曾 蒙，仲詩(shī)源

（江蘇第二師范學(xué)院，江蘇 南京 211200）

函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一，在歷屆高考中一直都是不可或缺的一個(gè)考點(diǎn)。了解高考真題中函數(shù)的要求及考查方式，可以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí)。本文從2021年全國(guó)卷出發(fā)，聚焦函數(shù)考查知識(shí)點(diǎn)，探討求解函數(shù)試題常用的工具，分析其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

1 函數(shù)試題分析

在2021年新高考數(shù)學(xué)試卷中考查了4道函數(shù)題，共計(jì)27分，占試卷的18%。考查題型涉及單項(xiàng)選擇題、填空題、解答題，具體情況見(jiàn)表1。

下面針對(duì)這四道函數(shù)題分別從知識(shí)點(diǎn)考查、數(shù)學(xué)思想方法以及能力要求進(jìn)行簡(jiǎn)單分析：

分析：本題主要以指數(shù)函數(shù)考查導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義。利用導(dǎo)數(shù)為相應(yīng)函數(shù)在一點(diǎn)上的切線斜率的幾何意義得出題中曲線的切線，結(jié)合求導(dǎo)所得增減性進(jìn)一步得到答案。體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想以及轉(zhuǎn)化的思想，將切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，要求學(xué)生要擁有運(yùn)用意識(shí)的能力。

分析：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。函數(shù)奇偶性的判斷是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況下，根據(jù)與的關(guān)系進(jìn)行判斷，本題就是利用偶函數(shù)的關(guān)系式確定未知數(shù)的值。本題將偶函數(shù)這一已知條件轉(zhuǎn)化為這一關(guān)系式充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，對(duì)于偶函數(shù)的概念定義有著深刻的理解進(jìn)而學(xué)會(huì)應(yīng)用。

分析：本題主要考查了函數(shù)的最值問(wèn)題。首先確定函數(shù)的定義域，由于去絕對(duì)值時(shí)導(dǎo)致的正負(fù)不同，再對(duì)自變量進(jìn)行分類討論，最后利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，從而進(jìn)一步得到最值。本題要求考生有分類討論的思想，對(duì)于這一類問(wèn)題不能想著直接計(jì)算，而是有根據(jù)條件進(jìn)行分類考慮問(wèn)題的意識(shí)。同時(shí)也要有運(yùn)用意識(shí)的能力，不能僅僅將知識(shí)局限于如何求導(dǎo)，而是要學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解不同問(wèn)題。

分析：本題以導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用為知識(shí)載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的問(wèn)題。第一小問(wèn)為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，第二小問(wèn)則是在構(gòu)造新函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。本題難點(diǎn)主要在于已知條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)構(gòu)造。對(duì)于考生的轉(zhuǎn)化思想與創(chuàng)新意識(shí)有著巨大的考驗(yàn)，這也是作為壓軸題拉開(kāi)考生間差距的地方。考生能夠從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)與指出問(wèn)題，并且自主解決未學(xué)習(xí)接觸過(guò)的或是以一種全新的方法簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的能力是突破該難題的關(guān)鍵。

2 解決函數(shù)問(wèn)題常用工具

通過(guò)對(duì)2021全國(guó)卷中的4道函數(shù)試題的分析，其中有3道題在解答過(guò)程中需要利用導(dǎo)數(shù)作為工具進(jìn)行解答，如例1、例3、例4。在例1中題目從導(dǎo)數(shù)的幾何意義出發(fā)，即曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率為函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以此得出大小關(guān)系。在例3中，通過(guò)使用導(dǎo)數(shù)確定不同情況下的函數(shù)單調(diào)性從而得出函數(shù)的最小值。在例4中，無(wú)論是第一小問(wèn)的單調(diào)性還是第二小問(wèn)的不等式證明都離不開(kāi)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。總結(jié)發(fā)現(xiàn)函數(shù)對(duì)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要分為兩方面，一方面是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決斜率問(wèn)題如例1；另一方面則更為常見(jiàn)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，從而進(jìn)一步解決最值、零點(diǎn)、不等式等問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)強(qiáng)有效地解決問(wèn)題的工具，有意識(shí)地利用導(dǎo)數(shù)可以大幅度的提高考生解題速度、增加正確率。

在做題過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，解得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難度并不高，確定求什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)往往才是難點(diǎn)。如例1，首先需要利用切線構(gòu)造出，才能進(jìn)一步求導(dǎo)得出單調(diào)性從而求解。同樣的如例4，也需要通過(guò)先構(gòu)造新的函數(shù)：，然后針對(duì)兩個(gè)新構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)才能最終得到所需要的結(jié)果。如果想要利用導(dǎo)數(shù)快速的解決函數(shù)問(wèn)題，不僅僅需要掌握求導(dǎo)公式，同時(shí)還需要學(xué)會(huì)構(gòu)造函數(shù)。正確的函數(shù)構(gòu)造才能通過(guò)導(dǎo)數(shù)將題目引向正確的答案。

3 函數(shù)試題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

3.1 函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)與方程的思想方法在函數(shù)問(wèn)題中是貫穿始終的?；蚴菍⒎匠剔D(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，如例1通過(guò)切線以及導(dǎo)數(shù)幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)解的問(wèn)題，即可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，最后再用單調(diào)性求解，其中由方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程就是運(yùn)用了函數(shù)與方程的思想。或是在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)構(gòu)造并求解方程以此得到最終答案，如例2根據(jù)函數(shù)奇偶性得到方程，通過(guò)解方程得到答案。函數(shù)與方程是在解題過(guò)程緊密結(jié)合的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到將抽象復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的。

3.2 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法

根據(jù)上文所探討的函數(shù)試題中數(shù)學(xué)工具運(yùn)用，作為函數(shù)解答中最重要的工具—導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是構(gòu)造正確的函數(shù)。而如何構(gòu)造函數(shù)就需要考生擁有轉(zhuǎn)化與化歸思想，尤其是轉(zhuǎn)化的思想。面對(duì)復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，其第一要義就是根據(jù)題意構(gòu)造出能引向答案的函數(shù)，如例4，轉(zhuǎn)化思想不僅僅存在于構(gòu)造函數(shù)中，準(zhǔn)確地說(shuō)數(shù)學(xué)問(wèn)題每一步的解答都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，將題目中無(wú)法解決的復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化一步步簡(jiǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為可以解決的簡(jiǎn)單問(wèn)題，如例1就需要考生將切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以通過(guò)單調(diào)性求解的函數(shù)問(wèn)題。掌握轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是考生解決函數(shù)問(wèn)題的必要武器。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)于2021年新高考數(shù)學(xué)試卷中函數(shù)相關(guān)題目的分析，函數(shù)知識(shí)點(diǎn)考查方向主要為函數(shù)的性質(zhì)以及以導(dǎo)數(shù)為工具解決單調(diào)性、最值、切線等問(wèn)題。其中利用導(dǎo)數(shù)作為工具解決函數(shù)問(wèn)題更是貫穿函數(shù)考查過(guò)程。因此在函數(shù)教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)工具在解題中的作用，并在教學(xué)過(guò)程中滲透函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，有意識(shí)地幫助學(xué)生拓寬解題思路，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。