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        用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)生成課堂及簡(jiǎn)評(píng)
        ——以一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課為例

        2022-11-25 11:30:33湖北省赤壁市教學(xué)研究室王紅華
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:思路思想數(shù)學(xué)

        ?湖北省赤壁市教學(xué)研究室 王紅華

        筆者曾受邀參加咸寧市名師工作室研討活動(dòng),會(huì)上研討了一節(jié)“一題一課”型的復(fù)習(xí)課.大部分教師在討論中提出,中考前的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課難上,認(rèn)為復(fù)習(xí)課是“三無(wú)”產(chǎn)品,即“無(wú)教材、無(wú)教參、無(wú)教案”,因此許多教師往往依賴各類教輔資料搞“題海戰(zhàn)術(shù)”,導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)加重,阻礙數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.而“一題一課”的課型就是讓學(xué)生走出題海,減負(fù)增效.這種課型以一個(gè)問(wèn)題為背景材料,深度挖掘問(wèn)題的條件、結(jié)論和解決問(wèn)題的思路,引導(dǎo)學(xué)生多角度思考,從知識(shí)體系的高度去變式拓展,探究新的問(wèn)題解決方案,并提煉其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,揭示問(wèn)題的本質(zhì),促進(jìn)思維能力的發(fā)展,進(jìn)而提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).

        筆者以人教版八年級(jí)上冊(cè)第十三章第4節(jié)的課題學(xué)習(xí)“最短路徑問(wèn)題”的問(wèn)題1為素材,討論用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)基于“一題一課”型復(fù)習(xí)課的生成過(guò)程并作簡(jiǎn)要評(píng)析.

        1 課本問(wèn)題呈現(xiàn)

        問(wèn)題如圖1,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

        圖1

        2 課堂生成思路

        此問(wèn)題也叫將軍飲馬問(wèn)題,是每年各地中考的熱點(diǎn)之一.解決本問(wèn)題可以作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,如圖2,連接A′B,交直線l于點(diǎn)C,即AC+BC最小.本問(wèn)題通過(guò)軸對(duì)稱變換,將直線同側(cè)兩點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)變換到另一側(cè),而不改變路徑的總長(zhǎng)度,利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決本問(wèn)題.這其中蘊(yùn)含化歸思想,在解決問(wèn)題的過(guò)程中軸對(duì)稱變換起到了橋梁作用.

        圖2

        此問(wèn)題為解決最短徑問(wèn)題提供了思考方法,下面繼續(xù)對(duì)本問(wèn)題進(jìn)行思考.此問(wèn)題中對(duì)象的特征是:有三個(gè)點(diǎn),其中一個(gè)點(diǎn)在直線上,另兩個(gè)點(diǎn)實(shí)際上是兩定點(diǎn)且在直線的同側(cè).用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),從特殊到一般的思想去思考,能否由定點(diǎn)想到動(dòng)點(diǎn),而動(dòng)點(diǎn)往往在某個(gè)幾何圖形上,由此我們可以聯(lián)想到點(diǎn)A,B在某個(gè)幾何圖形上,由靜到動(dòng)多角度變式拓展,聯(lián)系前后所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí),將此問(wèn)題逐步推進(jìn),提出新問(wèn)題,然后分析問(wèn)題,解決問(wèn)題,進(jìn)而加深對(duì)知識(shí)的理解,提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力,同時(shí)提升思維的廣闊性和深刻性.

        2.1 聯(lián)系直線型生成

        上述已經(jīng)聯(lián)想到點(diǎn)A,B在某個(gè)幾何圖形上,可以用分類的思想,將初中幾何圖形簡(jiǎn)單分為直線型、圓、一般曲線型(拋物線、雙曲線).最簡(jiǎn)單的一種,如問(wèn)題1:如圖3,直線l1與直線l2相交于點(diǎn)O,點(diǎn)B為一定點(diǎn),若點(diǎn)A在直線l1上且與點(diǎn)B在直線l2的同側(cè),點(diǎn)C為直線l2上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C分別在何處時(shí),AC+BC的值最???

        圖3

        解法指引:?jiǎn)栴}1與將軍飲馬問(wèn)題不同之處在于點(diǎn)A不是定點(diǎn),但A和B都在直線l2的同側(cè),這與將軍飲馬問(wèn)題中的對(duì)象有相似性,可以將此問(wèn)題歸類為將軍飲馬問(wèn)題,進(jìn)而類比將軍飲馬問(wèn)題的解決方法去求解.學(xué)生容易想到用以下思路一解決.

        思路一:如圖4,作點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B′,此時(shí)BC=B′C,求AC+BC的最小值,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.過(guò)點(diǎn)B′作直線l1的垂線,垂足為點(diǎn)A,連接AB′交直線l2于點(diǎn)C,即點(diǎn)A,C為所求點(diǎn).

        圖4

        用整體的思想繼續(xù)思考,若將直線l1看作是“定”的整體,能否通過(guò)類比將軍飲馬問(wèn)題加以解決?于是指導(dǎo)學(xué)生用以下思路二加以解決.

        思路二:如圖5,作直線l1關(guān)于直線l2的對(duì)稱直線l3,此時(shí)過(guò)B作BD垂直于直線l3,垂足為D,交直線l2于點(diǎn)C,作D關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)A,即BD為AC+BC的最小值,點(diǎn)A,C為所求點(diǎn).

        圖5

        兩種思路的證明也可讓學(xué)生類比將軍飲馬問(wèn)題的證明,但此問(wèn)題利用“垂線段最短”來(lái)說(shuō)理,證明過(guò)程略.思路二中利用整體思想,使生疏的問(wèn)題熟悉化,復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而順利解決問(wèn)題.

        聯(lián)系等邊三角形、菱形、正方形性質(zhì)可編寫習(xí)題.根據(jù)學(xué)情,也可讓學(xué)生自主編題.以下就是結(jié)合等邊三角形性質(zhì)編寫的例題.

        例1(2020·營(yíng)口中考題改編)如圖6,△ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)為6,AD⊥BC,垂足為D,E和F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),連接BE,EF,則BE+EF的最小值為.

        圖6

        分析:此題中,點(diǎn)B和點(diǎn)F在AD的同側(cè),點(diǎn)F和點(diǎn)E分別為AB和AD上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為將軍飲馬直線型拓展模型解決.本題中根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,求BE+EF的最小值,問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到AB的距離,如圖7.解法略.

        圖7

        2.2 聯(lián)系圓生成

        按分類思想,繼續(xù)考慮,點(diǎn)A若在圓上呢?

        問(wèn)題2如圖8,點(diǎn)B為一定點(diǎn),圓O與點(diǎn)B在直線l的同側(cè),若點(diǎn)A為圓O上一動(dòng)點(diǎn),C點(diǎn)為直線l上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)A,C在何處時(shí),AC+BC的值最?。?/p>

        圖8

        解法指引:點(diǎn)A在定圓O上且與點(diǎn)B均在直線l的同側(cè),類比以上直線型拓展模型,也有兩種思路.

        思路一:如圖9,作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最小值.連接點(diǎn)B′和圓心O,交圓O于點(diǎn)A,交直線l于點(diǎn)C,點(diǎn)A,C即為所求點(diǎn).

        圖9

        思路二:直線型拓展模型將點(diǎn)A所在的直線看作“定”的整體,在這個(gè)問(wèn)題中,同樣用到整體思想,我們也可把點(diǎn)A所在的圓O看作“定”的整體.類比思路一的方法,如圖10,作定圓O關(guān)于直線l的對(duì)稱圓O′,連接BO′,交圓O′于點(diǎn)A′,交直線l于點(diǎn)C,作點(diǎn)A′關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A,點(diǎn)A,C即為所求點(diǎn).此問(wèn)題利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)證明,理由從略.

        圖10

        進(jìn)一步用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),從特殊到一般的思想去思考:若點(diǎn)A,B在兩個(gè)不同圓上呢?學(xué)生作圖進(jìn)一步探究.

        問(wèn)題3如圖11,若點(diǎn)A為圓O1上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B為圓O2上一動(dòng)點(diǎn),圓O1與圓O2在直線l的同側(cè),C為直線l上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)A,B,C分別在何處時(shí),AC+BC的值最小?

        圖11

        圖12

        例2(2013·重慶高考)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為( ).

        圖13

        2.3 聯(lián)系拋物線生成

        用分類的思想進(jìn)一步思考,若點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在直線和拋物線上呢?引導(dǎo)學(xué)生探究,數(shù)形結(jié)合思想,最后拓展成如下問(wèn)題.

        問(wèn)題4如圖14,若A為直線l:y=x+1上一點(diǎn)且在x軸上方,B為拋物線y=x2-4x+5上一動(dòng)點(diǎn),C為x軸上一動(dòng)點(diǎn),求AC+BC的最小值.

        圖14

        3 課例評(píng)析

        3.1 點(diǎn)成線,線成體,強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)系

        本節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課在素材的選擇上具有重要意義,選擇具有生長(zhǎng)力的問(wèn)題,以一個(gè)問(wèn)題為點(diǎn),聯(lián)系前后知識(shí),梳理相關(guān)知識(shí)點(diǎn),以思想方法為線索,在逐步變式拓展推進(jìn)中,將知識(shí)點(diǎn)與思想方法融合,形成了知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

        3.2 思想方法引導(dǎo),課堂生成行云流水

        在變式拓展過(guò)程中,用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),從特殊到一般,以分類思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想為引導(dǎo),聯(lián)系直線、圓及拋物線進(jìn)行變式拓展,層層深入,自然生成一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課,最后解決問(wèn)題的方法動(dòng)中取靜,透過(guò)表象找到本質(zhì).

        3.3 對(duì)比分析,學(xué)生思維得以呈現(xiàn)

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)習(xí)思維方法、提高思維能力.在數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)下,變式拓展問(wèn)題,分析對(duì)比變式拓展前后的問(wèn)題對(duì)象的共同特征,思考能否將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拓展前的問(wèn)題加以解決,讓學(xué)生從思維的角度找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn).如,本文中讓學(xué)生分析變式拓展前后問(wèn)題對(duì)象具有的共同特征,某兩個(gè)對(duì)象都在直線的同側(cè),都是求最值的問(wèn)題.讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)問(wèn)題的思考、拓展、對(duì)比分析、探索、提煉的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生思維.

        4 結(jié)束語(yǔ)

        由于篇幅所限,本文只闡述了用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)生成一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課的過(guò)程及簡(jiǎn)要評(píng)析,在具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程中,可根據(jù)學(xué)情,創(chuàng)造性地變式拓展提問(wèn),合理有序地組織學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)探究活動(dòng),讓學(xué)生在活動(dòng)的過(guò)程中,數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)技巧和數(shù)學(xué)方法得到有效演繹,從而幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),總結(jié)解題方法和規(guī)律,提升數(shù)學(xué)思維能力.

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