甘肅省武威第八中學(xué) 張雪基

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，是高考考查的常見問題類型.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中，解三角形位于必修課程主題三，幾何與代數(shù)，第一單元，平面向量及應(yīng)用.要求借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理；能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.角和邊是三角形中的兩類基本量，它們之間的關(guān)聯(lián)由內(nèi)角和定理、兩邊之和大于第三邊、大邊對大角、正余弦定理等構(gòu)建.問題求解過程中還會涉及和差角、倍半角、和差化積、積化和差公式等三角變換工具.這些定理、公式的本質(zhì)是什么？知識的背后又蘊含著怎樣的策略、方法和思想？

筆者以一道高考試題為例，帶著上述問題思考與探究，建議教師在教學(xué)中要讓學(xué)生養(yǎng)成從基本概念和原理出發(fā)思考問題、解決問題的習(xí)慣，深度理解概念和原理的實質(zhì)性聯(lián)系，才能有效增強學(xué)生思維的靈活性、深刻性和反思性.

1 試題呈現(xiàn)

(2022年全國高考乙卷理科第17題)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinC·sin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明：2a2=b2+c2；

2 解法探究及教學(xué)建議

2.1 第(1)問解法探究及教學(xué)建議

證法一：由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)及和差角公式，得

sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinC·cosA-sinBcosCsinA.

由正弦定理,得

accosB-bccosA=bccosA-accosC.

由余弦定理,得

整理得a2=b2+c2-a2，故2a2=b2+c2成立.

教學(xué)建議：已知角的關(guān)系，證明邊的關(guān)系，是這個問題的本質(zhì).正弦定理、余弦定理、大邊對大角是三角形中最基本的邊角關(guān)系，這些關(guān)系背后蘊含的基本策略，是把三角形中邊與角的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.正余弦定理教學(xué)時，應(yīng)通過實例呈現(xiàn)兩個定理的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，讓學(xué)生感受到兩個定理在“邊角互化”中的強大功能.

證法二：由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，結(jié)合內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，得

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A).

由和差角公式，得sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ccos2A-cos2Csin2A.

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，得

sin2A(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-cos2Csin2A.

整理，得2sin2A=sin2B+sin2C.

由正弦定理得2a2=b2+c2成立.

教學(xué)建議：三角形內(nèi)角和定理是小學(xué)內(nèi)容，學(xué)生特別熟悉，但在解三角形問題中最容易被忽視，它是特別重要的角與角之間的關(guān)系，是角之間建立聯(lián)系的有效途徑.而和差角公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式則是解三角形的必備工具.由2sin2A=sin2B+sin2C獲得2a2=b2+c2的過程，背后蘊含著正弦定理“邊角”互化的轉(zhuǎn)化思想及形式“統(tǒng)一”的思維.

證法三：由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，結(jié)合內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，得

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A).

由積化和差公式，得

即cos 2B+cos 2C=2cos 2A.

由余弦的二倍角公式，得

1-2sin2B+1-2sin2C=2(1-2sin2A).

即2sin2A=sin2B+sin2C.

由正弦定理得2a2=b2+c2成立.

教學(xué)建議:“和差化積”與“積化和差”公式常被教師們認為“無需掌握”，筆者認為它們本質(zhì)上是“和差角”公式的外延，有必要讓學(xué)生在實際問題的解決過程中體會其功能.實際上，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》明確要求學(xué)生能夠推導(dǎo)出兩組公式，但不要求記憶，2019年版北師大教材中，單獨列出一節(jié)講述這部分內(nèi)容.

證法四:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)及差角公式，得sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA.

整理，得

sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinB·sinCcosA.

逆用正弦的和角公式，得

sinAsin(B+C)=2sinBsinCcosA.

由內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得

sin2A=2sinBsinCcosA.

由正弦定理，得a2=2bccosA.

所以2a2=b2+c2成立.

教學(xué)建議：相較于證法一，證法四用差角公式展開后并沒有直接利用正弦定理把獲得的式子轉(zhuǎn)化為邊角混合式，而是冷靜觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA，體現(xiàn)出對結(jié)構(gòu)式的整體把握，以及對正弦和角公式的深度理解.三角變換涉及到和差角公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍半角公式等.公式教學(xué)不能“一個公式、三點注意”就草草了事，應(yīng)在公式為什么會有？怎樣來？結(jié)構(gòu)是怎樣的？與其他公式有何關(guān)系？有什么核心功能？等這些核心問題上下功夫.能夠準(zhǔn)確回答上述問題，應(yīng)用時才能得心應(yīng)手.

證法五：在△ABC中，sinCsin(A-B)=sinB·sin(C-A)，sinC≠0且sinB≠0.

若sin(A-B)=0，則sin(C-A)=0，有A=B且C=A成立，即A=B=C，所以a=b=c.

此時2a2=b2+c2成立.

若sin(A-B)≠0，則sin(C-A)≠0，由sinC·sin(A-B)=sinBsin(C-A)，得

整理，得

2bccosA=a(ccosB+bcosC).

由余弦定理，得

所以2a2=b2+c2成立.

教學(xué)建議:三角形中內(nèi)角對應(yīng)的三角函數(shù)值除具有一般三角函數(shù)的性質(zhì)，還具有其特殊性，如sinC≠0且sinB≠0正是基于三角形的特征獲得，要適時讓學(xué)生認清“特殊”和“一般”的關(guān)系.這種證法看似冗雜，且最后又回到正余弦定理的應(yīng)用上去，但學(xué)生在實際探究中，常會出現(xiàn)這種想法，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生多角度思考問題.方法的多樣性能夠增強學(xué)生對問題認識的深刻性，更能有效增強學(xué)生思維的靈活性.

2.2 第(2)問解法探究及教學(xué)建義

解法一:由⑴知2a2=b2+c2，又a=5，所以

b2+c2=50.

所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81，故b+c=9.

所以△ABC的周長為a+b+c=14.

教學(xué)建議:“整體”觀是此法和下述兩種方法中的一種最基本的觀念，這種觀念源于對余弦定理結(jié)構(gòu)式的整體把握和深度理解，有了這種觀念才能把思維聚焦在b+c的求解上.學(xué)生對運算表達式整體結(jié)構(gòu)的認識，是明晰運算對象、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果的前提.實際教學(xué)中教師應(yīng)教會學(xué)生如何有效把握運算表達式的整體結(jié)構(gòu).

解法二:由a2=b2+c2-2bccosA及2a2=b2+c2，得a2=2a2-2bccosA，即a2=2bccosA.

又2a2=b2+c2=(b+c)2-2bc，所以(b+c)2=81，即b+c=9.

故△ABC的周長為a+b+c=14.

故△ABC的周長為14.

3 反思

“新”高考特別強調(diào)考查基礎(chǔ).要求學(xué)生深刻理解高中數(shù)學(xué)基本概念、基本思想方法以及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系.教師應(yīng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中多設(shè)置一些富有探究性的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生深化數(shù)學(xué)概念，內(nèi)化數(shù)學(xué)方法；在拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識視野上下功夫，著力提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的靈活性和創(chuàng)造性及關(guān)鍵能力.

“新”高考強化對思維方法的考查.體現(xiàn)在以引導(dǎo)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念和深刻認識數(shù)學(xué)思想方法為載體提升學(xué)生思維的靈活性，指向思維的靈活性以深化基礎(chǔ)性的考查.要求學(xué)生具有較強的空間想象能力和分析問題的能力，能在抽象的情境中發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵.同時要求學(xué)生具備直觀想象、靈活運算、猜想與證明等方面的能力.

“新”高考對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的引領(lǐng)性告訴我們，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的過程中，學(xué)會感知、觀察、歸納、類比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思等邏輯思考的基本方法.教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，多設(shè)置一些可以對學(xué)生進行思維訓(xùn)練的教學(xué)活動，通過多舉措給學(xué)生提供思維訓(xùn)練的機會給學(xué)生，鍛煉學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、數(shù)學(xué)的思維思考世界、數(shù)學(xué)的語言表達世界.