何章鳴

（國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院）

一、引言

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中“三化”是指案例化、信息化和過(guò)程化。特征向量是高等工程數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)概念[1-2]，也是生物識(shí)別技術(shù)的理論基礎(chǔ)。捆綁定義的方式導(dǎo)致很難同時(shí)理解特征值和特征向量的內(nèi)涵。本文試圖用旋轉(zhuǎn)、反射、投影、生物識(shí)別等生活案例來(lái)介紹特征值和特征向量，以期提高教學(xué)質(zhì)量，并探索以案例化、信息化和過(guò)程化為代表的教育教學(xué)改革實(shí)踐。

當(dāng)今世界，科技突飛猛進(jìn)。人臉識(shí)別產(chǎn)品已廣泛應(yīng)用于金融、司法、軍隊(duì)、公安、邊檢、政府、航天、電力、工廠、教育、醫(yī)療及眾多企事業(yè)單位等領(lǐng)域[3-4]。但是放眼周圍，卻是另一番景象，先看三個(gè)案例。

案例一：在2017年iPhoneX發(fā)布會(huì)上，蘋(píng)果公司使用了最新的生物識(shí)別技術(shù)（人臉識(shí)別）。不過(guò)，尷尬的是，現(xiàn)場(chǎng)第一次嘗試人臉識(shí)別時(shí)，居然失敗了，這也讓許多人擔(dān)心蘋(píng)果人臉識(shí)別的效果。

案例二：從2015年起，微軟將人臉識(shí)別WindowsHello應(yīng)用于平板電腦SurfacePro4的登錄，遺憾的是效果只能說(shuō)“不錯(cuò)”，因?yàn)槭÷食^(guò)百分之一，最后常用PIN或密碼來(lái)解鎖電腦。識(shí)別失敗容易導(dǎo)致糟糕的心情，用戶能深刻感受到：使用時(shí)間越長(zhǎng)，人臉識(shí)別失敗率越高，直到完全失效。微軟人臉識(shí)別的提示語(yǔ)往往是：“正在尋找你”“請(qǐng)確保你的位置居中，且直視相機(jī)”“太近，請(qǐng)離遠(yuǎn)一點(diǎn)”“確保是你本人”，最后是“無(wú)法識(shí)別你，請(qǐng)用PIN碼登陸”。

案例三：與人臉識(shí)別不同，指紋信息是非常容易數(shù)字化的，然而指紋識(shí)別是否穩(wěn)定呢？某指紋就醫(yī)信息系統(tǒng)經(jīng)常出現(xiàn)“識(shí)別失敗，請(qǐng)重新按指紋”的提示。某單位的指紋簽到系統(tǒng)，錯(cuò)誤率很高，成為大家調(diào)侃的對(duì)象;另一單位的大門(mén)指紋識(shí)別系統(tǒng)被棄用，上面寫(xiě)著“設(shè)備故障”;作者使用的筆記本指紋識(shí)別系統(tǒng)、手機(jī)屏幕指紋識(shí)別系統(tǒng)的錯(cuò)誤率都非常高。

總之，盡管以人臉識(shí)別、指紋識(shí)別和虹膜識(shí)別為代表的生物識(shí)別技術(shù)發(fā)展迅速，但是實(shí)踐表明：生物識(shí)別技術(shù)還不夠穩(wěn)健，難免失效。其實(shí)，生物識(shí)別技術(shù)的理論基礎(chǔ)是特征值和特征向量，比如人臉識(shí)別中的特征向量稱為特征臉。結(jié)合經(jīng)典特征向量理論[5-6]和MATLAB數(shù)學(xué)軟件[7]，本文將回答：

（1）如何實(shí)施特征向量的案例化教學(xué)？

（2）如何實(shí)現(xiàn)特征向量的教學(xué)信息化、過(guò)程化？

二、案例化教學(xué)實(shí)施

特征向量的規(guī)范表述為：若A是n階方陣，k是一個(gè)數(shù)字，x是非零n維向量，滿足Ax=kx，則稱k為A的特征值，x為A的對(duì)應(yīng)于k的特征向量。

上述定義同時(shí)捆綁定義了特征值和特征向量，這種捆綁定義的方式使得概念很難理解。但是，如圖1和表1所示，特征值和特征向量在生活中是常見(jiàn)的，下面通過(guò)討論旋轉(zhuǎn)、反射和投影三種幾何變換小案例來(lái)理解特征值和特征向量。

圖1 旋轉(zhuǎn)（左）、反射（中）和投影（右）

表1 三種線性變換的特征值和特征向量

（1）旋轉(zhuǎn)。繞OZ旋轉(zhuǎn)a角度的變換記為

A=[c,-s,0;s,c,0;0,0,1]

其中c=cos(a),s=sin(a)，顯然OZ在旋轉(zhuǎn)中保持方向不變，伸縮比例等于1，故特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量為OZ。特別地，當(dāng)a=180時(shí)，旋轉(zhuǎn)后，{OX,OY}長(zhǎng)度不變，方向相反，故特征值-1對(duì)應(yīng)的特征向量為{OX,OY}。

（2）反射。在{OX,OY}所在水平面的反射變換記為

A=[1,0,0;0,1,0;0,0,-1]

顯然OX,OY在反射中保持方向不變，伸縮比例等于1，故特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量為OX,OY。另外，與水平面垂直的方向OZ，在反射中方向平行相反，伸縮比例等于1，故特征值-1對(duì)應(yīng)的特征向量為OZ。

（3）投影。在{OX,OY}所在投影面的投影變換記為

A=[1,0,0;0,1,0;0,0,0]

顯然OX,OY在投影中保持方向不變，伸縮比例等于1，故特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量為OX,OY。另外，與投影面垂直的方向OZ，投影后變?yōu)榱阆蛄?方向任意)，伸縮比例等于0，故特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為OZ。

從旋轉(zhuǎn)、反射和投影中發(fā)現(xiàn)：特征向量實(shí)質(zhì)就是變換前后保持方向不變的量，特征值的絕對(duì)值實(shí)質(zhì)是變換前后長(zhǎng)度的“伸縮比例”。

下面用一個(gè)農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員比例案例解釋“特征值”的意義。

例 在從事農(nóng)業(yè)工作的人員中，每年有四分之一改為從事非農(nóng)業(yè)工作。在從事非農(nóng)業(yè)工作的人員中，每年有六分之一改為從事農(nóng)業(yè)工作。若人員總數(shù)不變，預(yù)測(cè)多年之后農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)業(yè)人員從業(yè)情況的發(fā)展趨勢(shì)。

分析 設(shè)最初農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)業(yè)人員的數(shù)量占比分別 為[x0;y0]= [1/2,1/2]。第1年末農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)業(yè)人 員 的 數(shù) 量 為x1，y1。依據(jù)題意有x1=3*x0/4+y*0/6,y1=x0/4+5*y0/6，人員遷移矩陣為A=[3/4,1/6;1/4,5/6]。第k年，農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員滿足[xk;yk]=Ak[x0;y0]，因?yàn)閇3/4,1/6;1/4,5/6][2;3]=[2;3], [3/4,1/6;1/4,5/6][1;-1]=7/12[1;-1]，所以兩個(gè)特征值為1，7/12，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為[2;3]，[1;-1]。 記P=[2,1;3,-1]，有A=Pdiag([1,7/12])P-1。第k年，農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員滿足[xk;yk]=[2(1+(7/12)^k/2);3(1-(7/12)^k/2)]/5→[0.4;0.6](k→inf).

備注1：直覺(jué)上，農(nóng)業(yè)人員會(huì)越來(lái)越少，非農(nóng)農(nóng)口會(huì)越來(lái)越多。但是，如圖2所示，農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員比例會(huì)趨向于穩(wěn)定在某個(gè)比例值，在本案例中該比例為2:3。

圖2 農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員比例變化趨勢(shì)

備注2：如圖2所示，特征值7/12反映了人員比例收斂的快慢。

三、信息化和過(guò)程化教學(xué)實(shí)施

下面用人臉識(shí)別技術(shù)說(shuō)明特征向量的信息化和過(guò)程化教學(xué)實(shí)施。

人臉識(shí)別技術(shù)是三種常見(jiàn)生物識(shí)別技術(shù)的之一。同一個(gè)人的頭像匯聚到一起，不同人的頭像會(huì)相互分離。因?yàn)轭^像可以用矩陣表示，而矩陣又可以拉直變成向量，因此頭像的匯聚程度可以用向量的距離來(lái)表示。受拍照條件影響，如光照、視角、背景、打扮等等，同一個(gè)人的頭像也存在很大的視覺(jué)差異。盡管如此，頭像有不容易被環(huán)境因素改變的信息，比如輪廓信息，稱為特征臉（Eigenfaces）。因此，一副人臉圖像可以分解為兩部分，一部分容易被光照、視角、背景、打扮等影響，代表了環(huán)境的特征，另一部分不容易被上述環(huán)境因素影響，代表了人臉的特征。前一部分張成的子空間為環(huán)境子空間，后一部分張成的子空間為特征臉子空間。兩個(gè)空間的并空間構(gòu)成整個(gè)圖像空間。

人臉識(shí)別的關(guān)鍵是：把一副新的圖像投影到特征臉子空間，盡量減少環(huán)境對(duì)識(shí)別的影響，并通過(guò)它的投影點(diǎn)在子空間的位置進(jìn)行識(shí)別。

下面用CroppedYale[7]數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行人臉識(shí)別實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過(guò)預(yù)處理，本實(shí)驗(yàn)使用了38個(gè)人的2242張頭像，每人59張頭像。每個(gè)頭像有個(gè)像素點(diǎn)，因此每個(gè)頭像相當(dāng)于是一個(gè)的矩陣，矩陣?yán)弊兂傻南蛄?。從每個(gè)人的59張頭像中隨機(jī)選中50張作為訓(xùn)練集，共38*50=1900張訓(xùn)練圖片;其余作為測(cè)試集，共38*（59-50）=342張測(cè)試圖片。

訓(xùn)練集記為Xtrain =[xtrain_1,…,xtrain_1900]，它是16384行1900列的矩陣，其 中xtrain_i,(i=1,…,1900)是16384維列向量，表示已知的人臉頭像集，也就是說(shuō)與Xtrain對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練標(biāo)簽集為Ytrain =[ytrain_1,…,ytrain_1900]是1行1900列的行向量，其中每個(gè)ytrain_i是已知的。

測(cè)試集記為Xtest =[xtest_1,…,xtest_342]是16384行342列的矩陣，其中xtest_i,(i=1,…,342)是16384維列向量，表示未知的人臉頭像集，也就是說(shuō)與Xtest對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練標(biāo)簽集為Ytest =[ytest_1,…,ytest_342]是1行342列的行向量，其中每個(gè)ytest_i是未知的。

常規(guī)人臉識(shí)別過(guò)程如下：

第一步：求平均臉mtrain=[xtrain_1+…+xtrain_1900]/1900，結(jié)果見(jiàn)圖3；

第二步：訓(xùn)練集的中心 化xtrain_i=xtrain_i -mtrain,(i=1,…,1900);

第三步：求協(xié)方差矩陣A=Xtrain*XtrainT;

第四步：求特征臉，特征分解為AP=PD，其中D=diag(k1，…，k1900)是A的非零特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，按降序排列。16384行1900列的矩陣P就是特征臉，見(jiàn)圖4;

圖4 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征臉

第五步：測(cè)試集的中心化xtest_j=xtest_j-mtrain,(j=1,…,342);

第六步：求訓(xùn)練集和測(cè)試集在特征臉上的得分，實(shí)質(zhì)是求訓(xùn)練集的每個(gè)頭像在正交基（即特征臉）下的坐標(biāo)；

第七步：判斷每個(gè)測(cè)試頭像屬于誰(shuí)，實(shí)質(zhì)就是求最小距離。若i0=argmin(norm(xtest_j-xtrain_i)),(j=1,…,342,i=1,…,1900)，則xtest_j的 標(biāo)簽就是xtrain_i0的標(biāo)簽，即ytest_j=ytrain_i0。

四、結(jié)論

特征向量實(shí)質(zhì)就是那些在變換中方向不變量，特征值的絕對(duì)值就是長(zhǎng)度變化的比例。環(huán)境的改變可能導(dǎo)致生物特征向量扭曲，導(dǎo)致識(shí)別率變低。降維技術(shù)可能改善生物識(shí)別的識(shí)別率，該識(shí)別過(guò)程會(huì)經(jīng)歷一個(gè)“欠學(xué)習(xí)-最優(yōu)學(xué)習(xí)-過(guò)學(xué)習(xí)”的過(guò)程。去掉最大特征值對(duì)應(yīng)的特征臉可以顯著提高識(shí)別率，這意味著類別的差異性不一定表現(xiàn)在大特征值對(duì)應(yīng)的特征臉，且類別差異性容易被環(huán)境扭曲。在特征值的教學(xué)工作中，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

（1）案例化：結(jié)合實(shí)踐案例，概念從生活中來(lái)到生活中去，同時(shí)結(jié)合信息時(shí)代背景，使學(xué)員、教員和課程收益。

（2）信息化和過(guò)程化：結(jié)合數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，把有限的精力從手算歷史中解放出來(lái)，學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件按規(guī)范過(guò)程解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，培養(yǎng)具有扎實(shí)理論基礎(chǔ)和實(shí)踐應(yīng)用能力的復(fù)合型人才。