楊繼昌，陳廣生，沈柳平，莫明忠，馬岱君，周昌永

（廣西科技師范學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院，廣西 來賓 546199）

0 引言

常微分方程是一個(gè)理論研究和實(shí)際應(yīng)用并重的學(xué)科，它在數(shù)學(xué)專業(yè)中具有很重要的地位，在體現(xiàn)客觀自然規(guī)律和解決實(shí)際問題方面也不可或缺[1]。

在高校數(shù)學(xué)類或理工類專業(yè)的《常微分方程》教材中列舉了很多種形式的常微分方程，其中最基本的一種就是變量分離方程，只需要用初等積分法即可求解。但是其他類型的常微分方程，我們最常用的方法就是變換方法。本文將對(duì)變換方法進(jìn)行討論和研究，闡明它在求解常微分方程中的重要性。

1 一階常微分方程的變換方法及解題步驟和

1.1 變量分離法[2]

變量分離，其實(shí)質(zhì)就是將未知函數(shù)或因變量與自變量分離出來，使等式的一邊為未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，另一邊為自變量的導(dǎo)數(shù)形式.然后通過微分的逆運(yùn)算，即兩邊同時(shí)積分，再逐步求出未知函數(shù)。

解：根據(jù)變量分離理論，此常微分方程可以變量分離為以下形式：

變量分離方程的基本形式為：

1.2 變量代換法

變量代換法的主要思想是對(duì)于一些微分方程形式上不是變量分離方程，若通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后可以化為變量分離方程，再通過變量分離方程的求解方法求出變量代換后的方程的解，最后再將變量代換的解代回原來的變量就可以得到原方程的解。

1.2.1 齊次微分方程[3]

1.2.2 非齊次微分方程

以上是對(duì)于形如（9）、（12）、（14）、（15）、（16）的微分方程求解問題中的變量代換法的應(yīng)用，當(dāng)然，還有其他一些類型的微分方程應(yīng)該也可以通過變量代換法進(jìn)行求解，限于篇幅，筆者不再贅述。

1.3 常數(shù)變易法

1.3.1 非齊次線性微分方程

1.3.2 伯努利微分方程[11]

1.4 分項(xiàng)組合法[12]

分項(xiàng)組合就是把每一項(xiàng)都分開，然后觀察其中的每一項(xiàng)，先把那些本身就已經(jīng)構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來，再把剩下的所有項(xiàng)湊成全微分，這種方法也叫湊分法。

的方程可以寫成一階微分方程的形式：

當(dāng)方程的左邊正好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分時(shí)，該方程稱為恰當(dāng)微分方程。某方程為恰當(dāng)微分方程的充要條件是：

我們?cè)谂袛嗨枨蠼獾姆匠虨榍‘?dāng)微分方程之后，便可以通過分項(xiàng)組合的方法來進(jìn)行求解。

1.5 積分因子法