文 /沈瑾瑜

引 言

概念教學(xué)的核心是概括，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維打開(kāi)，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析各事物的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念[1]。因此，概念教學(xué)必須以學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)為生長(zhǎng)點(diǎn)，以學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)為依托，把學(xué)生帶入問(wèn)題中，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。下面，筆者以“公頃的認(rèn)識(shí)”一課為例，談?wù)剬?duì)概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考。

一、在遷移中感受

概念教學(xué)不僅是對(duì)概念本身的闡述與解釋，還是讓學(xué)生參與新知的發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程；不僅是知識(shí)再現(xiàn)的過(guò)程，還是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過(guò)程；不僅是對(duì)概念的記憶和理解，還是通過(guò)遷移運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)，最終以個(gè)體生成為落足點(diǎn)。概念教學(xué)更關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)與情感，強(qiáng)調(diào)學(xué)生知識(shí)的自主建構(gòu)。

在“公頃的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)中，建立公頃的概念是重中之重、難中之難。公頃是一個(gè)較大的土地面積單位，是對(duì)平方米這一面積單位的拓展延伸。之所以這樣說(shuō)，是因?yàn)閷?duì)于學(xué)生而言，公頃在日常生活中并不常見(jiàn)；而對(duì)于教師而言，很難找到或者制作出面積正好是1公頃的教具或?qū)W具。這與之前對(duì)較小面積單位的學(xué)習(xí)形成了鮮明的對(duì)比，學(xué)生不能通過(guò)視覺(jué)直接感受1公頃的大小，就很難建立起正確的表象。由此可見(jiàn)，要在學(xué)生頭腦中建立起公頃這種大面積單位的空間觀念，無(wú)論從教師教還是學(xué)生學(xué)的角度來(lái)看，都具有一定的難度。因此，教師不能僅從感官層面去教學(xué)，而應(yīng)從思維層面深入教學(xué)，以學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)為切入口，讓學(xué)生通過(guò)類比與思考理解公頃這一概念。

在之前的教學(xué)中，教材借助正方形這一平面圖形，把面積與邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)起來(lái)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)了一些較小的面積單位，搭建起長(zhǎng)度單位與面積單位的橋梁，聯(lián)結(jié)起一維圖形與二維圖形之間的關(guān)系?；趯W(xué)生學(xué)習(xí)面積單位的經(jīng)驗(yàn)，教師可以從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)入手，把以往的學(xué)習(xí)方法遷移過(guò)來(lái)，借助正方形強(qiáng)化學(xué)生對(duì)面積單位的認(rèn)識(shí)。

在實(shí)際教學(xué)中，教師可以通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)的面積單位，引導(dǎo)其將面積單位按照大小順序進(jìn)行排列，幫助學(xué)生鞏固腦海中對(duì)面積單位的表象認(rèn)識(shí)，為之后學(xué)習(xí)新面積單位做遷移準(zhǔn)備。教師可以通過(guò)展示鳥(niǎo)巢、故宮、天安門(mén)廣場(chǎng)等圖片，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生意識(shí)到測(cè)量這些名勝古跡的面積，用已學(xué)的面積單位并不合適，讓學(xué)生產(chǎn)生了解新面積單位的需求，從而切入新課。比平方米更大的面積單位會(huì)讓學(xué)生不由自主地聯(lián)想到更大的正方形，所以教師可以長(zhǎng)度單位和面積單位的聯(lián)系為切入點(diǎn)，讓學(xué)生猜一猜正方形的邊長(zhǎng)可能是多少及面積單位會(huì)是什么，隨后告訴學(xué)生：“邊長(zhǎng)為100米的正方形的面積是1公頃?！?/p>

在“公頃的認(rèn)識(shí)”一課中，教材側(cè)重對(duì)概念的講解。在實(shí)際教學(xué)中，教師要緊扣學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與延伸點(diǎn)，借助知識(shí)的遷移規(guī)律，用聯(lián)系的觀點(diǎn)把抽象的數(shù)學(xué)概念與具象的圖形大小對(duì)應(yīng)起來(lái)，把長(zhǎng)度單位與面積單位有機(jī)統(tǒng)一，把知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從思想與方法的角度審視概念教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。

二、在體驗(yàn)中感知

概念是思維加工的最終成果，它能抽象地反映客觀存在的本質(zhì)特征。而感知體驗(yàn)突出了個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)注，借助個(gè)人的感官和思辨獲取知識(shí)，不只停留于書(shū)面上的理論和他人的經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以提供典型而豐富的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、推理、概括、對(duì)比等方法，感知概念在現(xiàn)實(shí)生活中的多元表征，體會(huì)概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)一步建立對(duì)概念的深層認(rèn)識(shí)。

“公頃的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)概念課，是一種有意義的接受性學(xué)習(xí)，同時(shí)又具有探索性質(zhì)。這節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)1公頃到底有多大。僅憑借幾個(gè)數(shù)據(jù)或教師的言語(yǔ)描述，學(xué)生只能淺顯地體會(huì)到公頃是個(gè)很大的單位，但是對(duì)公頃到底有多大、可以用什么實(shí)物進(jìn)行類比，認(rèn)識(shí)是十分模糊的。因此，要想讓學(xué)生建立比較具體的面積概念，教師就要聯(lián)系生活實(shí)際設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在一次次的比較、估計(jì)和想象中切身體驗(yàn)1公頃到底有多大。當(dāng)然，這些活動(dòng)必須圍繞公頃的概念，緊扣面積與對(duì)應(yīng)正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系展開(kāi)，讓學(xué)生估計(jì)面積的大小并將其與1公頃比較，在多次反復(fù)的探究中加深對(duì)1公頃大小的認(rèn)識(shí)，建立1公頃的正確表象，提升空間觀念，激發(fā)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的熱情和積極性。

公頃不像其他較小的面積單位可以用具體的物品來(lái)感知，因此學(xué)生對(duì)1公頃的感知要擺脫直接測(cè)量與感官上的限制，要聯(lián)系操場(chǎng)、校園等場(chǎng)地，通過(guò)與已知的面積單位對(duì)比，多角度地進(jìn)行感知。以下四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)可以逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此概念的理解。

（1）體驗(yàn)公頃。在課前，教師可以借助學(xué)校場(chǎng)地，讓學(xué)生手拉手圍成一個(gè)正方形（每邊大約10人），討論并估算這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積，然后通過(guò)實(shí)際測(cè)量驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生思考：多少個(gè)這樣的正方形的面積和大約是1公頃？通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的比較與估算，學(xué)生可以體會(huì)到每邊擺放10個(gè)這樣的正方形，即邊長(zhǎng)是100米的正方形的面積就是1公頃。借助圍正方形，學(xué)生想象“邊長(zhǎng)10米，面積是100平方米的正方形土地”有多大，繼而再想象“邊長(zhǎng)為100米，面積是10000平方米的正方形土地”有多大。這樣的教學(xué)過(guò)程把實(shí)際操作與書(shū)本知識(shí)緊密聯(lián)系起來(lái)，能夠幫助學(xué)生在實(shí)踐與理論之間架起橋梁，在圖形與概念之間建立聯(lián)系，在對(duì)比與估計(jì)中相互驗(yàn)證，使學(xué)生創(chuàng)造性地進(jìn)行空間想象和空間估計(jì)，自主形成正確的概念表象和空間記憶。

（2）實(shí)例感知。為了進(jìn)一步鞏固“公頃”這一概念，教師可以利用學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)地，如教室、操場(chǎng)、學(xué)校等，讓學(xué)生通過(guò)測(cè)量計(jì)算、查閱圖紙，明確其實(shí)際的面積大小，并與1公頃進(jìn)行對(duì)比，然后讓學(xué)生描述多少個(gè)這樣的場(chǎng)地面積和是1公頃，或這樣的場(chǎng)地面積大約是幾公頃。這樣做的目的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)將公頃與其他面積單位進(jìn)行對(duì)比，確定公頃在諸多面積單位序列中的位置，建構(gòu)公頃這一面積單位的表象，從而幫助學(xué)生在數(shù)理層面上將公頃與平方米建立聯(lián)系。

（3）嘗試轉(zhuǎn)換。完成上述教學(xué)活動(dòng)后，教師可以回過(guò)頭來(lái)看示例問(wèn)題，讓學(xué)生在選擇合適的面積單位后，嘗試比較四個(gè)景區(qū)面積大小。結(jié)合具體情況和數(shù)值，學(xué)生會(huì)選擇合適的單位，擺脫視覺(jué)感官的桎梏，合理想象并估計(jì)面積的大小，整體認(rèn)識(shí)面積單位體系中的大小位次和彼此間的聯(lián)系。通過(guò)單位轉(zhuǎn)換，學(xué)生能將新知識(shí)與舊知識(shí)建立聯(lián)系，進(jìn)一步感受到1公頃的實(shí)際大小。

（4）找尋公頃。教師可以通過(guò)展示并計(jì)算不同形狀圖形的面積，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)不管是什么平面圖形，只要面積是10000平方米，就可以說(shuō)它的面積是1公頃。換句話說(shuō)，1公頃不是簡(jiǎn)單地被描述成邊長(zhǎng)為100米的正方形的面積，它不局限于某種固定的圖形形狀，本質(zhì)上反映的是圖形面積的大小。隨后，教師可以讓學(xué)生回顧和估算生活中以公頃為單位的占地面積，進(jìn)一步將數(shù)學(xué)抽象概念與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，加深學(xué)生的認(rèn)知。

教學(xué)不僅僅是“告知”，還是對(duì)知識(shí)的探究、創(chuàng)造與再認(rèn)識(shí)，更是對(duì)數(shù)學(xué)方法的喚醒、思考與高度總結(jié)。這一系列課堂活動(dòng)都是在具體的生活情境中展開(kāi)的，可以說(shuō)，不同的數(shù)學(xué)情境催化了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)知識(shí)內(nèi)化的過(guò)程，學(xué)生要不斷剝離具體的生活背景，擺脫感觀的局限，尋找知識(shí)之間的相關(guān)性，從多角度認(rèn)識(shí)概念，從全方位感知概念。對(duì)于“公頃”概念的學(xué)習(xí)，就是把“數(shù)”和“形”有機(jī)結(jié)合，把長(zhǎng)度單位與面積單位有機(jī)整合，把知識(shí)點(diǎn)串成線、連成片、織成網(wǎng)，不斷重構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷延伸認(rèn)知邊界。

三、在應(yīng)用中感悟

生活可以抽象出概念，概念也需要在生活中活化。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的抽象知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的具體問(wèn)題，是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的。數(shù)學(xué)概念是從生活實(shí)際中凝練出的抽象表達(dá)，因此在教學(xué)中教師必須聯(lián)系生活講數(shù)學(xué)，把生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化，把數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化。另一方面，概念并不僅僅是書(shū)本上的幾個(gè)關(guān)鍵字詞，實(shí)際生活中的問(wèn)題常常賦予了概念多樣的“外衣”，但是這些問(wèn)題的本質(zhì)就是某一知識(shí)點(diǎn)。因此，生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化是必不可少的，這一方面可以鞏固學(xué)生對(duì)概念的理解，另一方面可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)概念的掌握程度。

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師可以設(shè)計(jì)分層作業(yè)，通過(guò)基礎(chǔ)聯(lián)系、變式練習(xí)、綜合練習(xí)等方式，循序漸進(jìn)，不斷加深學(xué)習(xí)難度，使概念的表象在學(xué)生頭腦中不斷明晰，讓學(xué)生將其與以往所學(xué)的知識(shí)相比較，發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系，將知識(shí)點(diǎn)連成線、串成面、織成網(wǎng)，內(nèi)化為自己的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。

在“公頃的認(rèn)識(shí)”一課中，教材采用基礎(chǔ)練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)?；A(chǔ)練習(xí)往往注重對(duì)知識(shí)的直接運(yùn)用。在基礎(chǔ)練習(xí)中，學(xué)生會(huì)利用對(duì)所學(xué)面積單位建立的表象，對(duì)具體情境進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的判斷，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)字化”的表達(dá)。

變式練習(xí)注重知識(shí)點(diǎn)的多元表征。在不同類型的問(wèn)題中，知識(shí)點(diǎn)往往有著不同的表現(xiàn)形式，教師需要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。例如，探究公頃與平方米之間的關(guān)系，學(xué)生可以從概念入手，計(jì)算正方形的面積，由此自然而然地推算出1公頃=100×100=10000平方米，進(jìn)一步驗(yàn)證正方形邊長(zhǎng)比與面積比之間的關(guān)系。在單位換算時(shí)，教師可以讓學(xué)生用簡(jiǎn)短的語(yǔ)言總結(jié)出轉(zhuǎn)換方法，就是多寫(xiě)或少寫(xiě)幾個(gè)0或小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)幾位……教師借助變式練習(xí)，可以提高學(xué)生對(duì)概念的掌握程度。

綜合練習(xí)是對(duì)所學(xué)知識(shí)的全面考查。通過(guò)練習(xí)，學(xué)生可以對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，提高解題能力。例如，一個(gè)面積為1公頃的正方形苗圃，邊長(zhǎng)各加長(zhǎng)100米，面積增加多少公頃？可能有學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為增加了100×100=10000平方米=1公頃。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖來(lái)讓題目中的條件和問(wèn)題變得更加直觀。通過(guò)觀察可知，增加的部分是個(gè)不規(guī)則圖形，學(xué)生可將其分割成幾個(gè)部分，分別計(jì)算出各部分的面積，再求和計(jì)算出增加的面積即可；也可以用現(xiàn)在正方形的面積減去原來(lái)正方形的面積計(jì)算出增加的面積；還可以通過(guò)邊長(zhǎng)比與面積比的關(guān)系算出增加的面積。無(wú)論采用哪種做法，學(xué)生都必須先推理出原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為100米。教師可以通過(guò)展示不同的解法，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，使其在鞏固“公頃”概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)散思維，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活與巧妙。

數(shù)學(xué)的生命力在于回歸生活的實(shí)際運(yùn)用。在具體的問(wèn)題情境中，學(xué)生必須敏銳捕捉有用的數(shù)學(xué)信息，提取出數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心，再?gòu)念^腦中檢索出相關(guān)的概念知識(shí)，進(jìn)一步思考、探索和驗(yàn)證。多次提取已經(jīng)建立的概念表象，與相關(guān)概念知識(shí)進(jìn)行比較區(qū)分，學(xué)生就能理解數(shù)學(xué)概念間的橫向聯(lián)系與縱向聯(lián)系，構(gòu)建較為完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

在“公頃的認(rèn)識(shí)”一課中，教師可以借助豐富的感性材料，引導(dǎo)學(xué)生了解概念的多元表征，幫助學(xué)生建立正確的表象，抽象出概念的本質(zhì)屬性，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過(guò)真實(shí)體驗(yàn)，學(xué)生能夠身臨其境；通過(guò)動(dòng)態(tài)的呈現(xiàn)過(guò)程，學(xué)生能夠加深印象；通過(guò)填補(bǔ)思維環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)概念的再創(chuàng)造；通過(guò)將現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)和生活實(shí)際相結(jié)合，學(xué)生能夠?qū)D像感知提升為抽象概念，經(jīng)歷從具體到抽象再回歸具體的過(guò)程，體會(huì)知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，從而生成知識(shí)體系。

結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)概念從本質(zhì)上說(shuō)是抽象的，其抽象程度通常比邏輯學(xué)更高一級(jí)。在概念教學(xué)中，教師必須緊扣概念的內(nèi)涵，創(chuàng)設(shè)相關(guān)的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生從情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，在探索中歷經(jīng)概念的形成與發(fā)展過(guò)程，逐漸明晰概念的本質(zhì)特征。在深度認(rèn)識(shí)概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠形成更完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深度挖掘知識(shí)背后隱藏的思想方法并不斷遷移運(yùn)用，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。