項(xiàng)麗紅 逯彥周

(甘肅省永登縣第六中學(xué) 730300)

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景.[1]向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，同時(shí)高中的平面向量知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).2012年—2021年十年間，我國(guó)高考數(shù)學(xué)命題經(jīng)歷了考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)并存指導(dǎo)，到終止考試大綱，完全依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程.[2]對(duì)這十年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中的平面向量試題在宏觀層面從類(lèi)型、題數(shù)、分值、難易程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在微觀層面從試題考查知識(shí)點(diǎn)、融合其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并以此為依據(jù)對(duì)教師教學(xué)提出一些建議.

1 十年高考全國(guó)卷平面向量試題宏觀統(tǒng)計(jì)分析

以2012—2021十年高考全國(guó)卷(共29套)中的平面向量試題(共38道)為研究對(duì)象，將38道平面向量試題從宏觀層面按類(lèi)型、題數(shù)、分值、難易程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示.從類(lèi)型看，38道題目中，選擇題共20道，填空題共14道，解答題共4道，占比分別為52.6%、36.9%、10.5%.從題數(shù)看，29套試卷中，21套試卷的平面向量試題均為1道，占比72.4%，分值為5分；4套試卷的平面向量試題均為2道，占比13.8%，分值為10分；3套試卷的平面向量試題均為2道，占比10.3%，分值為17分；僅有1套試卷中平面向量試題為3道，分值為22分.從難易程度看，38道試題中，難度為易、中的試題分別為20道、12道，占比分別為52.6%、31.6%，較難題為6道，占比15.8%.

表1 2012—2021全國(guó)卷平面向量試題統(tǒng)計(jì)

2 十年高考全國(guó)卷平面向量試題微觀知識(shí)點(diǎn)分析

2.1 試題考查知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分析

將平面向量試題考查知識(shí)點(diǎn)按照線(xiàn)性運(yùn)算及其幾何意義、向量平行、平面向量基本定理、平面向量的數(shù)量積及模與夾角、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(只要試題有體現(xiàn)就計(jì)數(shù))，結(jié)果如表2所示.由表2知，38道試題中，考查線(xiàn)性運(yùn)算及其幾何意義、平行、垂直、平面向量基本定理、數(shù)量積及模與夾角的試題分別有5道、4道、5道、4道、14道，占比分別為13.2%、10.5%、13.2%、10.5%、36.8%；考查線(xiàn)性運(yùn)算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的坐標(biāo)運(yùn)算的試題分別有10道、4道、6道、17道，占比分別為26.3%、10.5%、15.8%、44.7%.總的來(lái)看，考查線(xiàn)性運(yùn)算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的分別有15道、8道、11道、31道，占比分別為39.5%、21.0%、29.0%、81.5%.

表2 2012—2021全國(guó)卷平面向量試題考查知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

在38道平面向量試題中，28道只考查了平面向量?jī)?nèi)容的知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有與其他知識(shí)融合,且絕大多數(shù)試題考查知識(shí)單一，屬于簡(jiǎn)單題.如：

例1(2021年全國(guó)甲卷第14題)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c，則k=.

例2(2017年全國(guó)Ⅰ卷第13題)已知向量a,b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.

圖1

2.2 試題融合其他知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分析

平面向量與其他知識(shí)點(diǎn)的融合具有明顯的傾向性(表3)，38道平面向量試題中，10道融合了其他知識(shí)，其中與圓錐曲線(xiàn)的融合包括圓、橢圓、雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)，共有6道，其余4道是與三角函數(shù)及解三角形、函數(shù)、數(shù)列融合.

表3 2012—2021全國(guó)卷平面向量試題交匯知識(shí)統(tǒng)計(jì)

當(dāng)平面向量試題融合其他知識(shí)時(shí)，多考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，多數(shù)為數(shù)量積及模與夾角、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.如：

例3(2021年新高考Ⅱ卷第10題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，則( )

(2)由題意得F(1,0)，設(shè)P(x3,y3)，則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).

由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

3 研究結(jié)論與教學(xué)建議

3.1 研究結(jié)論

近十年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷平面向量試題近九成是選擇題和填空題，且選擇題居多，超七成試卷只有1道平面向量試題，分值5分，超兩成試卷有2道平面向量試題，分值為10分與17分(二者數(shù)量相差不大)，題目難度以易、中為主，占比和超八成，以知識(shí)融合題為主的難題占比低于兩成.平面向量試題考查知識(shí)點(diǎn)按比例由高至低依次為數(shù)量積及模與夾角、線(xiàn)性運(yùn)算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理，且對(duì)坐標(biāo)運(yùn)算的考查多于非坐標(biāo)運(yùn)算的考查.平面向量與其他知識(shí)的融合主要集中在圓錐曲線(xiàn)、三角函數(shù)與解三角形、函數(shù)、數(shù)列等.

3.2 教學(xué)建議

3.2.1理解概念，牢記公式，穩(wěn)固雙基

教材對(duì)于平面向量?jī)?nèi)容多是按照基本概念→線(xiàn)性運(yùn)算及其幾何意義→平面向量基本定理→坐標(biāo)運(yùn)算→平面向量數(shù)量積的順序編排[3][4]，基本概念是后續(xù)知識(shí)展開(kāi)的基礎(chǔ)，特別是平面向量基本定理，是坐標(biāo)運(yùn)算的“根”，坐標(biāo)運(yùn)算是其“果”.這部分知識(shí)前面概念多，后面公式多，但就全國(guó)卷而言考查內(nèi)容簡(jiǎn)單，多為選擇題和填空題，考查內(nèi)容基本為數(shù)量積及模與夾角、線(xiàn)性運(yùn)算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，有坐標(biāo)運(yùn)算，也有非坐標(biāo)運(yùn)算.因此在教學(xué)中須讓學(xué)生切實(shí)理解概念，記牢公式，穩(wěn)固雙基.

3.2.2畫(huà)好圖形，精準(zhǔn)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合

平面向量兼具幾何與代數(shù)雙重屬性，教材安排也是先“幾何”后“代數(shù)”的順序，并且線(xiàn)性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算都有豐富的物理背景，是學(xué)科交叉的良好案例.對(duì)于高中生而言，平面向量也是數(shù)形結(jié)合的良好案例.因此，在日常教學(xué)中，教師要注重學(xué)生畫(huà)圖習(xí)慣的養(yǎng)成，畫(huà)對(duì)圖，畫(huà)好圖，為之后的數(shù)學(xué)運(yùn)算當(dāng)好“眼睛”，在此過(guò)程中亦能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.2.3總結(jié)反思，建構(gòu)體系，提升素養(yǎng)

在平面向量與其他知識(shí)的融合中，可以發(fā)現(xiàn)平面向量充當(dāng)輔助工具的作用，且這類(lèi)題目往往對(duì)平面向量知識(shí)的考查多在坐標(biāo)運(yùn)算上，也很簡(jiǎn)單，重點(diǎn)在于與其他知識(shí)融匯貫通，這就需要建構(gòu)知識(shí)體系.高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多，抽象程度也較高，但是好在知識(shí)之間彼此是相通的，所以我們的學(xué)習(xí)不會(huì)因所學(xué)知識(shí)的增多而負(fù)擔(dān)增重，反而會(huì)因發(fā)現(xiàn)、理解先后知識(shí)的聯(lián)系而嘆為觀止.因此，在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理、總結(jié)、反思，總結(jié)的次數(shù)多了，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，找到聯(lián)系、及時(shí)反思，就能自主建構(gòu)屬于自己的“知識(shí)體系”，當(dāng)然在此過(guò)程中也可提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).