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        對一道解三角形求取值范圍問題的思考*

        2022-11-18 14:26:15呂佳峻山東省平度市第九中學(xué)2020級4班266700指導(dǎo)教師姜尚鵬
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年6期
        關(guān)鍵詞:命制高考題正弦

        呂佳峻 (山東省平度市第九中學(xué)2020級4班 266700) 指導(dǎo)教師 姜尚鵬

        1 問題提出

        近期做了一道有關(guān)解三角形的高考題,題目如下:

        (1)求角B;

        (2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

        第(2)題,因?yàn)橹懒私荁,實(shí)際上就是求cosA+cosC.對于雙變量問題,我們習(xí)慣化成單變量問題解決,這樣這個(gè)題的關(guān)鍵就是怎樣把兩個(gè)角化成一個(gè)角.cosA可以化成cos(π-B-C),再通過誘導(dǎo)公式化簡,因?yàn)榻荁在第(1)題已經(jīng)求出,所以原式就轉(zhuǎn)化成了只含一個(gè)變量的式子,又因?yàn)槿切问卿J角△ABC,即三個(gè)角都是銳角,所以可求出角C的取值范圍,進(jìn)而求出原式的取值范圍.

        下面是解答過程.

        這道題目的解答比較常規(guī),也沒有什么特別難的地方,但研究高考題關(guān)鍵是從高考題中總結(jié)出高考題考查的方向,從而為迎接后面的高考做準(zhǔn)備,所以我對這道高考題進(jìn)行了深入的思考.

        2 幾點(diǎn)思考

        2.1 從三角函數(shù)的名稱角度進(jìn)行變式

        思考1 既然高考題可以考查兩個(gè)角余弦的和的取值范圍,那是不是也可以考查兩個(gè)角正弦的和的取值范圍呢?

        2.2 從三角函數(shù)的運(yùn)算角度進(jìn)行變式

        思考2 既然可以考查兩個(gè)角正弦的和的取值范圍,那是不是也可以考查它們的差、積、商的取值范圍呢?

        通過搜集其他高考題發(fā)現(xiàn),題目5的類型確實(shí)在2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo)III文)考查過,題目如下:

        (1)求B;

        (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.

        第(2)題的解答過程是不是與題目5的解答驚人地相似?心中油然而生一種自豪感,原來我也可以命制高考題了.

        2.3 從三角形中邊的角度進(jìn)行變式

        思考3 三角形的元素分為角和邊,前面主要都是求角的正弦或余弦的取值范圍,那么是不是也可以求邊的取值范圍呢?

        思考4 三角形內(nèi)角的三角函數(shù)之間可以通過加減乘除求取值范圍,那三角形的邊是不是也可以通過加減乘除求取值范圍呢?下面讓我們來研究一下吧!

        題目7—9很顯然都可以化成邊對應(yīng)角的正弦求解,轉(zhuǎn)化成前面熟悉的問題,對于題目8還可以用基本不等式求解.

        2.4 從三角形中邊的幾何意義進(jìn)行變式

        思考5 由題目1我發(fā)現(xiàn),命題老師沒有簡單考查cosA+cosC的取值范圍,而是考查了cosA+cosB+cosC的取值范圍,所以我想題目6考查a+c的取值范圍,是不是也可以考查a+b+c的取值范圍呢?這樣的好處是三條邊的和有幾何意義,可以直接說求△ABC的周長的取值范圍.

        思考6 同樣,對于求ac的取值范圍,也可以賦予這個(gè)式子幾何意義,改成求△ABC面積的取值范圍.

        思考7 既然有些式子是有相應(yīng)的幾何意義的,那是不是可以借助于幾何意義解題呢?

        關(guān)于求△ABC周長和面積的取值范圍也是高考命題的熱點(diǎn),原來出題老師是經(jīng)歷了這樣的一個(gè)過程才命制出來的,不得不佩服,出題老師真的是煞費(fèi)苦心了.

        這樣,就可以總結(jié)出解三角形中求取值范圍問題的解決策略:(1)化角——轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求取值范圍;(2)化邊——結(jié)合基本不等式求取值范圍;(3)化形——利用數(shù)形結(jié)合思想求取值范圍.

        3 結(jié)束語

        通過這次對高考題深入的思考,我發(fā)現(xiàn)自己對解三角形知識的認(rèn)知更上一層樓,并且發(fā)現(xiàn)原來高考題不是隨便命制出來的,也是有一定的命制原則的.當(dāng)我們能從數(shù)學(xué)的思維和邏輯出發(fā),對高考題多思考一下,說不定我們也可以命制出高考題.同時(shí),我也發(fā)現(xiàn)命制一道高考題凝聚了命題人的心血,因此,在后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中,我會用更加認(rèn)真的態(tài)度來對待數(shù)學(xué),并懷著崇敬的心情求解數(shù)學(xué)題.

        指導(dǎo)教師點(diǎn)評:呂佳峻同學(xué)的這篇文章,從學(xué)生的視角給我們展現(xiàn)了對于一道高考題,可以從哪些角度進(jìn)行思考.他先從簡單的變換角的三角函數(shù)名入手進(jìn)行變式,之后上升到運(yùn)算的變式,再之后由角過渡到邊的變式,最后又賦予了邊的運(yùn)算相應(yīng)的幾何意義進(jìn)行變式,整個(gè)思維過程層層深入,思考也越來越有深度,很好地展現(xiàn)了一位高中生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時(shí)關(guān)于求解解三角形中取值范圍問題的解決策略也是不斷地增加,從最初的“化角”,到中間的“化邊”,到最后的“化形”,解法不斷完善.題目的不斷變式,體現(xiàn)了呂佳峻同學(xué)掌握知識的廣度和思考問題的深度;解法的不斷完善,體現(xiàn)了呂佳峻同學(xué)解決問題能力的厚度,這篇文章為高中生如何思考數(shù)學(xué)問題提供了范例,值得借鑒.

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