周寧 陳芳

［摘? 要］ 通過“橢圓的離心率”教學指出數學教學不單一是理性教學，還要將情感教學融入其中，以便將理性認知與感性認識有機融合，讓情感驅動認知的發(fā)展，從而有助于提高學生學習數學的積極性，提升學生的數學素養(yǎng).

［關鍵詞］ 離心率；數學情感；核心素養(yǎng)

問題的提出

在數學教學中，很多教師重視學生理性思維的培養(yǎng)，在課堂實踐中不遺余力培養(yǎng)學生的邏輯推理、數學運算等素養(yǎng)，但是數學中過多的形式化和抽象化讓很多學生望而生畏，產生畏難情緒. 從認知心理學的角度來看，學生學習數學需要情感驅動，當學生意識到冷冰冰的數字、公式、概念背后所隱藏的生活、數學或科學價值，體會到蘊含其中的美，那么學習數學就不會再抗拒，即使意識到面前是“珠穆朗瑪峰”，也會有“攀登高峰”的勇氣. 本文以“橢圓的離心率”教學設計為例，闡述在教學中如何培育數學情感，發(fā)揮情感的力量，使之服務于課堂，提升學生的學習品質.

課堂實錄

1. 數學情境，感知離心率的背景

師：前面我們學習了單個橢圓的性質，那么不同的橢圓之間有什么區(qū)別呢？請大家同桌分為兩組，分別畫出下面兩組橢圓，并思考它們的不同.

師生活動：學生列表描點，結合性質畫出橢圓，教師借助多媒體將圖形投影在屏幕上.

設計意圖：讓學生動手畫橢圓，親自感受橢圓形狀不一的特征，感知離心率的背景.

2. 數學探究，抽象離心率的特征

問題1：觀察畫出的橢圓，它們在形狀上有什么不同？

生1：有的橢圓形狀圓一些，有的扁一些.

問題2：我們發(fā)現，橢圓的扁平程度不一，那么是由方程中哪些量的變化引起的？

學生活動：有的學生可能根據第一組橢圓方程及圖像片面認為是由b的變化引起的——b越小橢圓越扁，讓學生通過思考和辨析，得出結論：這是由a，b的變化引起的.

問題3：用a，b之間怎樣的一個式子可以刻畫橢圓的扁平程度呢？

追問4：它們的大小與橢圓的扁平程度是怎樣的關系？

學生活動：小組討論，合作交流，得出結論：

設計意圖：中學數學教育的首要任務是培養(yǎng)數學直觀. “直觀，是照亮認識途徑的光輝”，這是蘇霍姆林斯基的一句名言. 數學中的直觀，往往有助于人們理解抽象的概念. 通過畫圖、辨圖、析圖，讓學生發(fā)現問題，進而關注橢圓中“數”與“形”的聯系，發(fā)現橢圓的扁平程度與兩個量a，b同時有關，再進一步思考如何將這兩個量形成一個有機整體，最終過渡到離心率. 通過教學活動讓學生經歷概念的創(chuàng)造過程，培養(yǎng)科學的思維品質.

3. 數學體悟，概括離心率的要義

從定義可以看出，離心率能有效刻畫兩個焦點離開橢圓中心的程度.因為a>c>0，所以0<e<1.e越接近1，c越接近a，焦點離橢圓中心越遠，橢圓越扁；e越接近0，c越接近0，焦點離橢圓中心越近，橢圓越圓.

設計意圖：讓學生再次體會用離心率刻畫橢圓的扁平程度是合乎情理的.

4. 數學內化，辨析離心率的內涵

？搖在天文學中，天文學家發(fā)現太陽系的八大行星是按照以太陽為焦點的橢圓軌道運行的，這些軌道偏離太陽的程度不一樣，因此，離心率在天文學中被稱為“偏心率”. 其中，近日點離太陽最近，偏離距離為a－c；遠日點離太陽最遠，偏離距離為a+c. 當然，不能用最近距離和最遠距離表示偏心率，因為這兩個值不僅和運行軌道的圓扁程度有關，還受軌道大小的影響.

師生活動：對橢圓離心率的特征進行歸納.

（3）連貫性：與橢圓定義相對應；是后面研究圓錐曲線統一定義的背景.

設計意圖：通過三角函數再次直觀認識了離心率，使學生對離心率刻畫橢圓的扁平程度的理解更形象直觀，并結合數學史讓學生感受數學的文化價值和應用價值，培養(yǎng)學習數學、應用數學的情感.

5. 數學應用，深化定理理解

例1 比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？為什么？

設計意圖：由性質求方程，讓學生進一步體會圓錐曲線與離心率之間的關系——“形”與“數”的關系． 進一步感受離心率對橢圓圖形的影響，凸顯解析幾何的思想方法——用方程來研究曲線的幾何性質，以形推數，以數釋形，數形結合.

教學啟示

1. 在問題情境中激發(fā)數學情感

數學的教學關鍵是數學本質的教學，在教學中應圍繞數學本質創(chuàng)設情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察、發(fā)現問題，并用數學的語言表達問題，用數學的思想方法解決問題. 問題情境可以源于生活，也可以由數學的發(fā)展而產生，但必須符合學生的認知規(guī)律，切合學生能力的發(fā)展. 正如本節(jié)課，為了讓學生理解離心率的本質內涵，從前面學習的橢圓的性質入手，在作圖中發(fā)現橢圓的形狀似乎具有扁平的區(qū)別，激發(fā)學生的好奇情感，在學生的最近發(fā)展區(qū)設計層次遞進的“問題串”步步提升其對離心率的認識，并且結合離心率的數學史促進學生對離心率的重新認識和深入理解，也讓學生體驗數學家的經歷，感受數學家的成就，激發(fā)學生熱愛數學的情懷，養(yǎng)成鉆研精神和科學態(tài)度.

2. 在基本活動中積累數學語感

語言學習有一種重要的任務：培養(yǎng)語感. 數學作為一種語言，主要有三種呈現方式——文字語言、符號語言、圖形語言. 解決數學問題也需要學生具有“數學語感”. “數學語感”不同于“數感”，“數感”指的是對數字及其運算以及內部關系的感覺，而“數學語感”則是學數學、用數學的感覺，即要有數學直觀，能在具體情境中感悟數學的本質. 這種感覺無法用具體的評價標準來衡量，更無法通過機械的訓練而獲得，但數學活動經驗則可以發(fā)展學生對數學的這種敏感. 例如，本節(jié)課通過作圖活動讓學生在動手操作中感悟不同圖形的個性之中隱藏著共性，在感受圖形“美”的過程中醞釀對數學問題的認知，積累對數學的感覺，并在活動、交流中培養(yǎng)數學的語言表達能力，營造良好的課堂氛圍.

3. 在數學理性中增強數學感性

數學學習是“透過現象看本質”的過程，是強調嚴謹性和邏輯性且充滿理性的. 學生在作圖中對橢圓的扁平程度建立了直觀感知，通過操作確認、思辨論證，建立不同的量與橢圓扁平程度的對應關系，建立離心率的模型，實現“定性”到“定量”的轉化. 這個過程中學生的理性思維得到了發(fā)展，數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)得到了提升. 同時，也讓學生體會到了數學的“美”：扁平程度居然可以從不同的角度、通過不同的量來刻畫. “橫看成嶺側成峰”，讓學生在數學學習中能夠基于數學的“美”產生情感，增強學習數學的動力；在理性認知的基礎上增強感性認識，從情感驅動入手提升學生的數學建模、邏輯推理等核心素養(yǎng)，從而實現理性與感性的有機融合與相互促進.

基金項目：福建師范大學基礎教育課程研究中心2021年度開放課題“指向核心素養(yǎng)的高中數學解析幾何主題單元教學的研究與實踐”（KCZ2021043）.

作者簡介：周寧（1985—），中學一級教師，從事中學數學教育教學研究工作，曾獲福州市教師技能大賽高中數學組一等獎.