山東 張巖松 王燦亮

氣體實(shí)驗(yàn)定律中的變質(zhì)量問題始終是高考中的熱點(diǎn)問題,譬如山東省2022年普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試物理卷第15題考查的就是理想氣體的變質(zhì)量問題。此類問題的傳統(tǒng)解法是將變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化成定質(zhì)量問題,但是此題無法利用該法進(jìn)行求解。雖然此題也可以利用理想氣體狀態(tài)方程求解,但是在高中階段學(xué)生并沒有學(xué)習(xí)理想氣體狀態(tài)方程。如果不用理想氣體狀態(tài)方程去求解,那么我們是否還有其他方法能夠便捷地解答此題? 答案是肯定的,我們可以用比例法進(jìn)行求解。

一、第15題高考原題

(2022·山東卷·15)某些魚類通過調(diào)節(jié)體內(nèi)魚鰾的體積實(shí)現(xiàn)浮沉。如圖所示,魚鰾結(jié)構(gòu)可簡化為通過閥門相連的A、B兩個(gè)密閉氣室,A室壁厚,可認(rèn)為體積恒定,B室壁薄,體積可變;兩室內(nèi)氣體視為理想氣體,可通過閥門進(jìn)行交換。質(zhì)量為M的魚靜止在水面下H處。B室內(nèi)氣體體積為V,質(zhì)量為m;設(shè)B室內(nèi)氣體壓強(qiáng)與魚體外壓強(qiáng)相等、魚體積的變化與B室氣體體積的變化相等,魚的質(zhì)量不變,魚鰾內(nèi)氣體溫度不變。水的密度為ρ,重力加速度為g。大氣壓強(qiáng)為P0,求:

(1)魚通過增加B室體積獲得大小為a的加速度,需從A室充入B室的氣體質(zhì)量Δm;

(2)魚靜止于水面下H1處時(shí),B室內(nèi)氣體質(zhì)量m1。

二、第15題提供的答案

(1)由題給條件可知,開始時(shí)魚靜止在H處,設(shè)此時(shí)魚的體積為V0,有Mg＝ρgV0

此時(shí)B室內(nèi)氣體體積為V,質(zhì)量為m,則m＝ρ氣V

假設(shè)向B室充入氣體的體積為ΔV

通過增加B室體積,魚獲得大小為a的加速度,根據(jù)牛頓第二定律有ρg(V0＋ΔV)－Mg＝Ma

聯(lián)立解得需從A室充入B室的氣體質(zhì)量

(2)由題意可知,開始時(shí)魚靜止在H處時(shí),B室內(nèi)氣體體積為V,質(zhì)量為m,且此時(shí)B室內(nèi)的壓強(qiáng)為

魚靜止于水面下H1處時(shí),壓強(qiáng)的大小為

由于魚鰾內(nèi)氣體溫度不變,根據(jù)玻意耳定律有

三、對于第(1)問答案的探討

1.直接利用A室向B室充氣前后密度不變進(jìn)行計(jì)算,不夠嚴(yán)密。

A氣室的氣體向B氣室充氣之后,B室內(nèi)氣體的密度依然保持不變的原因,應(yīng)該進(jìn)行證明。證明如下:因?yàn)闅怏w的壓強(qiáng)與兩個(gè)因素有關(guān),一是溫度,二是密度。因?yàn)闇囟炔蛔?而充氣前和充氣后的一瞬間,B室內(nèi)氣體的壓強(qiáng)也不變,所以B室內(nèi)氣體的密度仍保持不變。

2.可利用理想氣體狀態(tài)方程進(jìn)行求解,就避開了利用密度不變進(jìn)行計(jì)算,具體解答過程如下。

假設(shè)魚的體積為V0,魚的質(zhì)量為M

以魚為研究對象,根據(jù)二力平衡的條件得

設(shè)向B室充入氣體的體積為ΔV

以充完氣之后的魚為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律得

【點(diǎn)評】利用理想氣體狀態(tài)方程求解,不會用到密度公式,這樣求解就非常嚴(yán)密,無懈可擊。

3.求ΔV＝,也可以利用等效法,此法更簡單。

魚為什么能夠獲得大小為a的加速度? 因?yàn)锳氣室向B氣室充入了體積為ΔV的氣體,魚獲得的合外力Ma是由新充入的這部分氣體產(chǎn)生的浮力而產(chǎn)生的。

則ρΔVg＝Ma

故ΔV＝

【點(diǎn)評】利用等效法一步就能推導(dǎo)出來,非常簡潔。

四、對于第(2)問答案的探討

筆者認(rèn)為網(wǎng)上提供的第(2)問的答案是錯(cuò)誤的。魚無論靜止在水面下H處,還是靜止在H1處,都處于平衡狀態(tài),根據(jù)二力平衡條件可知,重力不變,浮力也不變,所以B室內(nèi)氣體的體積也不變。

【錯(cuò)誤1】誤認(rèn)為魚靜止于水面下H1處時(shí),B氣室的氣體體積變了。實(shí)際上B氣室內(nèi)氣體的體積沒有變化,因?yàn)轸~靜止于水面下H1處時(shí),魚所受的水的浮力與魚的重力仍然相等,而魚的重力始終不變,所以魚所受的水的浮力也不變,因此B氣室內(nèi)的氣體體積也不變。

【錯(cuò)誤2】利用玻意耳定律求解是錯(cuò)誤的,因?yàn)槭褂貌Ｒ舛傻那疤崾菤怏w的質(zhì)量保持不變,而該題中氣體的質(zhì)量發(fā)生了變化。

【解法1】利用理想氣體狀態(tài)方程pV＝RT去求解。

由于氣體的壓強(qiáng)發(fā)生改變,而氣體的溫度、體積不變,所以氣體的質(zhì)量肯定發(fā)生改變,利用玻意耳定律求解肯定是錯(cuò)誤的。正確的解法可以利用理想氣體狀態(tài)方程進(jìn)行求解。

設(shè)魚靜止于水面下H1處時(shí)B室內(nèi)氣體的體積為V1,此時(shí)氣體的壓強(qiáng)為P1

初始時(shí),魚的壓強(qiáng)為p＝p0＋ρgH

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程pV＝

然而,高中階段學(xué)生并沒有學(xué)習(xí)理想氣體狀態(tài)方程,那么如果不用理想氣體狀態(tài)方程求解,還有什么方法能求出m1? 可以利用比例法進(jìn)行求解。

【解法2】利用比例法求解。

因?yàn)闅怏w的壓強(qiáng)與兩個(gè)因素有關(guān),一個(gè)是溫度,一個(gè)是密度。因?yàn)闇囟炔蛔?所以氣體的壓強(qiáng)只與密度有關(guān)。又因?yàn)闅怏w密度ρ＝,而氣體的體積V不變,所以p∝m

魚在H處、H1處的壓強(qiáng)分別為

【點(diǎn)評】利用比例法求解就避開了理想氣體狀態(tài)方程,克服了變質(zhì)量問題無法利用所學(xué)的理想氣體實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行求解的困難。

五、結(jié)語

對于第(1)問,氣體的密度是不變的,但需要說明。對于第(2)問,因?yàn)轸~無論靜止在水面下H處,還是靜止于水面下H1處,根據(jù)二力平衡,重力不變,浮力就不變,則氣體的體積就不變,所以認(rèn)為氣體的體積是變化的,進(jìn)而利用玻意耳定律進(jìn)行求解是錯(cuò)誤的。既然氣體體積不變,但由于充氣,導(dǎo)致氣體質(zhì)量變了,則氣體密度就變了,所以認(rèn)為氣體密度不變也是錯(cuò)誤的。對于變質(zhì)量問題,常規(guī)方法是將變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問題。但是對于類似第15 題這類無法轉(zhuǎn)化的試題,則可以利用理想氣體狀態(tài)方程求解。如果記不住理想氣體狀態(tài)方程,還可以利用比例法或利用所學(xué)的知識推導(dǎo)出p∝m進(jìn)行求解。