孫朝仁 朱桂鳳

美國數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)實驗是以“做數(shù)學(xué)”為支架的一種教與學(xué)的方式，而基于思維支持的數(shù)學(xué)實驗，則可以將“做”與“思考”深度融合，有助于學(xué)生學(xué)深、學(xué)透、學(xué)好數(shù)學(xué)。

本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第7 章“探索直線平行的條件”第1課時的微型數(shù)學(xué)實驗教學(xué)為例，利用直觀思維、證據(jù)思維和變異思維，讓學(xué)生在拼圖、量圖、說圖的過程中發(fā)展數(shù)形抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模能力。

一、拼圖：通過直觀思維發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力

直觀思維就是不經(jīng)過逐步分析，而迅速對問題的答案作出合理的猜測或設(shè)想的一種躍進(jìn)性思維。具體地說，直觀思維包括拼圖直觀、畫圖直觀、變換直觀等思維行為方式，讓學(xué)生在拼、畫、變換中進(jìn)行知覺概括、知覺登記和知覺抽象，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象意識。其中，“剪、拼、畫”是直觀思維的表現(xiàn)形式，也是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力的重要載體。數(shù)學(xué)實驗過程中的操作、思考、運(yùn)用、審美的過程，從某種意義上來說，正是“數(shù)學(xué)抽象”的過程。［1］

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中設(shè)置了《數(shù)學(xué)實驗室》《數(shù)學(xué)活動》《課題學(xué)習(xí)》《研究性學(xué)習(xí)》等特色欄目，其中安排了大量的拼圖問題。這些都是直觀思維運(yùn)行的有效載體，將數(shù)學(xué)實驗中的“做”與“思考”有機(jī)融合，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，而且在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

從具身學(xué)習(xí)理論來說，“拼圖”本身就是一種知覺學(xué)習(xí)，有助于感性經(jīng)驗的獲得，能促進(jìn)直觀思維的發(fā)展，并助推“感性經(jīng)驗”上升為“理性思維”，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展。一般來說，在義務(wù)教育階段，學(xué)生的抽象思維尚未成熟，知識的獲得需要借助直觀形象的轉(zhuǎn)化。這個階段學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力主要是通過知覺學(xué)習(xí)的方式來獲得的，而直觀思維的運(yùn)行可以幫助學(xué)生有效樹立求實、求證、求是的意識。生活情境的鋪設(shè)、用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界以及動手“做”數(shù)學(xué)，都是基于學(xué)生的已有經(jīng)驗，讓學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。為此，基于直觀思維支持的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)需要做好三個方面的工作：一是讓學(xué)生在操作中認(rèn)識概念，促進(jìn)“具體”向“抽象”轉(zhuǎn)化；二是讓學(xué)生在觀察中抽象表征，促進(jìn)“經(jīng)驗”向“方法”轉(zhuǎn)化；三是讓學(xué)生在思考中獲得概念理解，促進(jìn)“概念”向“運(yùn)用”轉(zhuǎn)化。

以“探索直線平行的條件”概念的起始教學(xué)環(huán)節(jié)為例，教師可以讓學(xué)生在直觀思維的引導(dǎo)下，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，進(jìn)而培養(yǎng)其拼圖意識。具體實施過程如下。

首先，讓學(xué)生調(diào)用EN5（希沃白板）信息資源“尺規(guī)命令”，用4個直角三角板拼成一個大三角形。（見圖1）

其次，讓學(xué)生在拼圖的過程中感知“如果同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩條直線平行”的存在性事實。

（圖1）

最后，讓學(xué)生在觀察、概括、反問、反思的基礎(chǔ)上，畫出“a、b兩條直線被第三條直線c所截”的狀態(tài)圖。（見圖2、圖3）

（圖2）

（圖3）

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生深入探究下列兩個問題：（1）指出圖2、圖3 中的同位角，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）∠2 與∠3，∠2 與∠4 是同位角嗎？它們分別有怎樣的位置特征？

圖1體現(xiàn)的是信息技術(shù)支持下的直觀思維，這種源于課本但高于教材的教學(xué)設(shè)計，是學(xué)生理解概念本源的支持條件。如果說拼圖是一種直觀思維，那么拼圖的過程就是從具體到抽象的過程；如果說拼圖活動是一種落筆有據(jù)的直觀活動，那么畫出圖2和圖3就是對圖形的抽象與分類思想的復(fù)合運(yùn)用，有助于概念對象的獲得；如果說“拼圖—分析”是一種數(shù)學(xué)抽象，那么對概念對象、基本事實的描述就是一種“落筆有據(jù)”。

二、量圖：通過證據(jù)思維發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力

證據(jù)思維的概念源于法律領(lǐng)域，它不僅貫穿證據(jù)收集、固定、審查、運(yùn)用、認(rèn)定等每一個環(huán)節(jié)，在每個階段還有其獨(dú)立的呈現(xiàn)方式。應(yīng)用于教育領(lǐng)域中，證據(jù)思維是一種求是、求證的復(fù)合思維，為問題解決提供思考路徑，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展。從數(shù)學(xué)的角度來說，證據(jù)思維是一種事實思維、合情思維，是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的支持條件。具體地說，證據(jù)思維有助于學(xué)生將“是什么”轉(zhuǎn)化為“為什么”，有助于學(xué)生“落筆有據(jù)”能力的發(fā)展，是以測量數(shù)學(xué)、觀察數(shù)學(xué)、猜想數(shù)學(xué)、驗證數(shù)學(xué)為支架的證實、證偽方式，具有不可替代性。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的觀察、畫圖、估測、度量、猜想、驗證以及算圖、發(fā)現(xiàn)、變式等，都是證據(jù)思維的常見表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，證據(jù)思維往往表現(xiàn)為量圖算理，其意義至少涵蓋以下兩個方面：一方面是指通過度量的方式獲得落筆有據(jù)的數(shù)據(jù)；另一方面是指基于算理進(jìn)行合情推理，將合情推理上升為演繹推理，促進(jìn)落筆有據(jù)意識的形成。這就要求教師關(guān)注教材的統(tǒng)整設(shè)計與優(yōu)化使用，促使學(xué)生進(jìn)行動腦和變式。為此，教師應(yīng)精心設(shè)計教學(xué)，“增強(qiáng)課程連貫性、優(yōu)化教材使用、變式教學(xué)、開發(fā)‘動腦筋’欄目、發(fā)展學(xué)生對數(shù)字事實的熟練程度”［2］。

以“探索直線平行的條件”概念形成的教學(xué)環(huán)節(jié)為例，教師應(yīng)通過證據(jù)思維，在“目標(biāo)——動作機(jī)制”的作用下，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的進(jìn)一步發(fā)展。具體實驗操作過程如下。

首先，讓學(xué)生在操作圖4的基礎(chǔ)上，思考以下問題：（1）如圖4，∠1、∠2、∠3有怎樣的數(shù)量關(guān)系？∠4、∠5、∠6呢？（2）直線a、b、c有怎樣的位置關(guān)系？

其次，追問以下問題：（1）在圖5中，∠1=∠C、∠2=∠C，指出圖中的平行直線，并說明理由；（2）圖5中哪些角相等可得AB//CD？為什么？

（圖4）

（圖5）

最后，讓學(xué)生分析研究圖4 與圖5 的關(guān)系，實現(xiàn)概念回歸，揭示變式教學(xué)、優(yōu)化教材以及解決問題的關(guān)系，使學(xué)生的理解從“工具性理解”上升到“關(guān)系性理解”，提高學(xué)生“言之成理，落筆有據(jù)”的能力。

這樣的教學(xué)設(shè)計，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷直觀“量圖”的過程，理解“基本事實”的客觀存在性，體驗“測量、驗證”（求是、求證）的數(shù)學(xué)價值。圖4的設(shè)計與操作是一種生動的證據(jù)思維（回歸學(xué)生的知覺認(rèn)知水平）的過程，改編課本基本問題，使“封閉型思維”轉(zhuǎn)化為“半開放思維”，為落筆有據(jù)提供思考空間。圖5 的變式改編則是一種落筆有據(jù)的抽象，其中，問題（1）是一種“量圖”（考量概念的使用）的過程，問題（2）則強(qiáng)化落筆有據(jù)意識，為發(fā)展學(xué)生的分析思維和推理能力作鋪墊。

三、說圖：通過變異思維發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力

變異思維是指以原實物、原現(xiàn)象或原狀態(tài)等存在方式的觸媒作為靈感引發(fā)的外部誘因，通過變化模仿的方式，經(jīng)過對各種信息與知識的匹配、重組、變換，創(chuàng)造出有價值的新事物的思維操作方式，是偏離已經(jīng)存在的事物的形態(tài)、結(jié)構(gòu)、功能等方面的思維方式。換言之，變異思維是比數(shù)學(xué)思維更為“強(qiáng)勁”的理性思維，帶有強(qiáng)烈的變量特征和變化屬性，是將感性的“做”變?yōu)槔硇缘摹罢f”的思維“催化劑”，是將“數(shù)學(xué)地看”“數(shù)學(xué)地說”變?yōu)閿?shù)學(xué)建模的思維“橋梁”。

“說圖”能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，尤其是落筆有據(jù)的表達(dá)水平，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)實驗的范疇，“說圖”就是對照圖形分析提取信息，以及將未知轉(zhuǎn)化為已知的條件及其條件體系。一般情況下，“說圖”至少涵蓋以下兩個方面的問題：一是分析圖形，將未知轉(zhuǎn)化為已知，為言之成理、落筆有據(jù)鋪設(shè)思維基礎(chǔ)；二是通過“無序地說—有序地說”構(gòu)造一類數(shù)學(xué)模型，如基本事實“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”。在說圖過程中，需要做好三個方面的工作：一是抓住題干信息，提取已知信息，確定條件關(guān)系；二是挖掘未知信息以及圖形隱含條件，明確待證結(jié)論以及使得結(jié)論成立的隱含條件；三是注重推理過程，旨在強(qiáng)化學(xué)生“言之成理，落筆有據(jù)”的意識。

以“探索直線平行的條件”概念的關(guān)聯(lián)教學(xué)環(huán)節(jié)為例，利用變異思維，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)建模走向深刻。具體實施過程如下。

首先，呈現(xiàn)圖6，讓學(xué)生在系統(tǒng)概念圖的基礎(chǔ)上把握概念的本質(zhì)。具體實驗序列組塊：（1）圖6 中∠1 與∠C、∠2 與∠D、∠3 與∠D分別是哪兩條直線被哪一條直線截成的同位角？（2）∠1與∠2、∠3與∠4呢？讓學(xué)生在辨別的基礎(chǔ)上，對概念理解走向深刻，落實關(guān)系性理解。

其次，呈現(xiàn)圖7。已知∠AOE=130°，∠C=50°。AB與CD平行嗎？為什么？讓學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面把握直線平行的條件。

（圖6）

（圖7）

最后，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，從不同角度、不同層面進(jìn)行思考，強(qiáng)化數(shù)學(xué)實驗的關(guān)聯(lián)功能以及分類、轉(zhuǎn)化、遷移等形而上的思想方法。

這樣的教學(xué)有助于學(xué)生在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變化中揭示數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，理解概念是什么、為什么和怎么樣的內(nèi)部關(guān)系的一致性。也就是說，落筆有據(jù)本身就是一種深層次的變異思維，是數(shù)學(xué)實驗從“感性思維”變?yōu)椤袄硇运季S”的驅(qū)動器，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗的育人功能。

微型數(shù)學(xué)實驗課意味著“少而精”?！吧佟笔呛臅r少、內(nèi)容少、無效勞動少；“精”是聚焦重點、突破難點。同時，微型數(shù)學(xué)實驗課屬于“在實踐中和向?qū)嵺`學(xué)習(xí)”（learning in and from practice）的輔助課，是基于直觀思維、證據(jù)思維、變異思維支持的教學(xué)探究課，有助于學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造。