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        規(guī)律源自猜想 精彩源于變式 素養(yǎng)成于實(shí)踐
        ——以“兩條直線成為折線型平行線的條件”教學(xué)為例

        2022-11-25 11:30:33廣州市駿景中學(xué)顧桂新
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:線型證法平行線

        ?廣州市駿景中學(xué) 顧桂新

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí),經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng),發(fā)展合情推理能力.猜想是獲得規(guī)律的方法,在觀察中獲得的特殊例子放到一般情況下看看是否也有這種可能性,即從特殊到一般.一題多解的變式教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲,向?qū)W生展示不同的思考過(guò)程,根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適當(dāng)?shù)赝卣菇忸}思路,從而讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)有意義地建構(gòu),也能使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提高,這是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán).基于此,筆者根據(jù)人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué),執(zhí)教了“兩條直線成為折線型平行線的條件”,從“特殊到一般”“一題多解”上下功夫,收獲良多.

        1 從特殊到一般,以舊引新,大膽猜想,導(dǎo)出主題

        學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“平行線的判定方法”“平行線的性質(zhì)定理”等知識(shí),明確“角的數(shù)量關(guān)系”與“兩直線位置關(guān)系(平行)”之間是可以互推的.如何從這些舊知識(shí)出發(fā),使學(xué)生想到,“兩條直線成為折線型平行線的條件”呢?

        問(wèn)題1我們知道平行線判定方法有四種.如圖1,AB,CD被BD所截,∠B,∠D滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),AB∥CD?

        圖1

        設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)動(dòng)態(tài)改變AB的位置,明確“∠B+∠D=180°”與“兩直線平行”可以互推,喚醒學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備.

        問(wèn)題2如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),猜一猜:若AB∥CD,則∠B+∠D與∠BOD須滿足什么數(shù)量關(guān)系?

        圖2

        設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)增加點(diǎn)O,在兩個(gè)同旁內(nèi)角基礎(chǔ)上增加了一個(gè)平角.當(dāng)∠B+∠D=180°時(shí),AB∥CD;而∠BOD=180°.從而引導(dǎo)學(xué)生得到當(dāng)點(diǎn)O在線段BD上移動(dòng)時(shí),∠B+∠D與∠BOD須滿足某個(gè)數(shù)量關(guān)系,AB,CD方可以成為平行線.

        問(wèn)題3當(dāng)點(diǎn)O從線段BD上移動(dòng)到平面內(nèi)任意位置,即變成折線型時(shí),不妨研究點(diǎn)O向左移動(dòng)時(shí)的情況.如圖3,猜一猜:∠B,∠D,∠BOD須滿足什么數(shù)量關(guān)系,才有AB∥CD?

        圖3

        設(shè)計(jì)意圖:在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上引出本節(jié)課主題“兩條直線成為折線型平行線的條件”,同時(shí)通過(guò)問(wèn)題2的特殊情況,引導(dǎo)學(xué)生從“特殊到一般”探究規(guī)律的過(guò)程中,通過(guò)觀察,猜想三個(gè)角之間滿足什么數(shù)量關(guān)系,兩條直線能成為“折線型”平行線.

        在問(wèn)題3中,學(xué)生猜想三個(gè)角之間滿足∠B+∠D=∠BOD時(shí),AB∥CD,即為兩條直線成為“折線型”平行線的條件.接下來(lái)證明猜想的正確性.

        2 一題多解,突出思維之道

        證明兩條直線平行的方法有多種,通常從“三線八角”的基本圖形中尋找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等,運(yùn)用平行公理或平行線判定定理解決.若沒(méi)有現(xiàn)成的“三線八角”,就需要構(gòu)造,這是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

        問(wèn)題4問(wèn)題3猜想的證明如何通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造“三線八角”,找出解題路徑呢?

        設(shè)計(jì)意圖:教師先引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造同旁內(nèi)角互補(bǔ),證明兩直線平行,證法1作為例題加以講解;然后學(xué)生模仿證法1,由平行線的判定方法,從內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、平行公理等角度思考,添加輔助線解決問(wèn)題.證法2~5是學(xué)生提出來(lái)的各種解法.

        證法1:如圖4,連接BD,構(gòu)造同旁內(nèi)角互補(bǔ),證明兩直線平行.

        圖4

        在△BOD中,∠2+∠3+∠BOD=180°.

        又∵∠BOD=∠1+∠4,

        ∴∠2+∠3+∠1+∠4=180°.

        ∴∠ABD+∠BDC=180°.

        ∴AB∥CD.

        證法2:如圖5,延長(zhǎng)BO,與CD交于點(diǎn)E,構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等,證明兩直線平行.

        圖5

        在△OED中,∠1+∠D=180°-∠DOE.

        又∠BOD=180°-∠DOE,

        ∴∠1+∠D=∠BOD.

        ∵∠BOD=∠B+∠D,

        ∴∠1+∠D=∠B+∠D,即∠1=∠B.

        ∴AB∥CD.

        證法3:如圖6,過(guò)點(diǎn)O作直線a∥AB,從平行公理的角度思考,構(gòu)造中間量,由直線a∥AB知∠1=∠B.

        圖6

        ∵∠BOD=∠1+∠2,

        ∠BOD=∠B+∠D.

        ∴∠1+∠2=∠B+∠D.

        ∴∠2=∠D.

        ∴a∥CD.

        ∴AB∥CD.

        證法4:從將∠BOD拆解成兩個(gè)小角的角度思考.如圖7,作∠BOE=∠B,則OE∥AB.

        圖7

        ∵∠BOD=∠BOE+∠DOE,∠BOD=∠B+∠D,

        ∴∠BOE+∠DOE=∠B+∠D.

        ∴∠DOE=∠D.

        ∴OE∥CD,

        ∴AB∥CD.

        證法5:構(gòu)造垂直,將AB,CD直接聯(lián)系起來(lái).如圖8,過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線,交AB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,則∠BEO=90°,且∠1+∠B=90°.

        圖8

        ∵∠1+∠2+∠BOD=180°,∠BOD=∠B+∠D,

        ∴∠1+∠2+∠B+∠D=180°.

        ∴∠2+∠D+90°=180°.

        ∴∠2+∠D=90°.

        ∴∠OFD=90°.

        ∴∠OFD+∠BEO=180°.

        ∴AB∥CD.

        上述證法是學(xué)生通過(guò)猜測(cè)、嘗試,在教師指導(dǎo)下得出的證明方法.通過(guò)一題多解,啟發(fā)學(xué)生基于原有經(jīng)驗(yàn),突破思維局限,創(chuàng)新探究思路,完成探索推理,概括獲得新知;通過(guò)一題多解,培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于嘗試的精神.

        3 歸納共性,揭示問(wèn)題本質(zhì)規(guī)律,觸類(lèi)旁通

        通過(guò)對(duì)問(wèn)題3猜想的五種證法的學(xué)習(xí),發(fā)現(xiàn)除了證法1外,其他的方法都是以點(diǎn)O為切入點(diǎn),也就是所作的輔助線都與點(diǎn)O有關(guān)系,如過(guò)點(diǎn)O作平行、延長(zhǎng)BO、過(guò)點(diǎn)O作垂直等,其目的是依據(jù)現(xiàn)有的圖形通過(guò)作輔助線,構(gòu)造“三線八角”和三角形這兩種基本圖形,從而根據(jù)“三線八角”角度之間的數(shù)量關(guān)系與三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行等量代換,得到角的關(guān)系,最終證明兩直線平行,這是該研究的根本所在.

        問(wèn)題5剛才研究了點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)的情況,那么當(dāng)點(diǎn)O在平面內(nèi)向其他方向運(yùn)動(dòng)時(shí),還可以得到哪些不同的新圖形呢?對(duì)每種新圖形,∠B,∠D,∠BOD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),AB∥CD?請(qǐng)證明你的猜想.

        設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖、試驗(yàn),得到不同類(lèi)型的兩條直線成為折線型平行線的圖形.如圖9所示,點(diǎn)O可以向右運(yùn)動(dòng),向左上運(yùn)動(dòng),向右上運(yùn)動(dòng),等等.對(duì)于每一種圖形結(jié)論的猜想與證明,引導(dǎo)學(xué)生在課后根據(jù)自己的選擇,選取自己喜歡的方法完成,并體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化中不變的規(guī)律.

        圖9

        4 結(jié)語(yǔ)

        變式教學(xué)即通過(guò)不斷改變問(wèn)題情境、問(wèn)題條件,探索變化規(guī)律以及變化中的不變性質(zhì).在整個(gè)教與學(xué)的活動(dòng)過(guò)程中,學(xué)生既要參與解題,更要參與數(shù)學(xué)思考,在思考的過(guò)程中去體會(huì)“變”與“不變”的辯證思想,體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.

        通過(guò)變式教學(xué),不僅改變了學(xué)生被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式,也大大開(kāi)闊了教師的解題視野.教師不必再停留在繁忙的找題、做題、講題的題海戰(zhàn)術(shù)之中,而是可以更好地利用經(jīng)典試題進(jìn)行深度剖析,充分演變,揭示問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律,達(dá)成舉一反三、觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果.

        本節(jié)變式教學(xué)課,從特殊到一般,給學(xué)生創(chuàng)造觀察、探究、猜想、歸納等學(xué)習(xí)機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”,讓學(xué)生在活動(dòng)中增強(qiáng)求知欲,凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位,克服學(xué)習(xí)中的思維定式.通過(guò)“一題多解”的變式教學(xué),向?qū)W生展示不同的思考過(guò)程,根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適當(dāng)?shù)赝卣菇忸}思路,從而讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)有意義地建構(gòu),也能使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都能得到提高,這是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán).

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