孫榮坤，胡王平，周?？?，張志新

(浙江大學(xué)能源工程學(xué)院，杭州 310000)

0 引言

磨床是一種重要的精加工設(shè)備，砂輪不平衡引起的振動會嚴(yán)重影響磨床的磨削質(zhì)量，引起砂輪不平衡的主要因素有：砂輪顆粒系分布不均、安裝砂輪的主軸存在剩余不平衡、砂輪安裝誤差導(dǎo)致的偏心、附著在砂輪上的冷卻液不均勻。上述不平衡因素伴隨著整個磨削過程，砂輪的不平衡狀態(tài)不斷在發(fā)生變化，因此通過常規(guī)離線式動平衡儀實現(xiàn)“一次平衡，長期使用”的方法對高精度磨床顯然是不行的。

對于高速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，可通過球式、擺錘式、環(huán)裝液體式被動自動平衡系統(tǒng)[1-2]實現(xiàn)無額外能量輸入的自動平衡，但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在低于臨界轉(zhuǎn)速時會加劇不平衡，影響磨床磨削精度，因此不適用于磨床系統(tǒng)。隨著磨削精度地不斷提高，砂輪在線自動平衡系統(tǒng)應(yīng)運而生，該系統(tǒng)可實現(xiàn)磨床運行全程監(jiān)測，并根據(jù)一定的自動控制策略自動補償不平衡量。磨床砂輪自動平衡系統(tǒng)的兩個核心為動平衡執(zhí)行結(jié)構(gòu)以及自動平衡算法，磨床用動平衡頭主要有機械式、噴液式、電磁式等[3-4]；其中機械式、噴液式動平衡頭由于結(jié)構(gòu)可靠、控制簡單在精密磨床上得到了廣泛應(yīng)用；而動平衡算法經(jīng)過多年的發(fā)展，出現(xiàn)了不少可用的動平衡算法。

經(jīng)典的自動平衡策略有影響系數(shù)法自動平衡法[5]及其改進策略，如極小化最大殘余振動的MINMAX影響系數(shù)法[6]、攝動影響系數(shù)法[7]、基于嶺估計的影響系數(shù)法[8]、基于遺傳算法優(yōu)化的影響系數(shù)法[9]等，影響系數(shù)法具有平衡速度快，精度高的優(yōu)點；但該方法需要采集振動相位，對于出廠前未預(yù)埋霍爾元件的磨床，只能貼反光紙通過光電器件獲取鍵相信號，進而測得相位，而反光紙易被冷卻液腐蝕，導(dǎo)致該方法難以長周期運行；該方法還需對平衡盤轉(zhuǎn)動角度精確控制，需采用步進或伺服電機，這樣會大大增加動平衡頭的軸向尺寸，甚至改變磨床的振動特性。坐標(biāo)輪換法[10-11]則僅需要測定軸承處的振動大小，具有信號采集容易、無需精確控制平衡盤相位，更適應(yīng)簡單緊湊結(jié)構(gòu)的特點；但坐標(biāo)輪換法在有高精度需求時，須保證兩平衡質(zhì)量嚴(yán)格同步旋轉(zhuǎn)，這在結(jié)構(gòu)簡單緊湊的磨床砂輪平衡頭上很難實現(xiàn)，且坐標(biāo)輪換尋優(yōu)分為相位尋優(yōu)和幅值尋優(yōu)兩步，兩步尋優(yōu)的誤差互相疊加更進一步影響了平衡的最終精度?；ぷ兘Y(jié)構(gòu)平衡算法[12]屬非線性控制，具有平衡精度高，魯棒性好的特點，但在滑膜面附近存在“抖振”現(xiàn)象，易引起執(zhí)行器不必要的磨損以及發(fā)熱。粒子群算法[13]以及遺傳算法[14-15]等屬智能控制算法，具有魯棒性好，不易陷入局部最優(yōu)的特點，但存在計算量大，實時性稍差的問題，不適用于磨床砂輪動平衡。

針對上述不足，提出一種硬件要求低、平衡精度高、平衡速度快的基于貪心算法的雙盤異步動平衡策略，以滿足開發(fā)低成本高精度的磨床砂輪在線動平衡系統(tǒng)的需要。

1 自動平衡原理

動平衡頭是磨床在線自動平衡系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)，國內(nèi)外多個研究機構(gòu)[16-20]對此進行了研究，目前主要有機械式、噴液式、電磁式等多種平衡頭，如圖1所示。但其本質(zhì)上還是利用兩個或兩個以上的等效偏心質(zhì)量相等的旋轉(zhuǎn)來校正磨床的不平衡量，動平衡過程原理如圖2所示，其中m為系統(tǒng)等效偏心質(zhì)量，ma、mb為兩平衡盤的等效偏心質(zhì)量，設(shè)ma=mb=M，三者的相位分別為φa、φb、φ。

(a) 機械式外部平衡頭 (b) 機械式內(nèi)部平衡頭

圖2 動平衡原理圖

則總體不平衡量mt為：

mt=M·eiφa+M·eiφb+m·eiφ

(1)

令系統(tǒng)原有不平衡量的相位固定于直角坐標(biāo)系的y軸負(fù)半軸，兩平衡盤的相對位置任意轉(zhuǎn)動，則總體不平衡量幅值|mt|滿足以下關(guān)系式：

(2)

2 基于貪心算法的雙盤異步動平衡策略

2.1 貪心算法簡介

貪心算法[21]是求解最優(yōu)化問題的重要方法之一，該算法將復(fù)雜最優(yōu)化問題分解成規(guī)模較小的子問題，并求解子問題的局部最優(yōu)解，最后組合全部的局部最優(yōu)解得出全局最優(yōu)解。貪心算法的基本過程為：①建立數(shù)學(xué)模型來描述問題；②把求解的問題分成若干個子問題；③對每個子問題求解，得到子問題的局部最優(yōu)解；④把子問題的解局部最優(yōu)解合成原來問題的全局最優(yōu)解。

2.2 基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)策略設(shè)計

2.2.1 雙盤異步動平衡貪心算法數(shù)學(xué)模型

自動平衡尋優(yōu)過程本質(zhì)上是在一定的約束條件下，以總體不平衡量最小為目標(biāo)的最優(yōu)化問題，該過程的可以用數(shù)學(xué)模型描述為：

(3)

式中，φi為第i個獨立的等效平衡質(zhì)量塊的相位列向量；φij為第i個獨立的等效平衡質(zhì)量塊在j時刻所處的相位；gm(x)、hn(x)為平衡過程的約束函數(shù)；f(φ1,φ2,…,φi)為在約束條件下的最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

而貪心算法是求解該類問題的有效方法之一，在滿足無“后效性”條件下，或在通過正確性證明的前提下，具備找到全局最優(yōu)解的條件，可有效避免陷入局部最優(yōu)解，最終實現(xiàn)完全平衡。

2.2.2 貪心算法子問題分解

(4)

M[1-sin(α-β)]=m·sinα

(5)

從上式可以得出，第一次單盤異步尋優(yōu)的局部最優(yōu)解是以固定盤相位為邊界條件的局部最優(yōu)解，可以顯式的表示為：

(6)

第一次尋優(yōu)的停止位置實際上是在固定B盤所處的相位下的以總不平衡量最小為目標(biāo)的局部最優(yōu)解，接下來應(yīng)固定A盤，尋找下一個新的局部最優(yōu)解，該過程的數(shù)學(xué)描述為：

(7)

M[1+sin(α-β)]=m·cosβ

(8)

該解實際上是在上一次尋優(yōu)結(jié)束的基礎(chǔ)上，以不平衡量最小為目標(biāo)的局部最優(yōu)解，根據(jù)貪心算法思想，需要多次交替異步迭代，根據(jù)式(5)和式(8)可得基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)過程的最優(yōu)解遞推方程組：

(9)

2.2.3 貪心算法正確性證明

貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優(yōu)解，首先選擇的貪心策略必須具備無后效性，即某個狀態(tài)以后的過程不會影響以前的狀態(tài)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。其次，貪心算法最終能否找到全局最優(yōu)解的關(guān)鍵就是能否通過正確性的證明，常用的方法有歸納法和交換論證法，這里用數(shù)學(xué)歸納法進行證明：

假設(shè)第k步時，貪心算法全局最優(yōu)解存在，則根據(jù)式(9)可知，第k步的全局最優(yōu)列向量為：

(10)

那么在第(k+1)步時，根據(jù)式(9)可得：

(11)

從中可解出βk+1、αk+2，兩者組成第k+1步的全局最優(yōu)解向量為：

(12)

根據(jù)式(10)和式(12)可知，在k+1步，貪心算法依然能夠找到全局最優(yōu)解，因此，在k∈N*時，貪心算法均能找到全局最優(yōu)解。綜上所述，基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)算法能夠通過正確性證明。根據(jù)貪心算法的性質(zhì)可知，在通過正確性證明前提下，全局最優(yōu)解αopt、βopt必存在于A、B盤異步迭代局部最優(yōu)解的全集Φ*中，即：

(13)

式中，αopt、βopt是以{mt|minmt=M·eiφa+M·eiφb+m·eiφ}為目標(biāo)的全局最優(yōu)解，即兩平衡盤合成不平衡量與被平衡對象的原有不平衡量等大反相，此時被平衡對象達到完全平衡狀態(tài)。

2.2.4 雙盤異步尋優(yōu)策略程序框圖

根據(jù)以上分析，可以歸納出基于貪心算法的雙盤異步動平衡策略，式(4)和式(9)多次反復(fù)迭代的過程實際上是兩偏心質(zhì)量多粗異步轉(zhuǎn)動尋優(yōu)的過程。依據(jù)貪心思想，單次異步尋優(yōu)，偏心盤相位轉(zhuǎn)動至振動局部最優(yōu)相位即可，在滿足無后效性前提下，所有局部最優(yōu)的組合即為全局最優(yōu)，則整個尋優(yōu)策略的程序框圖如圖3所示。

圖3 雙盤異步動平衡策略程序框圖

3 基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)策略的數(shù)值模擬

動平衡頭的平衡能力與平衡精度，跟平衡盤質(zhì)量與砂輪實際平衡量之比密切相關(guān)，存在一個最佳的匹配比，根據(jù)Schmmit公司SBS系列動平衡頭產(chǎn)品手冊給出的選型建議，平衡盤質(zhì)量與被平衡砂輪的適宜質(zhì)量比一般控制在1～3.3之間。以此為依據(jù)，利用MATLAB對基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)策略進行數(shù)值模擬分析，令A(yù)、B平衡盤的質(zhì)量為被平衡對象偏心質(zhì)量的2倍，具體模擬實驗參數(shù)如表1所示。

表1 數(shù)值模擬實驗參數(shù)表

基于以上實驗參數(shù)，用MATLAB仿真基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)全過程，其結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以得出，自動平衡開始后，兩平衡盤與被平衡對象的總不平衡量快速下降，表明本策略具有對惡劣工況快速調(diào)節(jié)的特點；在步進次數(shù)為23步左右時，總體不平衡量開始出現(xiàn)震蕩，總體趨勢為震蕩下降，最終在47步進次數(shù)處實現(xiàn)了幾乎完全平衡。

圖4 基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)仿真 圖5 尋優(yōu)過程中狀態(tài)信號切換

為了更直觀的了解雙盤異步尋優(yōu)過程中，兩盤異步轉(zhuǎn)動方向以及兩盤轉(zhuǎn)動狀態(tài)切換時間節(jié)點，繪制尋優(yōu)切換信號圖，如圖5所示，切換信號用sig表示，sig=0表示當(dāng)前時刻未進行A/B盤切換或轉(zhuǎn)動方向切換；sig=1表示當(dāng)前時刻進行了A/B盤切換；sig=2表示當(dāng)前時刻進行了轉(zhuǎn)動方向切換。

從圖5中可以得出，在動平衡前期，切換信號sig出現(xiàn)頻次很低，說明在該自動平衡階段前期，對轉(zhuǎn)動盤切換以及轉(zhuǎn)動方向的切換需求很小，節(jié)省了切換信號時間以及動平衡系統(tǒng)響應(yīng)時間，最終表現(xiàn)出對大振動具有快速下降能力。在動平衡中后期，動平衡過程中對A/B盤切換的需求較大，引起了圖5中的震蕩現(xiàn)象，且越接近完全平衡點，A/B盤切換越頻繁。從一定程度上講，A/B盤頻繁切換保證了最終平衡精度，但對平衡速度會有一定的影響。

4 實驗驗證

為驗證基于貪心算法的雙盤異步動平衡策略的實際性能，在實驗室的轉(zhuǎn)子振動試驗臺進行了實驗，試驗臺由額定轉(zhuǎn)速1500 r/min的三相異步電動機、BE-1400A型動平衡頭以及相應(yīng)信號采集、處理、控制系統(tǒng)組成，試驗臺及測控系統(tǒng)如圖6和圖7所示。

圖6 動平衡試驗臺圖7 動平衡測控系統(tǒng)

利用上述的實驗裝置，對雙盤異步尋優(yōu)策略進行多次實驗驗證，實驗結(jié)果匯總?cè)绫?所示。

表2 實驗結(jié)果數(shù)據(jù)匯總表

振動時域圖如圖8所示。

圖8 動平衡實驗時域圖

從表2中可以得出，基于貪心算法的雙盤異步動平衡策略，在較惡劣的工況下，可在半分鐘左右，將工頻振幅從20.37 μm降至0.192 μm，與Schmitt公司的SBS系列動平衡頭性能參數(shù)對比可以發(fā)現(xiàn)，在本自動平衡策略下的動平衡頭在平衡時間、平衡精度方面達到了同類前列水平，實現(xiàn)了對轉(zhuǎn)子不平衡故障的快速、高精度自動平衡。

從圖8中可以得出，基于貪心算法的雙盤異步動平衡策略在平衡過程中，被平衡對象的振幅呈現(xiàn)“振蕩下降”的特征，同時在第一次振動實驗時域曲線中發(fā)現(xiàn)本策略在振動初期概率出現(xiàn)小幅超調(diào)現(xiàn)象，振動幅值最終在半分鐘左右平均從19.45 μm收斂于0.1～0.2 μm之間，滿足精密磨床的精度需要。

5 結(jié)論

(1)本文提出的基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)策略，僅需測定振幅，簡化了信號采集裝置；算法復(fù)雜度小，實時性好；無需動平衡頭精確閉環(huán)控制相位，也不需要平衡質(zhì)量的嚴(yán)格同步轉(zhuǎn)動，使得電機驅(qū)動式動平衡頭可用小型直流電機代替伺服或步進電機，使得該策略適用于結(jié)構(gòu)簡單、緊湊的小型直流電機驅(qū)動的機械式動平衡頭。

(2)實驗結(jié)果表明，基于貪心算法的雙盤異步動平衡策略，在較惡劣的工況下，可在半分鐘左右，將工頻振幅從20.37 μm降至0.192 μm，并與Schmitt公司的SBS系列動平衡頭性能參數(shù)對比后，在本自動平衡策略控制下的動平衡頭在平衡時間、平衡精度方面均達到了同類前列水平。

綜上所述，基于貪心算法的雙盤異步尋優(yōu)策略具有時間復(fù)雜度低、平衡時間短、平衡精度高，對動平衡頭以及振動采集系統(tǒng)要求低的特點，因此本次策略為研制低成本高精度的砂輪在線自動平衡系統(tǒng)提供了一種實用控制方案。