◇羅 梅（重慶：重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

隨著課程改革的深入發(fā)展，數(shù)學(xué)教育越來越重視小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而如何落實小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，也成了當前教師面臨的新挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，而以九連環(huán)為載體的數(shù)學(xué)游戲活動，一方面可以滿足小學(xué)生的好奇心從而激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，另一方面可以將數(shù)學(xué)的抽象知識具體化，學(xué)生在破解時感受和領(lǐng)悟九連環(huán)本身的數(shù)學(xué)原理，從而潛移默化地培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，九連環(huán)活動是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。為了落實小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，本文將深入研究九連環(huán)活動如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并提出利用九連環(huán)促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的策略。

一、九連環(huán)簡介

九連環(huán)在我國的歷史悠久，文獻記載可以追溯到戰(zhàn)國時期?！稇?zhàn)國策·齊策·齊閔王之遇殺》中記載道：“襄王卒，子建立為齊王。君王后事秦謹，與諸侯信。秦始皇嘗使使者遺君王后玉連環(huán)，曰：‘齊多知，而解此環(huán)不？’君王后以示群臣，群臣不知解。君王后椎椎破之，謝秦使，曰：‘謹以解矣！’”從這篇史料中可以看出，我國在戰(zhàn)國時期就有了連環(huán)玩具，到目前為止，九連環(huán)已經(jīng)在我國流傳了兩千多年。

（一）九連環(huán)的構(gòu)造

九連環(huán)主要由九個圓環(huán)通過豎桿依次相連而成，實物如圖1所示。九連環(huán)具體構(gòu)造部件有：一根長釵、9個圓環(huán)、9根豎桿、9個圓球和一個底板。

長釵分為握柄和釵身，釵身中間是空的，釵身上套著九個圓環(huán)，每個小圓環(huán)上面都有一個豎桿，每個豎桿都落在與它相鄰的圓環(huán)里面，將相鄰兩個圓環(huán)連接起來；九根豎桿向下穿過一個底板，穿過底板后豎桿的底部有一個小圓球?qū)⒌装逄鬃?，如此底板可以在豎桿上滑動，但是不會脫離豎桿。左手持柄，釵頭在右，九個圓環(huán)從右到左地排序：1環(huán)、2環(huán)、……9環(huán)。圓球、底板、圓環(huán)、豎桿和長釵之間的位置關(guān)系如圖2所示。

（二）九連環(huán)的破解

當九連環(huán)的九個圓環(huán)都在長釵上時稱為滿貫；以滿貫位置為初始位置，從1環(huán)開始，按順序?qū)A環(huán)從長釵中卸下，當九個圓環(huán)全部與長釵分離時，稱為解脫。解九連環(huán)，就是要將釵與圓環(huán)全部分離開來即算成功。

九連環(huán)中的每個圓環(huán)相互制約，只有第1個圓環(huán)可以任意上下。要想下（上）第n個圓環(huán)，就必須滿足兩個條件：首先，第n-1個圓環(huán)需在釵上；其次，第n-1個圓環(huán)前面的圓環(huán)都不在釵上。要破解九連環(huán)就需要滿足上面的兩個條件才能把9個圓環(huán)逐一卸下。如果想將九連環(huán)裝上去，做解下九連環(huán)的逆運算即可。

九連環(huán)的破解需不停重復(fù)遞推。在19世紀，格羅斯通過演算，證明了解開九連環(huán)一共需要三百四十一步，迄今為止尚無其他更便捷的方案。因此在破解九連環(huán)的過程當中也考驗了學(xué)生的耐心與專注力。

二、九連環(huán)游戲在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的作用

2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（以下簡稱《課標》）對義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行了詳細說明。將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)聚焦在了“三會”：會用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，并闡述了“三會”在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)，如下表所示。筆者將以此為基礎(chǔ)分析九連環(huán)活動對發(fā)展小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用。

“三會”在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)

九連環(huán)游戲是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。從九連環(huán)的構(gòu)造入手可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，從九連環(huán)的破解中可以培養(yǎng)學(xué)生的推理意識、模型意識和應(yīng)用意識，以此實現(xiàn)培養(yǎng)“三會”的目的（如圖3）。以下將具體分析九連環(huán)活動對學(xué)生空間觀念、推理意識、模型意識和應(yīng)用意識的培養(yǎng)。

（一）有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間意識

《課標》指出，空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認識。在進行九連環(huán)游戲時，首先，從九連環(huán)本身的構(gòu)造中能夠抽象出圓、球等基本幾何圖形；其次，九連環(huán)各個部件之間的位置關(guān)系能夠幫助學(xué)生想象并表達物體相互之間的位置關(guān)系，比如以底板為參照物，長釵和圓環(huán)是在底板上面，圓球是在底板下面，這樣學(xué)生在觀察和描述九連環(huán)部件之間的位置關(guān)系時就會表達物體的相對位置，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念；最后，在操作九連環(huán)上環(huán)和下環(huán)時能夠幫助學(xué)生感知并描述圖形的運動。因此，九連環(huán)游戲有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，為學(xué)生形成空間想象力積累經(jīng)驗。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識

《課標》指出，推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。九連環(huán)的破解原理其實就是數(shù)學(xué)中的遞歸原理，要想下（上）第n個圓環(huán)，就必須滿足兩個條件：首先，第n-1個圓環(huán)需在釵上；其次，第n-1個圓環(huán)前面的圓環(huán)都不在釵上。九連環(huán)一環(huán)扣一環(huán)，若沒有滿足上述條件是無法解開九連環(huán)的。

在九連環(huán)游戲過程中，一方面從破解原理出發(fā)會發(fā)現(xiàn)：真正解下的第一個環(huán)實際上是第9環(huán)，依次類推，接下來解下的環(huán)是第8環(huán)……第1環(huán)。發(fā)現(xiàn)這一事實后學(xué)生就可以依據(jù)破解原理依次破解九個圓環(huán)。在這一過程中學(xué)生從已知結(jié)論出發(fā)可以得出新的結(jié)論，能夠經(jīng)歷從一般到特殊的論證過程，有助于學(xué)生感悟邏輯推理的過程。

另一方面從破解前三環(huán)出發(fā)會發(fā)現(xiàn)：要解開第2環(huán)需要第1環(huán)在釵上，要解開第3環(huán)需要第2環(huán)在釵上而第1環(huán)不在釵上，因此破解前三環(huán)只需4步。類比前三環(huán)的破解方法，進一步交流討論，猜想或發(fā)現(xiàn)要解開第4環(huán)就需要第3環(huán)在釵上，第2環(huán)和第1環(huán)不在釵上。以此類推，得出第5環(huán)……第9環(huán)的破解方法，最終歸納總結(jié)出九連環(huán)的破解原理。因此，破解九連環(huán)的過程有助于學(xué)生形成有條理的思維習(xí)慣，增強交流能力，形成推理意識。

（三）有利于培養(yǎng)學(xué)生的模型意識

《課標》指出，模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。九連環(huán)具有內(nèi)生建模能力，它既包含動手操作的問題情境，又蘊含解決問題的相關(guān)規(guī)律，兼具活動性與思想性。九連環(huán)的破解思路及步驟蘊含著一定的規(guī)律，整個破解的過程類似于數(shù)學(xué)建模的過程。首先，從九連環(huán)活動這一實際情境中可以將破解九連環(huán)的游戲問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將九連環(huán)自身各個部件的關(guān)系與結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)符號來表示，比如對圓環(huán)進行編號，對圓環(huán)所在釵上的狀態(tài)進行編碼等。其次，在分析如何解開九連環(huán)時，可以由淺入深，從三連環(huán)的模型入手，找出規(guī)律，進一步借助四連環(huán)、五連環(huán)等驗證規(guī)律，若有不同及時改進，從而得到九連環(huán)的破解原理，最終解開九連環(huán)，學(xué)生的模型意識也在破解九連環(huán)的過程中潛移默化地得到了培養(yǎng)。

（四）有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

《課標》指出，應(yīng)用意識是指有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題。在破解九連環(huán)時，將其抽象成數(shù)學(xué)問題、用數(shù)學(xué)的方法解決的這一過程，能夠幫助學(xué)生意識到現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，同時積累活動經(jīng)驗和思維經(jīng)驗，增強對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

三、以九連環(huán)游戲助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展

九連環(huán)游戲能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在進行九連環(huán)游戲時，要明確以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的活動目標，精煉活動內(nèi)容，發(fā)展核心素養(yǎng)，還要注重活動反思，強化核心素養(yǎng)。

（一）明確游戲目標，指向核心素養(yǎng)

九連環(huán)游戲的主體是學(xué)生，但主導(dǎo)者是教師。因此，教師需在活動開始前明確活動目標，充分考慮核心素養(yǎng)目標在九連環(huán)活動中的實現(xiàn)，即：引導(dǎo)學(xué)生在活動中用數(shù)學(xué)的眼光觀察九連環(huán)，用數(shù)學(xué)的思維破解九連環(huán)，用數(shù)學(xué)的語言表達九連環(huán)的破解原理，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的實踐精神。同時，注重九連環(huán)活動內(nèi)容與核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)，在制定活動目標時將核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)體現(xiàn)在活動目標中。比如，在認識九連環(huán)過程中關(guān)注空間觀念的形成，在破解九連環(huán)過程中關(guān)注推理意識、模型意識等的形成。

（二）精煉游戲內(nèi)容，發(fā)展核心素養(yǎng)

教師在明確九連環(huán)活動目標后，為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的活動目標，要把握活動內(nèi)容與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。本文前文分析了九連環(huán)的構(gòu)造可以促進空間觀念的培養(yǎng)，九連環(huán)的破解可以促進推理意識、模型意識、應(yīng)用意識的培養(yǎng)，因此在設(shè)計活動內(nèi)容時可以從九連環(huán)構(gòu)造和破解兩個方面入手。

一方面可以從九連環(huán)的構(gòu)造入手，設(shè)計相關(guān)活動。教師可以在開展九連環(huán)活動之前給學(xué)生布置任務(wù)，讓學(xué)生課下去查找、收集九連環(huán)的相關(guān)信息。在開展九連環(huán)活動時，可以讓學(xué)生介紹九連環(huán)的各個部件、構(gòu)造特點、破解方法，這樣既可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

另一方面可以從九連環(huán)的破解入手，設(shè)計相關(guān)活動，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識、模型意識和應(yīng)用意識。首先將九連環(huán)的破解說明書讓學(xué)生分小組學(xué)習(xí)，然后利用破解說明書破解九連環(huán)，最后請小組匯報交流，分享經(jīng)驗。若學(xué)生的認知發(fā)展水平較高，可以組織活動讓學(xué)生探究九連環(huán)的破解原理，從破解三連環(huán)開始，總結(jié)規(guī)律，然后破解四連環(huán)、五連環(huán)……在破解過程當中歸納總結(jié)、提煉模型。

（三）注重游戲反思，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

活動反思是學(xué)生對自己思考過程和結(jié)果再認識的過程，在反思過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗可以得到提升，從而強化核心素養(yǎng)。比如，在學(xué)生破解完九連環(huán)后，可以引導(dǎo)其思考：在活動中我們是如何探索出九連環(huán)的破解原理的？回顧反思具體的操作方法，從而積累活動經(jīng)驗和思維經(jīng)驗?；蛘呖梢哉垱]有解開九連環(huán)的小組分享失敗的原因，引導(dǎo)學(xué)生自我反思，提高其數(shù)學(xué)思考能力。在九連環(huán)活動中既要重視過程，讓學(xué)生在經(jīng)歷中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也要及時回顧與反思，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，更有效地落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。