210003 南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 孫風(fēng)建

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版)》明確了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，希望教師能把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視情境創(chuàng)設(shè)和問題提出，從整體規(guī)劃學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展．主題式教學(xué)可以很好地承載“整體性”學(xué)習(xí)目標(biāo).主題探究教學(xué)本質(zhì)在“主題”，由學(xué)生鮮活的思考或疑惑生長出的探究主題，有利于學(xué)生發(fā)揮主動性，自主推動探究，在不斷提出和解決問題過程中發(fā)展高階思維．

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個十分重要的概念，如果學(xué)生沒有充分經(jīng)歷函數(shù)概念的抽象過程，往往很難在千變?nèi)f化的函數(shù)問題中應(yīng)對自如，筆者以“這樣的函數(shù)有多少個”這一主題的探究教學(xué)為例，以學(xué)生素養(yǎng)為先，研究教學(xué)．

1 “這樣的函數(shù)有多少個”主題探究教學(xué)過程

1.1 激發(fā)動機，生成探究主題

在函數(shù)這一章節(jié)中，蘇教版教材給出了這樣的問題：已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為[1，4]，這樣的函數(shù)有多少個？

這是一個開放性問題．學(xué)生通過之前學(xué)習(xí)的知識(即函數(shù)的三要素決定一個函數(shù))，很快發(fā)現(xiàn)本題中對應(yīng)法則和值域已限定，要確定函數(shù)，關(guān)鍵在于確定定義域．如果定義域稍加變化，就可以得到一系列答案，如x∈[1,2]，x∈[-2,-1]，x∈[1,2]∪[-2,-1]等，所以答案是“無數(shù)個”．

表面來看，學(xué)生已經(jīng)掌握函數(shù)概念．如果僅止于此，可能就錯過了一個讓知識整體關(guān)聯(lián)的好機會．所以，筆者隨即追問：如果對應(yīng)法則不變，值域變化了，這樣的函數(shù)有多少個？學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中暗藏玄機，一時難以簡單回答，決定一探究竟，隨即誕生了一個探究主題——“這樣的函數(shù)有多少個”．

1.2 自主合作，形成初步方案

學(xué)生分成小組，從確定對應(yīng)法則出發(fā)，探索如果改變值域，結(jié)果會發(fā)生怎樣的變化，其中有什么一般特征，形成了本組的自主探究任務(wù).有的小組嘗試把值域換成其他有限數(shù)，最終探索出了值域為一般有限區(qū)間[a,b]時的情況.有的小組嘗試把連續(xù)區(qū)間離散化，但情況太多，探索得出普適的結(jié)論存在困難，經(jīng)過討論，決定從最簡單且和[1，4]形式最接近的情況{1，4}入手探究．

自主探究1已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的定義域和值域均為[a,b]，則這樣的函數(shù)有多少個？

(3)當(dāng)a<0

綜上，這樣的函數(shù)只有1個．

自主探究2已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為{1,4}，這樣的函數(shù)有多少個？

解法1：當(dāng)y=1時，x=1或x=-1；當(dāng)y=4時，x=2或x=-2.以函數(shù)定義域中的元素個數(shù)來分類.

(1)當(dāng)元素個數(shù)為2時，有{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},共4種；

(2)當(dāng)元素個數(shù)為3時，有{1,2,-2},{1,-1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},共4種；

(3)當(dāng)元素個數(shù)為4時，只有{1,-1,2,-2} 1種.

因此，這樣的函數(shù)有9個．

解法2：當(dāng)y=1時，x=1或x=-1；當(dāng)y=4時，x=2或x=-2.

第一步有三種選擇，即x可以是1或-1，也可以是兩個都取，共有三種不同的選法;同理，第二步也有三種不同的選法，按照分步計算原理共有九種．

1.3 啟發(fā)反思，促進深入研究

隨著集合元素的增多，要清晰準確地數(shù)出函數(shù)個數(shù)變得越來越困難，有的學(xué)生苦于列舉法情況太多，也有學(xué)生想嘗試用排列組合的方法計數(shù)，卻難列舉清楚.教師的適時引導(dǎo)顯出了必要性.但“引導(dǎo)”不等同于“告知”，學(xué)生的思維處于活躍狀態(tài)時，前期探索激活了最近發(fā)展區(qū)，這時恰當(dāng)?shù)膯l(fā)性問題可確保學(xué)生有充分的思考空間．

啟發(fā)1探究1的方法有什么優(yōu)勢？探究2里的兩種方法又各有什么優(yōu)勢？

學(xué)生反思成果：(數(shù)學(xué)思想)具體區(qū)間不勝枚舉，但數(shù)學(xué)不滿足于“逐個列舉”研究函數(shù)，而是觀察具體事實的共同特征，進行抽象概括得到一般性結(jié)論，這樣的結(jié)論具有普適性，自然可包括具體區(qū)間的種種情況．

啟發(fā)2如果讓你繼續(xù)探索，你會從什么角度研究？

基于對探究1的反思，大部分學(xué)生會傾向于探究其一般性結(jié)論.隨著討論深入，學(xué)生的思路越來越發(fā)散，有的組提出希望找出這個集合的規(guī)律，將其擴充，嘗試探索更一般的情況值域為{1,4,9,…n2}.還有的組認為可以結(jié)合集合部分的知識進行綜合探索，比如探索值域為{1,4,9,…,n2}的非空子集，于是產(chǎn)生了綜合性更強的兩個探究角度．

自主探究3已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為{1,4,9,…,n2}，這樣的函數(shù)有多少個？

解：根據(jù)函數(shù)定義，值域中的每個元素在定義域中都有唯一的元素與之對應(yīng)，所以與1對應(yīng)的元素可以有1,-1，也可以是兩個元素都取，共有三種情況.同理，與4對應(yīng)的元素也有三種情況，以此類推，根據(jù)乘法計算原理共有3n種情況，即這樣的函數(shù)共有3n個.

自主探究4已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為{1,4,9,…,n2}的非空子集，這樣的函數(shù)有多少個？

解法2：根據(jù)函數(shù)定義，值域中每個元素在定義域中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如與1對應(yīng)的元素可以有1,-1，也可以是兩個元素都取，當(dāng)然也可以都不選，因此共有四種情況;同理，與4對應(yīng)的元素也有四種情況.以此類推，根據(jù)乘法計算原理共有4n種情況，但是要防止與值域中每一個值對應(yīng)的兩個元素都不選這種情況發(fā)生，因此這樣的函數(shù)共有4n-1個.

教師點評：在研究新問題遇到困難時，從特殊的情況開始摸索，通過總結(jié)類比和嚴格的邏輯推理，探索解決一般情況的方法，這也是數(shù)學(xué)探究的重要思想之一——化歸思想．

啟發(fā)3如果定義域也受了限制，我們又該怎樣研究呢？

1.4 深度思考，提升抽象思維

隨著問題提升到一個新的難度，學(xué)生需要更多的思考時間，邊探究邊總結(jié)反思，有的組需要教師的點撥.經(jīng)過討論后各組達成共識：限制條件調(diào)整為“值域為定義域的子集”，同時函數(shù)的解析式也發(fā)生變化等.

自主探究5已知函數(shù)f(x)=x3-3x定義域為[a，b](a，b∈Z)，若函數(shù)f(x)的值域為[a，b]的子集，則這樣的函數(shù)有幾個？

解：因為f(x)=x3-3x，所以f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，當(dāng)x∈(-∞，-1),(1,+∞)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(-1，1)時，f′(x)<0．所以f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增．

(2)當(dāng)a≤-1且-1b，矛盾，不合題意．

(5)當(dāng)-1

因此，所求整數(shù)a，b的值為a=-2，b=2．這樣的函數(shù)只有1個．

2 反思：素養(yǎng)為先，反觀學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

如表1所示，“這樣的函數(shù)有多少個”主題式探究教學(xué)中，學(xué)生逐步生成了“特定值域區(qū)間-集合知識融合-一般定義域和值域-封閉函數(shù)”的探究路徑，進行了一次從“事實到概念”的深入學(xué)習(xí)，從另一個角度又經(jīng)歷了一次核心概念的整體抽象過程．事實上，學(xué)生從特殊元素入手完成了探究2和探究3，之后對值域進行一般化，才發(fā)現(xiàn)探究1這樣一個隱藏的探究路徑，進而將思維拓展到了探究5這樣一種更抽象復(fù)雜的層面，學(xué)生的深入思考無意間引發(fā)了一些新函數(shù)的定義，從而探究更抽象的數(shù)學(xué)對象，這是學(xué)生深入思考自然推動的結(jié)果，雖然對思維水平要求更高，但是整個過程卻更加自然.

表1 “這樣的函數(shù)有多少個”微主題式探究框架

學(xué)生能將函數(shù)、集合、分類計數(shù)原理、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識有機結(jié)合，在探究和小組合作過程中激活最近發(fā)展區(qū)的相關(guān)知識，從研究一般問題“退”到從“特殊”入手，再從“特殊”問題“進”到一般情況完成更加嚴格的分析和表述，數(shù)學(xué)思想也在反思和總結(jié)環(huán)節(jié)得到凸顯和加強.結(jié)合SOLO評價標(biāo)準發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維從對問題單一層面的認知水平逐步提升至將多個知識層面有機融合的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”，并在對定義域和值域充分討論后得到封閉函數(shù)這一更加抽象的認知，思維達到高階的“拓展抽象結(jié)構(gòu)水平”.由于本案例主題探究的起點為教材原題，學(xué)生并未表現(xiàn)出思維混亂、無序的“前結(jié)構(gòu)思維狀態(tài)”．開放探究的過程中學(xué)生研究熱情高漲，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展也得到了落實.

核心素養(yǎng)不是直接由教師教出來的，而是在問題情境中借助問題解決的實踐培育出來的.日常教學(xué)中，教師應(yīng)善于抓住學(xué)生思考過程中自主探究的“珠”，因勢利導(dǎo)串成主題探究的“鏈”，自然誘發(fā)深度思考.同時以“啟”促“發(fā)”，站在章節(jié)、模塊甚至數(shù)學(xué)課程的高度去認識教學(xué)內(nèi)容，從而形成有生命力、有靈魂的整體知識，激活數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)性，為學(xué)生深度思考創(chuàng)造條件.問題解決的探究過程中，應(yīng)始終堅持學(xué)生的主體地位，通過非“告訴”式的“引導(dǎo)”，讓學(xué)生適時拓寬思路，變換探索路徑時依然能清晰地把握核心對象，自主將重要概念與探究主題建立聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

隨著學(xué)生知識儲備的增加，以及教師在日常教學(xué)中對一些數(shù)學(xué)思想進行滲透，學(xué)生會喜歡這種“高屋建瓴”地建構(gòu)知識體系的感覺，從而在自主和自覺的思考中實現(xiàn)思維躍變，對具體知識的認知也將提高至高階水平．