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        轉(zhuǎn)化策略在解題中的應(yīng)用

        2022-11-25 11:30:33甘肅省天水市秦州區(qū)藉河南路天水石馬坪中學(xué)王文錫
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:解題策略

        ?甘肅省天水市秦州區(qū)藉河南路天水石馬坪中學(xué) 王文錫

        1 一般與特殊的轉(zhuǎn)化

        一般與特殊相互之間的轉(zhuǎn)化,主要是指通過一般規(guī)律求個(gè)例特殊問題以及列舉特殊例子對(duì)一般性問題進(jìn)行解答[1].如特殊圖形求解,可通過填補(bǔ)或分割將其轉(zhuǎn)化為常見的一般圖形,進(jìn)而根據(jù)公式解答.掌握這種轉(zhuǎn)化策略,有助于提升解題的效率.

        例1已知半圓的直徑AB=12 cm,點(diǎn)C,D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn),求弦AC,AD和弧CD圍成的陰影部分面積.(結(jié)果用π表示.)

        分析:如圖1,因?yàn)殛幱安糠謱?duì)應(yīng)的是不規(guī)則圖形,因此無法直接求解其面積.題目中提到了三等分點(diǎn),連接OC,OD,因?yàn)辄c(diǎn)C,D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn),故弧AC,CD,DB均為60°.

        圖1

        解:∵∠ADC=∠DAB,

        ∴AB∥CD.

        ∴S△ACD=S△OCD.

        又∵∠COD=60°,

        2 數(shù)形轉(zhuǎn)化

        數(shù)形轉(zhuǎn)化求解問題較為常見,是指把具體的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題進(jìn)而解答,或?qū)D形等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的代數(shù)問題求解.這種轉(zhuǎn)化求解思路可以體現(xiàn)在數(shù)軸、函數(shù)圖象、幾何圖形等不同方面,需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)和關(guān)注.

        例2若a+b<0,a<0,b>0,試判斷a,-a,b,-b的大小關(guān)系.

        分析:與大小關(guān)系有關(guān)的問題,往往可以借助數(shù)軸這一幾何圖形就能夠直觀地把字母a,-a,b,-b表示出來.

        解:如圖2所示,a,-a,b,-b的大小關(guān)系是a<-b

        圖2

        構(gòu)造如圖3所示的圖形,AB=12,AC⊥AB,BD⊥AB,且AC=2,BD=3.

        圖3

        設(shè)PA=x,則PB=12-x.

        顯然,點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E與點(diǎn)D的連線和AB的交點(diǎn)P即為符合條件的點(diǎn).

        過點(diǎn)E作DB的垂線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則

        PC+PD=PE+PD=DE

        =13.

        故所求的最小值為13.

        3 抽象與具體的轉(zhuǎn)化

        抽象與具體的轉(zhuǎn)化策略主要指通過類比、舉例把抽象的概念和問題具體化,從而轉(zhuǎn)化為已知熟悉的內(nèi)容進(jìn)行解答[2].如求線段旋轉(zhuǎn)后的軌跡,可類比圓弧得到具體的公式,即可進(jìn)行下一步解答.抽象與具體轉(zhuǎn)化的策略,對(duì)解答一些定義題或幾何問題有一定的幫助.

        圖4

        圖5

        分析:這道題很容易與兩圓的位置關(guān)系相聯(lián)系,圓與圓之間的位置關(guān)系包括外離、外切、內(nèi)切、內(nèi)含等情況,類比正方形也存在這些位置關(guān)系,進(jìn)一步分情況分別求解即可.

        解:

        O1D=2,O2F=1,O1O2≥0.

        聯(lián)系兩圓的位置關(guān)系容易得出:

        當(dāng)O1O2=3時(shí),有一個(gè)公共點(diǎn);

        當(dāng)O1O2>3或0≤O1O2<1時(shí),沒有公共點(diǎn).

        4 整體與部分的轉(zhuǎn)化

        整體與部分的轉(zhuǎn)化策略是指把問題所求看作一個(gè)整體或部分個(gè)體,使其問題得到簡(jiǎn)單化從而解答.如扇形面積求解可看作一個(gè)圓的部分,根據(jù)占據(jù)圓的比例即可求出對(duì)應(yīng)面積大小.這種解題策略,能使陌生未知的問題轉(zhuǎn)化為已知熟悉的內(nèi)容,應(yīng)讓學(xué)生重視.

        例6如圖6,圓A、圓B、圓C三個(gè)圓兩兩相交,并且半徑都是0.5 cm,則圖中陰影部分面積為( ).

        圖6

        解:雖然無法單獨(dú)求出每一個(gè)陰影部分的面積,但通過觀察可以發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和為180°.三個(gè)扇形的圓心角加起來剛好是180°,又因?yàn)槿齻€(gè)圓的半徑都相等,因此三個(gè)扇形面積之和可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)半圓的面積.

        故選答案:B.

        5 結(jié)語

        總而言之,轉(zhuǎn)化策略對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量與能力的提升有著重要幫助,教師應(yīng)當(dāng)重視多種教學(xué)方法的運(yùn)用以幫助學(xué)生理解并牢固掌握轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用,使學(xué)生能夠靈活地應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略解決各種數(shù)學(xué)問題,使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化,達(dá)到大幅提高學(xué)習(xí)效果的最終目的.

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