福建省廈門市同安區(qū)官潯小學(xué) 高 晨

一、幾何直觀的含義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確將幾何直觀歸屬于學(xué)生的核心素養(yǎng)，指出：“幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣?！睅缀沃庇^有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維路徑。因此，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)有助于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)以及素養(yǎng)的落地。那么，什么是幾何直觀？

（一）直觀

直觀包括感性直觀與理性直觀。感性直觀涉及知覺，與邏輯思維的聯(lián)系較少；理性直觀需要進(jìn)行理性分析，因此與邏輯思維密切聯(lián)系。

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，既需要培養(yǎng)學(xué)生的感性直觀，也要培養(yǎng)學(xué)生的理性直觀，在感性直觀與理性直觀的相互作用下為學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

（二）數(shù)學(xué)直觀

數(shù)學(xué)直觀包括代數(shù)直觀、幾何直觀、統(tǒng)計(jì)直觀，但是只有幾何直觀好理解、看得見、摸得著。史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)的結(jié)論是“看”出來的，而不是“證”出來的。會(huì)看就是數(shù)學(xué)直觀，而會(huì)看不是教師教出來的，而是學(xué)生悟出來的，是思維經(jīng)驗(yàn)的積累，因此在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀。數(shù)學(xué)直觀是幾何直觀的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀需要為學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)積累創(chuàng)設(shè)一定的活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中積累思維經(jīng)驗(yàn)，為幾何直觀的培養(yǎng)提供強(qiáng)有力的支撐。

（三）幾何直觀

幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。

幾何直觀除了包含一定的感性直觀和理性直觀外，還包括對(duì)于數(shù)學(xué)直觀應(yīng)當(dāng)具備的思維經(jīng)驗(yàn)積累，在直觀與數(shù)學(xué)直觀的基礎(chǔ)上運(yùn)用一定的圖表等進(jìn)行分析和解決問題。

通過上述關(guān)于直觀、數(shù)學(xué)直觀與幾何直觀的辨析可得：直觀和數(shù)學(xué)直觀是幾何直觀素養(yǎng)的基礎(chǔ)；幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)需要建立在感性直觀與理性直觀的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)直觀中積累的思維經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用圖表等直觀方法進(jìn)行分析和解決問題。

二、幾何直觀的價(jià)值

為什么要培養(yǎng)幾何直觀呢？史寧中教授認(rèn)為：教育只需要關(guān)心三件重要事情，一是理解事物的本質(zhì)，二是啟發(fā)解決問題的思路，三是直接推斷問題的結(jié)論。幾何直觀能夠幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)的本質(zhì)，解決了第一件事情；幾何直觀能夠幫助學(xué)生構(gòu)建一定的問題解決模型，解決了第二件事情；幾何直觀能幫助學(xué)生通過理解知識(shí)本質(zhì)，運(yùn)用問題模型從而靈活選擇不同方法或多種方法來解決問題，解決了第三件事情。因此，可以說培養(yǎng)幾何直觀能從源頭上解決這三件重要的事情。

（一）有助于理解知識(shí)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識(shí)存在著一定的抽象性，學(xué)生對(duì)于知識(shí)理解的困惑點(diǎn)往往不是在于知識(shí)本身，而是在于對(duì)知識(shí)產(chǎn)生過程的理解。借助幾何直觀能將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)以一種更直觀的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，學(xué)生能更好地理解知識(shí)的產(chǎn)生過程，更好地理解知識(shí)的本質(zhì)。

（二）有助于發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和思維

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)的學(xué)習(xí)往往離不開形。學(xué)生通過將數(shù)與形結(jié)合，能夠挖掘文字素材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，將復(fù)雜的文字信息轉(zhuǎn)化成直觀、明了的圖形信息，并且能夠借助這些信息進(jìn)行深入探究，在探究過程中產(chǎn)生不同的思考，從而發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)與思維。

（三）有助于構(gòu)建一定的問題解決模型

問題解決模型與策略需要學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)不斷“積累—修正—運(yùn)用”的過程。學(xué)生通過借助幾何直觀解決問題，在問題的“積累—修正—運(yùn)用”過程中形成了一定基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維模型，當(dāng)再次遇到類似問題，學(xué)生便能夠提取已有的問題解決模型來處理復(fù)雜問題，使得問題解決更得心應(yīng)手。

三、幾何直觀的培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)是一門較為抽象的學(xué)科，小學(xué)生的年齡特點(diǎn)決定著其理解和分析問題的能力較低。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)充分了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平以及年齡特點(diǎn)，借助幾何直觀幫助學(xué)生進(jìn)行描述和分析問題，從而解決問題。如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀呢？本文將結(jié)合不同案例，在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等問題解決中進(jìn)行具體闡述。

（一）在數(shù)與代數(shù)中培養(yǎng)幾何直觀

對(duì)于算理、數(shù)量關(guān)系和算式之間關(guān)系的理解是小學(xué)數(shù)與代數(shù)中的重要組成部分，但在實(shí)際教學(xué)中往往為了保證學(xué)生計(jì)算的熟練度而過多強(qiáng)調(diào)算法，弱化算理，對(duì)于數(shù)量關(guān)系的教學(xué)則過于抽象，造成學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)存在障礙。那么，在課堂上該如何借助幾何直觀進(jìn)行有效教學(xué)呢？

1.借助幾何直觀，理解計(jì)算道理

數(shù)學(xué)計(jì)算看似零散，實(shí)則是一張錯(cuò)綜復(fù)雜的網(wǎng)，其本質(zhì)是要厘清計(jì)算的道理。通過幾何直觀，學(xué)生能在繁雜的數(shù)字中尋找道理，在“道理”的幫助下掌握算法，發(fā)展運(yùn)算能力。

2.借助幾何直觀，厘清數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是數(shù)與代數(shù)中難以理解的部分，通過數(shù)形結(jié)合的方式可以有效促進(jìn)數(shù)量關(guān)系和圖形的轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，有助于學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系，解決問題。

首先，在操作中感知數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)學(xué)科螺旋上升和學(xué)生漸進(jìn)思維的特點(diǎn)告訴我們：教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)抓住“核心”，設(shè)計(jì)逐層遞進(jìn)的實(shí)踐操作活動(dòng)，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)縱向數(shù)學(xué)化過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，操作能有效連接數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生能在具體操作后感知數(shù)學(xué)。因此，教學(xué)中應(yīng)合理引導(dǎo)學(xué)生借助操作，直觀感知數(shù)量關(guān)系。

其次，在畫圖中建立數(shù)量關(guān)系。借助畫圖能直觀地表示題意，幫助學(xué)生將復(fù)雜、抽象的問題表示出來，便于學(xué)生建立起清晰的數(shù)量關(guān)系，從而有效促進(jìn)學(xué)生解決問題。

又如“乘加、乘減”一課，要解決“2名教師和30名學(xué)生能坐得下客車嗎？”這一問題。課本出示客車的座位圖，圖中前面每排4個(gè)座位，后面每排5個(gè)座位，由于座位不再是簡單的“每排幾列，有幾排”這一模型，學(xué)生無法直接列簡單的乘法算式進(jìn)行解決，因此解決該題遇到了困難。教師可以巧妙借助課本中提供的直觀圖形，在畫圖中幫助學(xué)生理解解決該題的本質(zhì)也是“乘法”，這樣學(xué)生更能建立起客車座位之間的數(shù)量關(guān)系。

3.借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)算式關(guān)系

算式的理解本就抽象，算式間的關(guān)系就更難理解。借助幾何直觀教學(xué)計(jì)算能更好地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式關(guān)系，為學(xué)生提供多樣的思路，提升學(xué)生的思維能力。

例如在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師出示圖1，要求學(xué)生用綜合算式列式解決。學(xué)生給出的答案有“2×5+4×5”和“（2+4）×5”兩種，并結(jié)合圖形進(jìn)行了說明。第一種是將白色和黑色分開算，然后再加起來；第二種先求行數(shù)，再用行和列相乘得出總數(shù)。教師此時(shí)提問：“兩個(gè)結(jié)果相同嗎？為什么？”通過結(jié)合圖形說理，最終師生總結(jié)得到：兩個(gè)算式雖然表現(xiàn)不同，但意義一樣，都是表示6個(gè)5相加。在該課教學(xué)中，教師借助幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決問題，并在解決問題過程中發(fā)現(xiàn)了算式之間的關(guān)系。

圖1

（二）在圖形與幾何中培養(yǎng)幾何直觀

幾何直觀和圖形與幾何領(lǐng)域聯(lián)系最為密切。圖形與幾何中除了要求學(xué)生能掌握計(jì)算圖形長度、面積、體積等內(nèi)容外，更重要的是讓學(xué)生知道這些計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生知其然且知其所以然，并在推導(dǎo)過程中感悟思想、習(xí)得方法。

1.借助操作，助力推導(dǎo)過程

圖形面積、體積等的推導(dǎo)需要建立在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，該過程較為復(fù)雜，單從純數(shù)字方面來理解對(duì)于學(xué)生有一定的難度，需要借助直觀操作來進(jìn)行。

圖2

又如在“三角形的內(nèi)角和”一課中，以復(fù)雜抽象的邏輯推理方式來探究三角形的內(nèi)角和對(duì)于小學(xué)生來說有一定的難度。在教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生將三角形的三個(gè)角進(jìn)行拼、折、剪等活動(dòng)，通過幾何直觀探究三角形的內(nèi)角和，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題來解決，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)內(nèi)角和的理解與推導(dǎo)。

2.借助畫圖，呈現(xiàn)多樣方法

無論是數(shù)與代數(shù)或是圖形與幾何都十分重視方法的多樣化，借助幾何直觀能夠呈現(xiàn)多樣的方法，幫助學(xué)生拓寬思路，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

例如，把一個(gè)正方體割成大小兩個(gè)長方體，其中小長方體的表面積比大長方體的表面積少20cm2，已知原來的正方體棱長是5cm，求小長方體的表面積。

該題若只通過題目而不結(jié)合幾何直觀來思考會(huì)十分抽象，并且會(huì)將思維局限在一定范圍內(nèi)。但當(dāng)結(jié)合直觀圖形（圖3）思考，學(xué)生給出了以下兩種解法。

圖3

從兩種解法可以看出，方法一借助幾何直觀更快速地解決了問題，方法二則是在圖形的幫助下聯(lián)想到了“和差”，從而解決問題?？梢钥闯觯诮柚鷰缀沃庇^的情況下，不但可以幫助學(xué)生快速解決問題，而且能夠呈現(xiàn)方法的多樣化，開放學(xué)生的思維，有效促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

（三）在統(tǒng)計(jì)與概率中培養(yǎng)幾何直觀

統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)，數(shù)形不分家，因此在統(tǒng)計(jì)與概率中培養(yǎng)幾何直觀也應(yīng)當(dāng)引起重視。

1.借助直觀，感悟數(shù)據(jù)意識(shí)

數(shù)據(jù)意識(shí)的培養(yǎng)除了借助單一的數(shù)據(jù)外，圖形的結(jié)合也是不錯(cuò)的選擇。

例如在教學(xué)“折線統(tǒng)計(jì)圖”時(shí)，教師通過提供多組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生將數(shù)據(jù)整理成表格和條形統(tǒng)計(jì)圖后，由此引出折線統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生在條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖的對(duì)比中感受二者之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，讓學(xué)生懂得根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的統(tǒng)計(jì)圖。在這個(gè)過程中，結(jié)合數(shù)據(jù)和直觀的統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生能更清楚地了解到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，明確針對(duì)不同的要求可以選擇不同的統(tǒng)計(jì)圖這一想法，更好地感悟數(shù)據(jù)意識(shí)。

2.借助操作，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想

直觀的操作可以幫助學(xué)生將抽象的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀處理，幫助學(xué)生更好地理解統(tǒng)計(jì)思想。

例如在教學(xué)“平均數(shù)”一課時(shí)，教師通過一場比賽來進(jìn)行教學(xué)，將學(xué)生分成兩支隊(duì)伍，其中5名男生一隊(duì)，4名女生一隊(duì)。此時(shí)教師提問：“哪一隊(duì)能贏呢？為什么？”學(xué)生認(rèn)為男生隊(duì)人多不公平，教師再次追問：“有沒有更好的辦法判斷？”并引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖解決。學(xué)生通過擺圓形片感受到了“當(dāng)人數(shù)不相同時(shí)，可以用平均數(shù)解決”以及用“移多補(bǔ)少”可以更好地理解平均數(shù)。在該過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀圖來理解“平均數(shù)”，從而幫助學(xué)生更好地體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想。

（四）在問題解決中培養(yǎng)幾何直觀

在問題解決中，借助直觀圖能有效幫助學(xué)生分析問題，厘清數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)思考能力，促進(jìn)解題策略多樣性。

1.借助畫圖，抽象問題模型

幾何直觀能幫助學(xué)生將煩瑣文字中的數(shù)學(xué)問題抽象出來，將問題簡單化，讓學(xué)生能針對(duì)抽象出的問題進(jìn)行思考，降低問題解決的難度。

例如在“植樹問題”一課中，教師出示問題：“要在100m小路的一邊每隔5m栽一棵樹（兩端都栽），共需多少棵樹？”一開始，學(xué)生對(duì)問題的理解是抽象的，并不能準(zhǔn)確用算式進(jìn)行表示。而教師通過引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方式先研究20m、30m、50m時(shí)，學(xué)生能夠從圖中非常直觀地總結(jié)出“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，緊接著學(xué)生同樣借助直觀圖探究兩端都不栽和一端栽的情況，并最終總結(jié)出規(guī)律。在該過程中，通過借助簡單的線段圖，幫助學(xué)生抽象出問題，使得問題清晰化、簡單化，學(xué)生能夠借助問題模型更好地解決問題。

2.借助畫圖，巧解實(shí)際問題

幾何直觀的運(yùn)用除了能幫助學(xué)生快速解決問題，還能夠幫助學(xué)生提高問題解決的靈活性。

圖4

又如在“相遇問題”中，教師出示問題：“客車和貨車分別從甲乙兩地相向而行，客車走了1h后貨車才出發(fā)，又經(jīng)過5.5h兩車相遇。已知客車速度為55km/h，貨車速度為45km/h，求甲乙兩地間的距離?！痹谠擃}中，學(xué)生無法單純借助文字解決問題，而通過將文字中的信息用線段進(jìn)行描述后，可以幫助學(xué)生將問題與實(shí)際生活進(jìn)行聯(lián)系，避免理解偏差，從而抽象出問題模型，解決問題。

3.借助畫圖，構(gòu)建思維框架

問題解決需要一定的思維框架，借助幾何直觀能夠幫助學(xué)生更好地構(gòu)建思維框架，幫助學(xué)生有效、輕松地解決問題。

綜上所述，幾何直觀能夠幫助我們將抽象的文字轉(zhuǎn)化成直觀的問題進(jìn)行呈現(xiàn)，可以促進(jìn)問題可視化。而對(duì)于幾何直觀的運(yùn)用和培養(yǎng)，不應(yīng)該只局限于圖形與幾何，也應(yīng)存在于數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、問題解決等。除此之外，幾何直觀的培養(yǎng)不該只是放在某個(gè)時(shí)刻，而應(yīng)該貫穿于整個(gè)教學(xué)過程中，通過不斷地、反復(fù)地滲透和磨合，最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生的核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。