線的長.

        3 平行四邊形性質(zhì)學(xué)習(xí)的幾個重點

        平行四邊形的性質(zhì)比較多,有些容易搞混淆,一旦混淆,將極不利于“特殊的平行四邊形”的學(xué)習(xí).所以,在學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)時,應(yīng)注意以下幾個重點:

        第一,巧用教材編寫意圖或規(guī)律學(xué)習(xí).

        北師大版初中數(shù)學(xué)教材在介紹幾何圖形時遵循一定的規(guī)律,掌握該規(guī)律對學(xué)習(xí)其他的幾何知識非常有利[3].例如,在介紹平行四邊形時,先介紹定義,然后介紹性質(zhì),再介紹判定定理.學(xué)生在九年級接觸“特殊的平行四邊形”時,也是按照“定義—性質(zhì)—判定定理”這一順序進(jìn)行.如,在介紹平行四邊形的性質(zhì)時,是根據(jù)對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序逐一介紹,那么學(xué)生在九年級接觸特殊的平行四邊形的性質(zhì)時,也是按照中心對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序開展學(xué)生.本文將這兩點規(guī)律總結(jié)為如圖6所示的結(jié)構(gòu)圖.

        圖6

        把握規(guī)律有助于學(xué)生理解和掌握后續(xù)的知識,同時,也有助于提高學(xué)生的思維邏輯能力.學(xué)生在描述圖形的性質(zhì)時會從對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序逐一進(jìn)行,這一點筆者在實際教學(xué)中請學(xué)生回答相關(guān)圖形的性質(zhì)時得到了充分的體現(xiàn).

        第二,準(zhǔn)確把握性質(zhì)與判定定理的區(qū)別.

        就如平行線的性質(zhì)和判定定理至今仍有很多學(xué)生易搞混淆一樣,平行四邊形的性質(zhì)和判定定理也極易搞混淆,如例5中的錯解.

        例5如圖7所示,E,F(xiàn)是ABCD對角線AC上的兩點,且AE=CF.

        圖7

        求證:四邊形BFDE是平行四邊形

        錯解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

        ∴AD=BC,∠DAC=∠BCA(平行四邊形的判定定理).

        ∵AE=CF,

        ∴△ADE≌△CBF(SAS).

        ∴∠DEA=∠BFC.

        ∴∠DEF=∠BFE.

        ∴DE∥BF.

        同理,BE∥DF.

        ∴四邊形BFDE是平行四邊形(平行四邊形的性質(zhì)定理).

        很明顯,在通過平行四邊形ABCD得到AD=BC,∠DAC=∠BCA時,應(yīng)該是利用了平行四邊形的性質(zhì)定理,而通過DE∥BF,BE∥DF得到四邊形BFDE是平行四邊形,應(yīng)該是利用了平行四邊形的判定定理.其實,要準(zhǔn)確區(qū)分利用的是性質(zhì)還是判定定理,只需觀察上下解題步驟之間的關(guān)系.如果平行四邊形的條件寫在前,那么就是利用性質(zhì)定理;如果平行四邊形寫在后,那么就是利用判定定理.

        由此可見,準(zhǔn)確把握性質(zhì)與判定定理之間的區(qū)別,是清楚且牢固掌握平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理的前提.簡單來說,性質(zhì)是已知了平行四邊形之后才得知,而判定定理是尚未清楚圖形是否為平行四邊形,即性質(zhì)是已經(jīng)知道了圖形為平行四邊形,而判定定理是尚不知道圖形為平行四邊形,需解題者加以證明[4].

        第三,注意與平行四邊形綜合的知識點.

        平行四邊形和三角形一樣是初中幾何非常基礎(chǔ)的知識,在中考題中容易與其他知識點綜合生成難度較大的題目,甚至是壓軸題.

        教師在教學(xué)中,不僅要注重本章節(jié)知識點的教學(xué),還應(yīng)該將與之有聯(lián)系的其他知識點結(jié)合起來復(fù)習(xí).如平行線、角平分線、垂直平分線等就可以相互結(jié)合起來復(fù)習(xí).

        例6如圖8,AD是△ABC的角平分線,DE∥AB,且BF=AE.求證:EF=BD.

        圖8

        證明:∵AD平分∠BAC,

        ∴∠1=∠2.

        ∵DE∥AB,

        ∴∠1=∠3.

        ∴∠2=∠3.

        ∴AE=DE.

        ∵BF=AE,

        ∴DE=BF.

        ∵DE∥BF,

        ∴四邊形BDEF是平行四邊形.

        ∴EF=BD.

        4 結(jié)語

        總之,教師在講解平行四邊形的性質(zhì)時,不能僅局限于本節(jié)知識點,而應(yīng)該將視野擴(kuò)大,這更有利形成知識系統(tǒng).學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中,既要注意易錯之處,又要借助本節(jié)知識點構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò),以更豐富、更完善的知識網(wǎng)絡(luò)體系幫助自己提升解決數(shù)學(xué)問題的能力.

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