■尤娜，汪洋，趙思林

2022年全國高考數(shù)學卷試題依據(jù)中國高考評價體系“一核”“四層”“四翼”的整體評價框架，全方位、全覆蓋地考查數(shù)學基礎知識和基本技能，多層次、多角度地考查數(shù)學思維能力特別是創(chuàng)新思維能力、數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學文化[1]。自中國高考評價體系提出以來，創(chuàng)新性已成為近年高考關(guān)注的焦點，也對試題命制有極強的引領性[2]。2022年高考數(shù)學全國卷試題具有深化核心素養(yǎng)立意、突出數(shù)學創(chuàng)新能力考查等特點。深化核心素養(yǎng)立意又以情境設置新穎獨特、設問方式靈活開放為特征。

其一，情境設置新穎獨特。一些試題設置了中國古代文化、中國古代建筑、南水北調(diào)工程、嫦娥二號深空衛(wèi)星探測、荒山治理等場景作為問題情境，不僅落實了“五育”教育方針，而且還深入考查了學生的閱讀理解能力、信息提煉與整合能力、利用數(shù)學模型解決實際問題能力以及創(chuàng)新思維能力等核心素養(yǎng)。如新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑的舉架結(jié)構(gòu)為背景設問，有利于激發(fā)愛國情懷；全國理科乙卷第3題以《夢溪筆談》的“會圓術(shù)”為背景設問，不僅拓展了學生中國古代文化知識，而且體現(xiàn)了數(shù)學文化育人的價值；新高考Ⅰ卷第4題以南水北調(diào)工程為背景設問，體現(xiàn)了社會主義的優(yōu)越性；全國理科乙卷第4題以嫦娥二號深空衛(wèi)星探測為背景設問，展示了我國空間科學發(fā)展的最新成就，激發(fā)了民族自豪感；全國理科乙卷第19題以荒山治理為背景設問，滲透環(huán)境保護意識。這些試題既能起到“數(shù)學樹人的作用[3]”，更能彰顯“立德”和“育人”的價值。

其二，設問方式靈活開放。試題的靈活性和答案的開放性，體現(xiàn)了從重點考查知識技能到重點考查思維能力的轉(zhuǎn)變，表明數(shù)學教學應從灌輸知識、重復練習到培養(yǎng)數(shù)學思維能力、數(shù)學核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變，不僅考查了學生運用數(shù)學思維理解和解決問題的能力，還考查了學生的核心素養(yǎng)以及創(chuàng)新能力。如新高考Ⅰ卷第14題中兩個圓一共有三條相切直線，要求學生寫出一條直線方程，答案的多元化給學生提供了選擇的空間，有利于學生創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維的發(fā)展；全國理科乙卷第14題、全國文科乙卷第15題給出四個點，要求學生選取三個點，寫出過三點的一個圓方程，題目的靈活性給學生提供了思考的空間，有利于學生創(chuàng)新思維能力、直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)；新高考Ⅱ卷第21題中給出三個條件，要求學生選取兩個條件作為已知條件，再證明余下條件，結(jié)構(gòu)不良性問題提供了選擇空間，體現(xiàn)了學生數(shù)學思維的靈活性。

研究表明，經(jīng)驗重組、合情推理、直觀想象、猜想推廣、數(shù)學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學審美等是實現(xiàn)數(shù)學創(chuàng)新的重要路徑。以下我們從經(jīng)驗重組、合情推理、直觀想象、大膽猜想、數(shù)學構(gòu)造和數(shù)學審美等方面，對一些典型案例進行賞析。

一、經(jīng)驗重組

數(shù)學活動經(jīng)驗是指個體在數(shù)學活動中經(jīng)過心智操作和心力操作過程后儲存于長時記憶系統(tǒng)中具有意義和價值的數(shù)學信息[4]。學生對數(shù)學經(jīng)驗的重組（優(yōu)化組合）是數(shù)學創(chuàng)新的重要途徑，可謂經(jīng)驗重組促創(chuàng)新。

例1 （全國文科乙卷第12題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）。

〔思路探索〕經(jīng)驗一（利用等周原理）：半徑一定的圓內(nèi)接四邊形中取正方形時面積最大；經(jīng)驗二：三元均值不等式abc≤()3（其中a,b,c＞0）?；诮?jīng)驗一，當四棱錐的底面在半徑為r的圓面上時，底面面積最大為2r2，四棱錐體積最大。四棱錐的高和圓面半徑r 的關(guān)系有r2+h2=1，則四棱錐體積V=基于經(jīng)驗二，V≤，當且僅當r2=2h2時取等號。因此，四棱錐在球O內(nèi)的最大體積為時，高為。故選C。

〔賞析〕 基于等周原理和三元均值不等式的經(jīng)驗，結(jié)合目標函數(shù)的特征，巧妙解題。

二、合情推理

合情推理是數(shù)學創(chuàng)新的基本方法，可謂合情推理催創(chuàng)新。合情推理主要包括類比和歸納。

例2 （新高考Ⅱ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），f（1）=1，則=（ ）。

A.-3 B.-2 C.0 D.1

〔簡解〕類比是合情推理的基本方法。通過類比cos（α+β）+cos（α－β）=2cosαcosβ，猜想f（x）具有周期性，利用周期性化簡解題。賦值等式f（x+1）+f（x－1）=f（x），變化等式f（x+2）+f（x）=f（x+1）?f（x+2）=－f（x－1），得到f（x）周期性為6。

依據(jù)初始值f（1）=1，f（0）=0 推導得到

f（2）=－1，f（3）=－2，f（4）=－1，f（5）=1，f（6）=2。

〔賞析〕類比三角函數(shù)猜想f（x）具有周期性，利用周期性對函數(shù)的和式進行化簡，既發(fā)現(xiàn)了解題思路，又考查了學生對抽象函數(shù)與具體函數(shù)的轉(zhuǎn)化能力。

三、直觀想象

直觀引發(fā)直覺，直覺產(chǎn)生創(chuàng)新。數(shù)學知識的形成也依賴于直觀。直觀想象主要表現(xiàn)為學生能夠通過各種直觀經(jīng)驗模型創(chuàng)造性地揭示數(shù)學關(guān)系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、構(gòu)造數(shù)式、建立模型等。

A.－6 B.－5 C.5 D.6

〔賞析〕利用數(shù)形結(jié)合的方法解答此題，簡化了繁雜的向量運算，避免了運算錯誤，同時培養(yǎng)了學生觀察創(chuàng)新能力和直觀想象素養(yǎng)。

四、大膽猜想

猜想并不是無緣由的盲目猜測，是依靠現(xiàn)有經(jīng)驗和直覺，結(jié)合已有數(shù)學知識，對數(shù)學結(jié)論進行猜想推廣，從而得到新的數(shù)學結(jié)論。這種猜想的歸宿是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。

例4 （全國理科乙卷第23題）已知a,b,c都是正數(shù)，且，證明：

然后證明此猜想是真的。事實上，

所以，x3+y3+z3≥3xyz。

（2）由二元均值不等式的變形，得

〔賞析〕先對二元重要不等式作推廣得到猜想，然后證明猜想，最后利用三元重要不等式解決問題。這個過程可歸結(jié)為 “類比—猜想—證明—應用”，這正是數(shù)學家研究問題和解決問題的基本方法。這種做法體現(xiàn)了考生“大膽猜想，小心求證”的科學精神和數(shù)學素養(yǎng)。

五、數(shù)學構(gòu)造

數(shù)學構(gòu)造是數(shù)學創(chuàng)新的重常用方法。其特點是標新立異、巧妙簡捷。例如，將常數(shù)看作變量，將變量看作參數(shù)，將動點看作定點，將橢圓看作圓等。

A.c＞b＞a B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.a＞c＞b

所以c＞b＞a。故選A。

〔賞析〕這里將常數(shù)抽象為變量，用變量構(gòu)造函數(shù)，再用導數(shù)知識的解題方法是新穎的，不僅培養(yǎng)了學生的抽象素養(yǎng)，也發(fā)展了學生的創(chuàng)新思維能力。

六、數(shù)學審美

數(shù)學美是數(shù)學靈感的源泉，也是創(chuàng)新的源泉?！皵?shù)學美—靈感—創(chuàng)新”是數(shù)學創(chuàng)新的基本途徑。數(shù)學審美是學生探索解題思路的“明燈”，并能做到準確判斷、精準計算。

故△ADE的周長為13。

〔賞析〕利用數(shù)學簡單美巧妙解題，通過焦半徑的公式（簡單美），能快速獲得答案。