鄭義富

(華南師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510631)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確了數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的總目標(biāo)，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”[1]。“三會(huì)”主要對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)基本思想中的抽象、推理與模型思想。史寧中先生認(rèn)為，“數(shù)學(xué)”就是人類認(rèn)識(shí)世界的一種媒介模型，數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁[2]。而“模型思想”即體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的眼光，又必然運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維，并且是用特征鮮明的數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?？梢娔Ｐ退枷氲挠酥髦寂c“三會(huì)”的育人目標(biāo)有著高度一致性，學(xué)生“模型思想”的獲得與發(fā)展亦能夠充分彰顯以“三會(huì)”為總目標(biāo)的核心素養(yǎng)的落實(shí)。

但是相比于“抽象思想”與“推理思想”，中小學(xué)教師對(duì)“模型思想”的認(rèn)識(shí)理解與重視的程度并不理想。近年來國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)中關(guān)于“模型思想”的探討也不如另二者豐富，“模型思想”的概念界定還不夠明晰，對(duì)在教學(xué)中落實(shí)“模型思想”育人目標(biāo)的方法與策略的研究尚缺乏足夠的深度。本文希望通過對(duì)模型思想本質(zhì)內(nèi)涵及其育人價(jià)值的深入剖析，從而更為全面、更為深入地認(rèn)識(shí)模型思想，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)育人目標(biāo)。

一、模型思想的本質(zhì)探析

(一)什么是模型

區(qū)別于生活中的按實(shí)物比例和結(jié)構(gòu)模擬出的“模型”，在討論“數(shù)學(xué)模型”與“模型思想”時(shí)，“模型”應(yīng)是一個(gè)“科學(xué)”用語。而作為科學(xué)詞匯的“模型”譯自法語modele，詞源為拉丁語modus——樣子，指某一客體(或客體系統(tǒng))的相對(duì)的形狀(形象、模式、描述等)，用來表達(dá)人關(guān)于實(shí)物的知道和這些實(shí)物之間的關(guān)系。有學(xué)者將“模型”直接作為一種“模式”來闡述，具體樣態(tài)可以是客觀實(shí)物的相似模擬(實(shí)物模式)，也可以是真實(shí)世界的數(shù)學(xué)描寫(數(shù)學(xué)模式)，還可以是思想觀念的文字表達(dá)(語義模式)、客觀現(xiàn)實(shí)的形象顯示(圖像模式)以及情感體驗(yàn)的聲音抒發(fā)(音樂模式)等[3]。

筆者認(rèn)為，“模型”從其生成過程來看，就是認(rèn)識(shí)、反映、改造客觀世界的方法和途徑，而當(dāng)這“方法和途徑”有了“邊界”，就有了范疇化的區(qū)別于它類的形式，并形成了自成體系的創(chuàng)生方式，于是就生成了“模型”。從“學(xué)科”角度來看，如同音樂、美術(shù)是用韻律或色彩反映人類聽覺、視覺感官之美的模型一樣，每一門學(xué)科就是一類模型，可以是數(shù)學(xué)意義上的模型，也可以是物理學(xué)意義上的模型，還可以是化學(xué)意義上的模型等。如給“模型”下個(gè)定義，那就是“人對(duì)客觀事物的性質(zhì)、特征以及規(guī)律、關(guān)系的主觀反映所進(jìn)行的抽象了的模擬再現(xiàn)或抽象化的表達(dá)形式”。模型的本質(zhì)就是一種抽象的結(jié)果，所要經(jīng)歷的應(yīng)是由客觀實(shí)在到思維內(nèi)在，由簡(jiǎn)單模擬到復(fù)雜分析，由具體方法到一般思想的抽象過程。

(二)什么是“數(shù)學(xué)模型”

美國(guó)學(xué)者柯朗和羅賓給出的定義是：所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[4]。顧泠沅先生則認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，是對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的概括反映或模擬，是一種符號(hào)模型。數(shù)學(xué)模型思想方法就是指通過數(shù)學(xué)模型來解決問題的一種思想方法[5]。史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型是指“用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造出來的概念、原理和方法，來理解、描述和解決現(xiàn)實(shí)世界中的一類問題。這樣的一類問題往往蘊(yùn)含著某種事物發(fā)生的規(guī)律性，或者說，蘊(yùn)含著某種事物發(fā)展的必然性。”[6]通俗地說，數(shù)學(xué)模型借用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事。數(shù)學(xué)模型描述的是規(guī)律性的、必然性的那些東西，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁[7]?？追舱芙o數(shù)學(xué)模型的定義是：“數(shù)學(xué)模型指根據(jù)問題實(shí)際和研究對(duì)象的特點(diǎn)，為了描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、概括等方法而形成的，用以反映其內(nèi)部因素之間的空間形式與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式，包括數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則、具體算法和數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象、概括的產(chǎn)物，其原型可以是具體對(duì)象及其性質(zhì)、關(guān)系，也可以是數(shù)學(xué)對(duì)象及其性質(zhì)、關(guān)系?！盵8]上述專家學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)模型的定義雖然切入點(diǎn)不同，但都指出了數(shù)學(xué)模型的一些基本特征。如數(shù)學(xué)化的語言、抽象概括的思考方法、指向事物規(guī)律和關(guān)系的研究、基于現(xiàn)實(shí)世界的問題、形成數(shù)學(xué)式的結(jié)構(gòu)等。

為了有所區(qū)分，一般學(xué)者還會(huì)從廣義和狹義兩方面對(duì)數(shù)學(xué)模型做出解釋。如有學(xué)者認(rèn)為：“從狹義上說，在高等數(shù)學(xué)中，我們可根據(jù)數(shù)學(xué)的不同分支來對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類。此時(shí)，數(shù)學(xué)模型可分為規(guī)劃模型、圖論、優(yōu)化模型、概率模型、常微分方程等。事實(shí)上，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)模型很難以數(shù)學(xué)分支進(jìn)行分類。從廣義上說，數(shù)、方程、空間幾何體都可以視為數(shù)學(xué)模型?！盵9]還有學(xué)者認(rèn)為，廣義上說，數(shù)學(xué)中的許多重要概念(如方程、函數(shù)等)都可稱之為數(shù)學(xué)模型，正如張奠宙教授指出的，“加、減、乘、除”都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來的。狹義地說，只有反映特定問題和特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，方可以構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，而且這類數(shù)學(xué)模型大致可分為兩類：一類是描述客體必然現(xiàn)象的確定性模型，其數(shù)學(xué)工具一般是代數(shù)方程、微分方程、積分方程和差分方程等；另一類是描述客體或然現(xiàn)象的隨機(jī)性模型，其數(shù)學(xué)模型方法是科學(xué)研究與創(chuàng)新的重要方法之一。也就是說，按通行的、比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)，才叫作數(shù)學(xué)模型。模型是聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的一座必不可少的橋梁和紐帶[10]。

但筆者并不贊同將數(shù)學(xué)模型進(jìn)行廣義與狹義的劃分，一方面這種劃分難以清楚劃定“界限”；另一方面，各種劃分也是不一而足，容易造成混淆，特別是不利于中小學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)與把握。但筆者贊同將數(shù)學(xué)模型對(duì)應(yīng)于不同學(xué)段進(jìn)行描述性定義。如史寧中教授認(rèn)為，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型則是“根據(jù)已有的實(shí)際問題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型，即我們所說的數(shù)學(xué)模型是與實(shí)際問題緊密聯(lián)系的”[11]。

基于對(duì)“數(shù)學(xué)模型”相關(guān)文獻(xiàn)的學(xué)習(xí)，結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐中的思考，筆者認(rèn)為，正如模型的本質(zhì)就是一種抽象，數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)就應(yīng)該是一種抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。“數(shù)學(xué)模型”須是經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象、數(shù)學(xué)的推理、采用數(shù)學(xué)的符號(hào)，解決數(shù)學(xué)化了的問題。因此，“數(shù)學(xué)模型”也就是數(shù)學(xué)化的模擬再現(xiàn)或數(shù)學(xué)化的表達(dá)形式。所謂“數(shù)學(xué)化”，即采用數(shù)學(xué)特有的語言(數(shù)與符號(hào)、式與圖形等形式)，對(duì)數(shù)學(xué)視角的客觀世界(本質(zhì)、特征、規(guī)律、關(guān)系等)，進(jìn)行數(shù)學(xué)式的探究(通過直觀、抽象、推理或數(shù)量刻畫、數(shù)據(jù)分析等方法)，形成數(shù)學(xué)化的表達(dá)(抽象概念，數(shù)學(xué)定義、定理，關(guān)系式、圖式結(jié)構(gòu)等)，從而解決相應(yīng)的實(shí)際問題，并能便捷地運(yùn)用到類似問題的解決中，且為數(shù)學(xué)本身的發(fā)展提供成果和動(dòng)力。

(三)什么是模型思想

史寧中教授認(rèn)為，模型思想是用數(shù)學(xué)的概念和原理描述現(xiàn)實(shí)世界過程中所依賴的那些思想[12]，即“能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)世界中一類問題的那種思想”。掌握模型思想就是，把握現(xiàn)實(shí)世界中一類問題的本質(zhì)與規(guī)律，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題的本質(zhì)與規(guī)律，用合適的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)問題的本質(zhì)與規(guī)律，最后得到刻畫一類事物的數(shù)學(xué)模型。簡(jiǎn)而言之，模型思想就是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事；數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，借助數(shù)學(xué)模型使數(shù)學(xué)回歸于現(xiàn)實(shí)世界[13]。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中明確要求“要使學(xué)生初步形成模型思想”，并指出：“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”[14]。新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》[15]中，則以“三會(huì)”的表述形式揭示“數(shù)學(xué)思想”的重要意義和價(jià)值，并根據(jù)不同學(xué)段分別作以表述。模型思想落在小學(xué)階段的任務(wù)與表現(xiàn)即為“模型意識(shí)”，初中階段則為“模型觀念”，高中階段就是“建模能力”?！胺侄伪硎觥背浞煮w現(xiàn)出核心素養(yǎng)導(dǎo)向下學(xué)生模型思想的獲得與發(fā)展的一致性、階段性與整體性。

筆者認(rèn)為，模型思想雖立足于“模型”，但側(cè)重在“思想”，“數(shù)學(xué)的模型”是“殼”，“模型的思想”才是“靈魂”。因此，筆者所理解的模型思想，應(yīng)是能動(dòng)地運(yùn)用或創(chuàng)造“模型”去探究客觀世界并解決實(shí)際問題的意識(shí)、觀念與能力的綜合性的主觀體現(xiàn)。所運(yùn)用或創(chuàng)造的“模型”并不局限于數(shù)學(xué)模型，但作為抽象化反映客觀現(xiàn)實(shí)世界的“數(shù)學(xué)模型”顯然是最能完美刻畫對(duì)象且廣受人們青睞的“模型”。“模型思想”作為思想的薈萃，不可能局限于一種形態(tài)，它既是一種觀察、認(rèn)識(shí)、反映并改造客觀世界的方法和手段，也是經(jīng)由這種方法和手段認(rèn)識(shí)并改造客觀世界的最終成果；既是數(shù)學(xué)學(xué)科大廈建構(gòu)賴以支撐的思想根基，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需的知識(shí)和能力；既是解決數(shù)學(xué)問題的成功手段與參考案例，又是解決現(xiàn)實(shí)生活問題的科學(xué)且高效的不二法門；既是教師教學(xué)中所秉持的育人理念，也是學(xué)生核心素養(yǎng)的主要體現(xiàn)。其所彰顯的特性，是知識(shí)性的，更是思想性的；是應(yīng)用性的，更是創(chuàng)造性的；是歷史性的，更是面向未來的！

二、模型思想的教育價(jià)值

每一處數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)其實(shí)都是對(duì)一種“模型”的探究與感悟?！澳Ｐ退枷搿痹谥行W(xué)具有極其重要的育人價(jià)值和深遠(yuǎn)教育意義。

(一)堅(jiān)定落實(shí)立德樹人根本任務(wù)

新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》所遵循的課程理念是：“以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為指導(dǎo)，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)?！蹦Ｐ退枷敕椒ǖ慕虒W(xué)要落實(shí)立德樹人根本任務(wù)必須要讓教育過程呈現(xiàn)出勃勃生機(jī)，要能在對(duì)模型思想本質(zhì)探究以及知識(shí)論、方法論、認(rèn)識(shí)論等多種視角全面辨析的基礎(chǔ)上深入扎實(shí)開展教育教學(xué)活動(dòng)，力求能在學(xué)生的心中播下“創(chuàng)新精神、應(yīng)用精神、理性精神”的種子，培育學(xué)生樹立起面向未來的人生觀、價(jià)值觀，為探索未來世界積蓄力量。

(二)形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確提出：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)?！绷x務(wù)教育階段數(shù)學(xué)新課標(biāo)將課程總目標(biāo)定位為落實(shí)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“三會(huì)”。史寧中教授認(rèn)為，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型特別是了解數(shù)學(xué)模型的形成過程是非常重要的，因?yàn)樵谶@個(gè)過程中，可以讓學(xué)生體會(huì)如何通過數(shù)學(xué)的“眼睛”來觀察和分析現(xiàn)實(shí)世界中的一些事情，利用數(shù)學(xué)的“語言”來描述和分析這些事情[16]。而且模型構(gòu)造的過程也必然經(jīng)歷了“用數(shù)學(xué)的思維思考”。由此可見，模型思想的教學(xué)能夠也必然要肩負(fù)著落實(shí)“三會(huì)”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的重任。正如曹培英所指出：“數(shù)學(xué)基本思想承載了獨(dú)特的、鮮明的學(xué)科育人價(jià)值，可教、可學(xué)，是名副其實(shí)的學(xué)科核心素養(yǎng)?！盵17]

(三)培育面向未來的數(shù)學(xué)能力

很難想象人類社會(huì)發(fā)展史上如果缺少“數(shù)學(xué)”這一主要推動(dòng)力量會(huì)是怎樣，科學(xué)家考特(N.A.Court)這樣贊譽(yù)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，“數(shù)學(xué)是人類智慧王冠上的明珠”[18]?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史、科技發(fā)展史都可以充分地說明這一點(diǎn)。進(jìn)入21世紀(jì)，數(shù)學(xué)新思潮更是不斷涌現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想方法幾乎滲透到社會(huì)生活的方方面面，文化、教育、醫(yī)療，甚至飲食與天氣等無不有數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用在發(fā)揮著關(guān)鍵作用。金融、互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能、航空航天等領(lǐng)域中的復(fù)雜模型系統(tǒng)和全新建模分析更是俯拾皆是。正如數(shù)學(xué)家布克(R.C.Buck)所指出的，“模型是所有數(shù)學(xué)應(yīng)用的心臟，也是某些最抽象的純數(shù)學(xué)的核心”[19]。

數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷程結(jié)出了難以想象的豐厚的智慧成果，但是，今天的數(shù)學(xué)教育決不能只是面向數(shù)學(xué)過去的輝煌，只是竭盡全力地要學(xué)習(xí)掌握前人的思想成果，這既辦不到也沒必要。當(dāng)然也不能僅僅面向當(dāng)下，一味地“走進(jìn)生活去應(yīng)用”，卻忘記了數(shù)學(xué)的高貴之處來自其“脫離”生活表面現(xiàn)象的“抽象”的魅力。數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)人，數(shù)學(xué)教育必須旗幟鮮明地面向未來。“我們必須留心數(shù)學(xué)明日會(huì)是什么，數(shù)學(xué)對(duì)未來的滲透力不僅具有廣度，而且具有深度?？茖W(xué)和技術(shù)的巨大發(fā)展主要的是由于數(shù)學(xué)的當(dāng)下的發(fā)展。”[20]而面向未來的數(shù)學(xué)教育要擔(dān)起“立德樹人”、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本任務(wù)，也要當(dāng)仁不讓地?fù)?dān)負(fù)起培養(yǎng)學(xué)生面向未來的關(guān)鍵能力?！澳Ｐ退枷搿苯虒W(xué)則在培養(yǎng)學(xué)生“直觀洞察能力、發(fā)散想象能力、猜想驗(yàn)證能力、抽象推理能力、綜合應(yīng)用能力”等方面具備得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。

1.直觀洞察能力?！皵?shù)學(xué)模型”絕不會(huì)憑空而現(xiàn)，它一定是基于人對(duì)生活的有意識(shí)有方法的、全面的觀察與深入的理解。引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題與提出問題”就是在培養(yǎng)學(xué)生直觀洞察能力，促進(jìn)學(xué)生洞察事物本質(zhì)、抓住事物間主要關(guān)系的思維發(fā)展，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

2.發(fā)散想象能力。無論是生活中觀察到的“現(xiàn)象”，或是人類自身創(chuàng)造的“情境”，都不會(huì)是簡(jiǎn)單的“表面”現(xiàn)象所能涵蓋，它們有著太多豐富的隱含“密碼”，需要我們自由大膽地想象，并盡可能地將思維廣度與深度進(jìn)行“發(fā)散”，在充分的想象與發(fā)散的過程中抓住那一閃即逝的“靈感和直覺”，獲得打開智慧大門的鑰匙。

3.猜想驗(yàn)證能力。沒有猜想就沒有一切，沒有驗(yàn)證就沒有真實(shí)的一切。數(shù)學(xué)家說，“讓我們教猜想吧”。前文“提出問題、問題具化”的模型構(gòu)造環(huán)節(jié)就是指向“猜想”。只有產(chǎn)生“猜想和假設(shè)”才算開啟“模型構(gòu)造”的真正歷程。盡管這些“猜想和假設(shè)”大部分沒有開花結(jié)果，但“猜想”本身已是彌足珍貴。試問有哪一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)思想不是由看似不起眼的“猜想”的種子奮力生長(zhǎng)而至成為枝繁葉茂的思想大樹？在這奮力成長(zhǎng)的過程中，必然缺少不了不斷地“檢驗(yàn)與修正”，正是這一次次地驗(yàn)證和不斷地調(diào)整，才能為“真理”的生成保駕護(hù)航。

4.抽象推理能力。模型在本質(zhì)上就是抽象。模型構(gòu)造的過程中，抽象模擬、一一對(duì)應(yīng)、分類列舉、數(shù)量刻畫、多元表征都是抽象思考的具體體現(xiàn)。沒有抽象，生活只是生活；有了抽象，生活現(xiàn)象就得到了數(shù)學(xué)的升華。推理是進(jìn)一步的抽象，是抽象的組合與關(guān)聯(lián)。模型構(gòu)造中問題的提出、關(guān)系的分析、規(guī)律的探究、邏輯的驗(yàn)證都是推理的過程。沒有推理，猜想只是猜想，問題依然是問題。有了推理，猜想就有了驗(yàn)證的途徑，問題就有了解決的辦法。模型是更深入的抽象，也是模式化的推理，抽象和推理如果不以模型做成果，還有什么可讓其充滿“生命力”呢？數(shù)學(xué)模型蘊(yùn)含著抽象與推理所彰顯的數(shù)學(xué)理性，更詮釋真善美的追求的統(tǒng)一。模型思想的教學(xué)，就是在潤(rùn)物細(xì)無聲地培育著學(xué)生抽象與推理的能力。

5.綜合應(yīng)用能力?！熬C合”是模型思想的重要特征之一，無論是其形成階段或是應(yīng)用階段，都充分體現(xiàn)了廣泛的綜合性。而現(xiàn)實(shí)“應(yīng)用”則是模型思想的使命和歸宿。史寧中教授指出，數(shù)學(xué)模型的價(jià)值取向不是數(shù)學(xué)本身，而是描述現(xiàn)實(shí)世界所期待的作用。數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事[21]。數(shù)學(xué)模型廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和社會(huì)生活各個(gè)領(lǐng)域。模型方法是集理論研究、自然研究、社會(huì)研究各種領(lǐng)域的綜合性的研究方法。顧泠沅與邵光華等學(xué)者指出：“通過數(shù)學(xué)模型方法的學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及日常生活的相互聯(lián)系，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力；激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，形成良好情感態(tài)度以及全面的數(shù)學(xué)價(jià)值觀。”[22]

6.創(chuàng)新創(chuàng)造能力。有研究者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)模型就是在數(shù)學(xué)的幫助下解決復(fù)雜而現(xiàn)實(shí)的問題”[23]。而“復(fù)雜”問題的解決方法和途徑往往是創(chuàng)新的思想和創(chuàng)造的手段。創(chuàng)新創(chuàng)造能力是不折不扣的面向未來的能力，更是改造世界推進(jìn)人類發(fā)展的最關(guān)鍵的動(dòng)力。模型思想的教學(xué)雖然少不了要學(xué)習(xí)前人的數(shù)學(xué)模型成果，但其根本宗旨卻一定不是為了向這些已有的“成果”膜拜，而是學(xué)習(xí)并積蓄創(chuàng)建新思路、創(chuàng)造新模型的強(qiáng)大力量。也正因此，筆者特別強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中尤其要注重模型建構(gòu)“前”的“創(chuàng)生”的過程。相比完美的模型“成品”，模型構(gòu)建前的思考和工作更有價(jià)值。要讓學(xué)生清楚，解決問題不是宗旨，試圖能夠找到讓別人也能夠解決同類問題的通用的方法才有價(jià)值，如果在解決問題時(shí)創(chuàng)造出新的思路、方法、模型，那價(jià)值必然更高，而在探索的歷程中培育了創(chuàng)新意識(shí)、樹立了創(chuàng)新思想、扎根了創(chuàng)新精神則最為可貴！

數(shù)學(xué)家考特說：“數(shù)學(xué)不但給了人類以利用自然的技術(shù)工具，不僅提供了一個(gè)偉大的、無與倫比的、充滿了智慧美與享受的寶庫，而且它還使人類對(duì)其自身及其命運(yùn)充滿信心，給人類以希望。鼓勵(lì)其進(jìn)一步斗爭(zhēng)，爭(zhēng)取更好的、更高尚的和更加美的生活?！盵24]模型思想的教學(xué)也應(yīng)立足于擔(dān)當(dāng)促進(jìn)人類進(jìn)步的使命，遵循教育教學(xué)規(guī)律，落實(shí)核心素養(yǎng)。在落實(shí)素養(yǎng)過程中要注重整體性、一致性、階段性。其中小學(xué)階段注重“模型意識(shí)”的培養(yǎng)，初中階段注重“模型觀念”的形成，高中階段注重“數(shù)學(xué)建?！蹦芰Φ呐囵B(yǎng)。而無論哪個(gè)學(xué)段，都應(yīng)明確：數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)需要教授模型知識(shí)與建模技能，但教學(xué)目標(biāo)絕不僅僅是為了掌握模型知識(shí)技能；我們還需要通過模型知識(shí)技能的傳授習(xí)得模型思考方法和策略，更需要在模型方法和策略的實(shí)踐中獲得創(chuàng)新創(chuàng)造的能力。最終，我們要能夠使學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，深植必需的數(shù)學(xué)模型思想，樹立科學(xué)理性精神，幫助學(xué)生發(fā)展成為人格完善的全面和諧發(fā)展的人。