鄭義富

(華南師范大學 教育科學學院， 廣東 廣州 510631)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》明確了數(shù)學課程培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的總目標，即“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”[1]?！叭龝敝饕獙鴶?shù)學基本思想中的抽象、推理與模型思想。史寧中先生認為，“數(shù)學”就是人類認識世界的一種媒介模型，數(shù)學模型是溝通數(shù)學與外部世界的橋梁[2]。而“模型思想”即體現(xiàn)了數(shù)學的眼光，又必然運用數(shù)學的思維，并且是用特征鮮明的數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界。可見模型思想的育人主旨與“三會”的育人目標有著高度一致性，學生“模型思想”的獲得與發(fā)展亦能夠充分彰顯以“三會”為總目標的核心素養(yǎng)的落實。

但是相比于“抽象思想”與“推理思想”，中小學教師對“模型思想”的認識理解與重視的程度并不理想。近年來國內外相關文獻中關于“模型思想”的探討也不如另二者豐富，“模型思想”的概念界定還不夠明晰，對在教學中落實“模型思想”育人目標的方法與策略的研究尚缺乏足夠的深度。本文希望通過對模型思想本質內涵及其育人價值的深入剖析，從而更為全面、更為深入地認識模型思想，落實數(shù)學核心素養(yǎng)育人目標。

一、模型思想的本質探析

(一)什么是模型

區(qū)別于生活中的按實物比例和結構模擬出的“模型”，在討論“數(shù)學模型”與“模型思想”時，“模型”應是一個“科學”用語。而作為科學詞匯的“模型”譯自法語modele，詞源為拉丁語modus——樣子，指某一客體(或客體系統(tǒng))的相對的形狀(形象、模式、描述等)，用來表達人關于實物的知道和這些實物之間的關系。有學者將“模型”直接作為一種“模式”來闡述，具體樣態(tài)可以是客觀實物的相似模擬(實物模式)，也可以是真實世界的數(shù)學描寫(數(shù)學模式)，還可以是思想觀念的文字表達(語義模式)、客觀現(xiàn)實的形象顯示(圖像模式)以及情感體驗的聲音抒發(fā)(音樂模式)等[3]。

筆者認為，“模型”從其生成過程來看，就是認識、反映、改造客觀世界的方法和途徑，而當這“方法和途徑”有了“邊界”，就有了范疇化的區(qū)別于它類的形式，并形成了自成體系的創(chuàng)生方式，于是就生成了“模型”。從“學科”角度來看，如同音樂、美術是用韻律或色彩反映人類聽覺、視覺感官之美的模型一樣，每一門學科就是一類模型，可以是數(shù)學意義上的模型，也可以是物理學意義上的模型，還可以是化學意義上的模型等。如給“模型”下個定義，那就是“人對客觀事物的性質、特征以及規(guī)律、關系的主觀反映所進行的抽象了的模擬再現(xiàn)或抽象化的表達形式”。模型的本質就是一種抽象的結果，所要經歷的應是由客觀實在到思維內在，由簡單模擬到復雜分析，由具體方法到一般思想的抽象過程。

(二)什么是“數(shù)學模型”

美國學者柯朗和羅賓給出的定義是：所謂數(shù)學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數(shù)學結構[4]。顧泠沅先生則認為，數(shù)學模型是數(shù)學抽象的結果，是對現(xiàn)實原型的概括反映或模擬，是一種符號模型。數(shù)學模型思想方法就是指通過數(shù)學模型來解決問題的一種思想方法[5]。史寧中教授認為，數(shù)學模型是指“用數(shù)學所創(chuàng)造出來的概念、原理和方法，來理解、描述和解決現(xiàn)實世界中的一類問題。這樣的一類問題往往蘊含著某種事物發(fā)生的規(guī)律性，或者說，蘊含著某種事物發(fā)展的必然性?！盵6]通俗地說，數(shù)學模型借用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事。數(shù)學模型描述的是規(guī)律性的、必然性的那些東西，是構建數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁[7]。孔凡哲給數(shù)學模型的定義是：“數(shù)學模型指根據問題實際和研究對象的特點，為了描述和研究客觀現(xiàn)象的運動變化規(guī)律，運用數(shù)學抽象、概括等方法而形成的，用以反映其內部因素之間的空間形式與數(shù)量關系的數(shù)學結構表達式，包括數(shù)學公式、邏輯準則、具體算法和數(shù)學概念。數(shù)學模型是數(shù)學抽象、概括的產物，其原型可以是具體對象及其性質、關系，也可以是數(shù)學對象及其性質、關系?！盵8]上述專家學者對數(shù)學模型的定義雖然切入點不同，但都指出了數(shù)學模型的一些基本特征。如數(shù)學化的語言、抽象概括的思考方法、指向事物規(guī)律和關系的研究、基于現(xiàn)實世界的問題、形成數(shù)學式的結構等。

為了有所區(qū)分，一般學者還會從廣義和狹義兩方面對數(shù)學模型做出解釋。如有學者認為：“從狹義上說，在高等數(shù)學中，我們可根據數(shù)學的不同分支來對數(shù)學模型進行分類。此時，數(shù)學模型可分為規(guī)劃模型、圖論、優(yōu)化模型、概率模型、常微分方程等。事實上，義務教育階段的數(shù)學模型很難以數(shù)學分支進行分類。從廣義上說，數(shù)、方程、空間幾何體都可以視為數(shù)學模型?！盵9]還有學者認為，廣義上說，數(shù)學中的許多重要概念(如方程、函數(shù)等)都可稱之為數(shù)學模型，正如張奠宙教授指出的，“加、減、乘、除”都有各自的現(xiàn)實原型，它們都是以各自相應的現(xiàn)實原型作為背景抽象出來的。狹義地說，只有反映特定問題和特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結構，方可以構成數(shù)學模型，而且這類數(shù)學模型大致可分為兩類：一類是描述客體必然現(xiàn)象的確定性模型，其數(shù)學工具一般是代數(shù)方程、微分方程、積分方程和差分方程等；另一類是描述客體或然現(xiàn)象的隨機性模型，其數(shù)學模型方法是科學研究與創(chuàng)新的重要方法之一。也就是說，按通行的、比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定具體事物系統(tǒng)和數(shù)學關系的結構，才叫作數(shù)學模型。模型是聯(lián)系現(xiàn)實世界與數(shù)學世界、數(shù)學與其他學科之間的一座必不可少的橋梁和紐帶[10]。

但筆者并不贊同將數(shù)學模型進行廣義與狹義的劃分，一方面這種劃分難以清楚劃定“界限”；另一方面，各種劃分也是不一而足，容易造成混淆，特別是不利于中小學教師對數(shù)學模型的認識與把握。但筆者贊同將數(shù)學模型對應于不同學段進行描述性定義。如史寧中教授認為，在小學階段，數(shù)學模型則是“根據已有的實際問題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型，即我們所說的數(shù)學模型是與實際問題緊密聯(lián)系的”[11]。

基于對“數(shù)學模型”相關文獻的學習，結合自身教學實踐中的思考，筆者認為，正如模型的本質就是一種抽象，數(shù)學模型的本質就應該是一種抽象的數(shù)學結構?！皵?shù)學模型”須是經歷數(shù)學的抽象、數(shù)學的推理、采用數(shù)學的符號，解決數(shù)學化了的問題。因此，“數(shù)學模型”也就是數(shù)學化的模擬再現(xiàn)或數(shù)學化的表達形式。所謂“數(shù)學化”，即采用數(shù)學特有的語言(數(shù)與符號、式與圖形等形式)，對數(shù)學視角的客觀世界(本質、特征、規(guī)律、關系等)，進行數(shù)學式的探究(通過直觀、抽象、推理或數(shù)量刻畫、數(shù)據分析等方法)，形成數(shù)學化的表達(抽象概念，數(shù)學定義、定理，關系式、圖式結構等)，從而解決相應的實際問題，并能便捷地運用到類似問題的解決中，且為數(shù)學本身的發(fā)展提供成果和動力。

(三)什么是模型思想

史寧中教授認為，模型思想是用數(shù)學的概念和原理描述現(xiàn)實世界過程中所依賴的那些思想[12]，即“能夠有意識地用數(shù)學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實世界中一類問題的那種思想”。掌握模型思想就是，把握現(xiàn)實世界中一類問題的本質與規(guī)律，用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題的本質與規(guī)律，用合適的數(shù)學符號表達問題的本質與規(guī)律，最后得到刻畫一類事物的數(shù)學模型。簡而言之，模型思想就是用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事；數(shù)學模型構建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，借助數(shù)學模型使數(shù)學回歸于現(xiàn)實世界[13]。

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中明確要求“要使學生初步形成模型思想”，并指出：“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑”[14]。新修訂的《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》[15]中，則以“三會”的表述形式揭示“數(shù)學思想”的重要意義和價值，并根據不同學段分別作以表述。模型思想落在小學階段的任務與表現(xiàn)即為“模型意識”，初中階段則為“模型觀念”，高中階段就是“建模能力”?！胺侄伪硎觥背浞煮w現(xiàn)出核心素養(yǎng)導向下學生模型思想的獲得與發(fā)展的一致性、階段性與整體性。

筆者認為，模型思想雖立足于“模型”，但側重在“思想”，“數(shù)學的模型”是“殼”，“模型的思想”才是“靈魂”。因此，筆者所理解的模型思想，應是能動地運用或創(chuàng)造“模型”去探究客觀世界并解決實際問題的意識、觀念與能力的綜合性的主觀體現(xiàn)。所運用或創(chuàng)造的“模型”并不局限于數(shù)學模型，但作為抽象化反映客觀現(xiàn)實世界的“數(shù)學模型”顯然是最能完美刻畫對象且廣受人們青睞的“模型”。“模型思想”作為思想的薈萃，不可能局限于一種形態(tài)，它既是一種觀察、認識、反映并改造客觀世界的方法和手段，也是經由這種方法和手段認識并改造客觀世界的最終成果；既是數(shù)學學科大廈建構賴以支撐的思想根基，也是學生數(shù)學學習所必需的知識和能力；既是解決數(shù)學問題的成功手段與參考案例，又是解決現(xiàn)實生活問題的科學且高效的不二法門；既是教師教學中所秉持的育人理念，也是學生核心素養(yǎng)的主要體現(xiàn)。其所彰顯的特性，是知識性的，更是思想性的；是應用性的，更是創(chuàng)造性的；是歷史性的，更是面向未來的！

二、模型思想的教育價值

每一處數(shù)學知識的教學其實都是對一種“模型”的探究與感悟。“模型思想”在中小學具有極其重要的育人價值和深遠教育意義。

(一)堅定落實立德樹人根本任務

新修訂的《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》所遵循的課程理念是：“以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，落實立德樹人根本任務?！蹦Ｐ退枷敕椒ǖ慕虒W要落實立德樹人根本任務必須要讓教育過程呈現(xiàn)出勃勃生機，要能在對模型思想本質探究以及知識論、方法論、認識論等多種視角全面辨析的基礎上深入扎實開展教育教學活動，力求能在學生的心中播下“創(chuàng)新精神、應用精神、理性精神”的種子，培育學生樹立起面向未來的人生觀、價值觀，為探索未來世界積蓄力量。

(二)形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》明確提出：“數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應當具備的基本素養(yǎng)?！绷x務教育階段數(shù)學新課標將課程總目標定位為落實核心素養(yǎng)導向的“三會”。史寧中教授認為，在數(shù)學的教學中，讓學生了解數(shù)學模型特別是了解數(shù)學模型的形成過程是非常重要的，因為在這個過程中，可以讓學生體會如何通過數(shù)學的“眼睛”來觀察和分析現(xiàn)實世界中的一些事情，利用數(shù)學的“語言”來描述和分析這些事情[16]。而且模型構造的過程也必然經歷了“用數(shù)學的思維思考”。由此可見，模型思想的教學能夠也必然要肩負著落實“三會”的數(shù)學核心素養(yǎng)培育的重任。正如曹培英所指出：“數(shù)學基本思想承載了獨特的、鮮明的學科育人價值，可教、可學，是名副其實的學科核心素養(yǎng)?！盵17]

(三)培育面向未來的數(shù)學能力

很難想象人類社會發(fā)展史上如果缺少“數(shù)學”這一主要推動力量會是怎樣，科學家考特(N.A.Court)這樣贊譽數(shù)學的貢獻，“數(shù)學是人類智慧王冠上的明珠”[18]。縱觀數(shù)學發(fā)展史、科技發(fā)展史都可以充分地說明這一點。進入21世紀，數(shù)學新思潮更是不斷涌現(xiàn)。數(shù)學思想方法幾乎滲透到社會生活的方方面面，文化、教育、醫(yī)療，甚至飲食與天氣等無不有數(shù)學工具的應用在發(fā)揮著關鍵作用。金融、互聯(lián)網、大數(shù)據、人工智能、航空航天等領域中的復雜模型系統(tǒng)和全新建模分析更是俯拾皆是。正如數(shù)學家布克(R.C.Buck)所指出的，“模型是所有數(shù)學應用的心臟，也是某些最抽象的純數(shù)學的核心”[19]。

數(shù)學漫長的發(fā)展歷程結出了難以想象的豐厚的智慧成果，但是，今天的數(shù)學教育決不能只是面向數(shù)學過去的輝煌，只是竭盡全力地要學習掌握前人的思想成果，這既辦不到也沒必要。當然也不能僅僅面向當下，一味地“走進生活去應用”，卻忘記了數(shù)學的高貴之處來自其“脫離”生活表面現(xiàn)象的“抽象”的魅力。數(shù)學，數(shù)學人，數(shù)學教育必須旗幟鮮明地面向未來?！拔覀儽仨毩粜臄?shù)學明日會是什么，數(shù)學對未來的滲透力不僅具有廣度，而且具有深度。科學和技術的巨大發(fā)展主要的是由于數(shù)學的當下的發(fā)展。”[20]而面向未來的數(shù)學教育要擔起“立德樹人”、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的根本任務，也要當仁不讓地擔負起培養(yǎng)學生面向未來的關鍵能力。“模型思想”教學則在培養(yǎng)學生“直觀洞察能力、發(fā)散想象能力、猜想驗證能力、抽象推理能力、綜合應用能力”等方面具備得天獨厚的優(yōu)勢。

1.直觀洞察能力?！皵?shù)學模型”絕不會憑空而現(xiàn)，它一定是基于人對生活的有意識有方法的、全面的觀察與深入的理解。引導學生“發(fā)現(xiàn)問題與提出問題”就是在培養(yǎng)學生直觀洞察能力，促進學生洞察事物本質、抓住事物間主要關系的思維發(fā)展，學會用數(shù)學的眼光觀察世界。

2.發(fā)散想象能力。無論是生活中觀察到的“現(xiàn)象”，或是人類自身創(chuàng)造的“情境”，都不會是簡單的“表面”現(xiàn)象所能涵蓋，它們有著太多豐富的隱含“密碼”，需要我們自由大膽地想象，并盡可能地將思維廣度與深度進行“發(fā)散”，在充分的想象與發(fā)散的過程中抓住那一閃即逝的“靈感和直覺”，獲得打開智慧大門的鑰匙。

3.猜想驗證能力。沒有猜想就沒有一切，沒有驗證就沒有真實的一切。數(shù)學家說，“讓我們教猜想吧”。前文“提出問題、問題具化”的模型構造環(huán)節(jié)就是指向“猜想”。只有產生“猜想和假設”才算開啟“模型構造”的真正歷程。盡管這些“猜想和假設”大部分沒有開花結果，但“猜想”本身已是彌足珍貴。試問有哪一個偉大的數(shù)學思想不是由看似不起眼的“猜想”的種子奮力生長而至成為枝繁葉茂的思想大樹？在這奮力成長的過程中，必然缺少不了不斷地“檢驗與修正”，正是這一次次地驗證和不斷地調整，才能為“真理”的生成保駕護航。

4.抽象推理能力。模型在本質上就是抽象。模型構造的過程中，抽象模擬、一一對應、分類列舉、數(shù)量刻畫、多元表征都是抽象思考的具體體現(xiàn)。沒有抽象，生活只是生活；有了抽象，生活現(xiàn)象就得到了數(shù)學的升華。推理是進一步的抽象，是抽象的組合與關聯(lián)。模型構造中問題的提出、關系的分析、規(guī)律的探究、邏輯的驗證都是推理的過程。沒有推理，猜想只是猜想，問題依然是問題。有了推理，猜想就有了驗證的途徑，問題就有了解決的辦法。模型是更深入的抽象，也是模式化的推理，抽象和推理如果不以模型做成果，還有什么可讓其充滿“生命力”呢？數(shù)學模型蘊含著抽象與推理所彰顯的數(shù)學理性，更詮釋真善美的追求的統(tǒng)一。模型思想的教學，就是在潤物細無聲地培育著學生抽象與推理的能力。

5.綜合應用能力?！熬C合”是模型思想的重要特征之一，無論是其形成階段或是應用階段，都充分體現(xiàn)了廣泛的綜合性。而現(xiàn)實“應用”則是模型思想的使命和歸宿。史寧中教授指出，數(shù)學模型的價值取向不是數(shù)學本身，而是描述現(xiàn)實世界所期待的作用。數(shù)學模型是借用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事[21]。數(shù)學模型廣泛應用于科學研究和社會生活各個領域。模型方法是集理論研究、自然研究、社會研究各種領域的綜合性的研究方法。顧泠沅與邵光華等學者指出：“通過數(shù)學模型方法的學習能夠促進學生了解數(shù)學與其他學科及日常生活的相互聯(lián)系，深刻領悟數(shù)學的應用價值，培養(yǎng)數(shù)學應用意識和能力；激發(fā)學習興趣，形成良好情感態(tài)度以及全面的數(shù)學價值觀?！盵22]

6.創(chuàng)新創(chuàng)造能力。有研究者認為：“數(shù)學模型就是在數(shù)學的幫助下解決復雜而現(xiàn)實的問題”[23]。而“復雜”問題的解決方法和途徑往往是創(chuàng)新的思想和創(chuàng)造的手段。創(chuàng)新創(chuàng)造能力是不折不扣的面向未來的能力，更是改造世界推進人類發(fā)展的最關鍵的動力。模型思想的教學雖然少不了要學習前人的數(shù)學模型成果，但其根本宗旨卻一定不是為了向這些已有的“成果”膜拜，而是學習并積蓄創(chuàng)建新思路、創(chuàng)造新模型的強大力量。也正因此，筆者特別強調在數(shù)學教學中尤其要注重模型建構“前”的“創(chuàng)生”的過程。相比完美的模型“成品”，模型構建前的思考和工作更有價值。要讓學生清楚，解決問題不是宗旨，試圖能夠找到讓別人也能夠解決同類問題的通用的方法才有價值，如果在解決問題時創(chuàng)造出新的思路、方法、模型，那價值必然更高，而在探索的歷程中培育了創(chuàng)新意識、樹立了創(chuàng)新思想、扎根了創(chuàng)新精神則最為可貴！

數(shù)學家考特說：“數(shù)學不但給了人類以利用自然的技術工具，不僅提供了一個偉大的、無與倫比的、充滿了智慧美與享受的寶庫，而且它還使人類對其自身及其命運充滿信心，給人類以希望。鼓勵其進一步斗爭，爭取更好的、更高尚的和更加美的生活?！盵24]模型思想的教學也應立足于擔當促進人類進步的使命，遵循教育教學規(guī)律，落實核心素養(yǎng)。在落實素養(yǎng)過程中要注重整體性、一致性、階段性。其中小學階段注重“模型意識”的培養(yǎng)，初中階段注重“模型觀念”的形成，高中階段注重“數(shù)學建?！蹦芰Φ呐囵B(yǎng)。而無論哪個學段，都應明確：數(shù)學模型思想的教學需要教授模型知識與建模技能，但教學目標絕不僅僅是為了掌握模型知識技能；我們還需要通過模型知識技能的傳授習得模型思考方法和策略，更需要在模型方法和策略的實踐中獲得創(chuàng)新創(chuàng)造的能力。最終，我們要能夠使學生獲得良好的數(shù)學核心素養(yǎng)，深植必需的數(shù)學模型思想，樹立科學理性精神，幫助學生發(fā)展成為人格完善的全面和諧發(fā)展的人。