劉東升

(江蘇省南通市教育科學研究院 226000)

學生進入初中之后的數(shù)學學習要面對的第一個難點就是數(shù)系擴充之后的有理數(shù)及其運算.而有理數(shù)運算的重點與難點就是運算規(guī)則的生成與運算律的靈活運用.那么在有理數(shù)運算的新授課時，怎樣引導學生深刻理解運算規(guī)則就是非常重要的教學目標.筆者最近在一所學生基礎(chǔ)相對薄弱的農(nóng)村學校執(zhí)教了一節(jié)隨堂研討課“有理數(shù)的乘方(第1課時)”，基于教材又重組教材，讓新知漸次生成，取得了較好的教學效果.

1 “有理數(shù)的乘方(第1課時)”教學流程

教學環(huán)節(jié)1 創(chuàng)設(shè)情境，引出新知

課前交流：同學們進入初中以來，學習了哪種新的數(shù)？(生：有理數(shù))，還學習了有理數(shù)的哪些相關(guān)概念？(生：相反數(shù)、數(shù)軸、絕對值)，在此基礎(chǔ)上又學習了有理數(shù)的哪四種運算？(生：加、減、乘、除)，它們的結(jié)果分別叫什么？(生：和、差、積、商)

問題1計算(-1)+(-1)+(-1)+(-1).

教學組織：一個學生很快報出答案，教師跟進追問“這個算式寫得太長且繁，能否改寫成一個更簡的算式？”學生很快想到可以寫成乘法形式“(-1)×4=-4”.教師肯定并鼓勵，指出把相同加數(shù)相加寫成乘法的形式，符合數(shù)學“求簡”的追求，并在黑板上寫出“求簡”兩字.

預設(shè)追問：有理數(shù)乘法的運算法則是什么？

(安排學生回憶“同號得正、異號得負，并把絕對值相乘”)

問題2計算(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3).

教學組織：學生很快算出答案是-243.教師追問學生是如何算的？讓學生說出確定符號的優(yōu)先意識，以及多個有理數(shù)相乘，符號由負因數(shù)的個數(shù)確定，當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積的符號為負；當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積的符號為正.當一個學生說出之后，安排另一個學生再次復述，強化上述確定符號的規(guī)律，因為與本課所學的一個新知(負數(shù)的奇次冪或偶次冪的符號規(guī)律)高度相關(guān).

預設(shè)追問：這里5個-3連乘的算式書寫起來也比較繁瑣，有沒有簡化的方法呢？(學生由小學里已學過的平方和立方的書寫方法，會想到寫成(-3)5的形式)，這時安排學生上臺，寫到黑板上，并讓該學生講解所寫算式的意義，在此基礎(chǔ)上引出本課新知.

教師在主板區(qū)板書乘方的定義，并進一步指出底數(shù)、指數(shù)、冪的概念后，安排學生針對具體的式子復述、講解，如(-3)5.

教學環(huán)節(jié)2 定義乘方，例題運算

問題3在乘方的定義中，我們?yōu)榱吮硎龅姆奖?，引入了兩個字母n，a，作為嚴謹?shù)淖非?，同學們思考一下對兩個字母的取值范圍有沒有特殊的限制呢？

教學組織：學生討論后可能容易理解n的取值范圍應該是正整數(shù)，但對于底數(shù)a的范圍可能會有爭論和不解.這時教師可讓有疑惑的學生舉例說說自己的困惑，這樣可以讓學生知道底數(shù)a為任意有理數(shù)時都是可以進行有理數(shù)乘方運算的.但是學生如果提到一些特殊的例子，如0n，51，就可以順便做一些規(guī)定，比如一個數(shù)等于它本身的一次方.這樣有助于學生全面、深刻地理解乘方定義.

問題4乘方是一種運算，如何進行乘方運算呢？

教學組織：學生應該想到將乘方運算展開為乘法運算就可以了，教師肯定學生的上述思考，并形成板書(乘方的“算法”，從定義出發(fā)，利用有理數(shù)的乘法進行乘方運算).然后跟進幾道例題，訓練學生進行乘方運算.

例題計算：

教學組織：先安排兩組學生上臺板演，再安排學生上臺批改，如有錯誤進行糾錯、究錯.究錯時注意引導學生“回到定義”去思考和理解.然后跟進一組練習，安排學生不動筆，直接看出答案后匯報并核對.

跟進練習，計算：

(1)(-1)10；(2)(-1)7；(3)83；(4)(-5)3.

教學環(huán)節(jié)3 觀察算式，歸納乘方的符號規(guī)律

問題5學習有理數(shù)的運算的經(jīng)驗告訴我們，有理數(shù)運算的關(guān)鍵或難點是符號問題.從上面的例題與練習的計算后，同學們觀察算式特點與冪的結(jié)果符號，有什么規(guī)律呢？

教學組織：學生先獨立思考，再小組內(nèi)交流，最后全班匯報展示，得到有理數(shù)乘方運算的符號規(guī)律(可以在教師的引導下，分類討論底數(shù)為正、0、負的情況)，師生合作形成板書(正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的正整數(shù)次冪是0；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)).在這個歸納的過程中，學生表述的語言可能不太精準，教師不要急于給出教材上的“黑體字”，而是讓學生先討論、優(yōu)化、簡化，最后再讓學生對照教材“黑體字”表述，在對比之后交流學習體會，感受到對數(shù)學性質(zhì)的猜想歸納與概括往往是困難的，但正是因為追求“優(yōu)秀的表達能傳遞得更遠”，我們就有不斷求簡、求優(yōu)的動力.

教學環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)，完善“結(jié)構(gòu)化板書”

將黑板上副板區(qū)提到的有理數(shù)的四則運算(加、減、乘、除)用“臺階”勾畫出來，引導學生理解數(shù)學運算的學習特點是“一步一步向上走”，進而追問學生本課所學習的是第幾種運算？(第五種)完善主板區(qū)的標題留白處，并將本課主板區(qū)用框架線補全成結(jié)構(gòu)化板書，指出隨著后續(xù)乘方運算的學習，同學們還可繼續(xù)積累一些乘方運算的經(jīng)驗，到時可以進一步充實到這節(jié)課的聽課筆記中.

該課最后形成的板書剪影如圖1.

圖1

課堂最后，安排一組當堂反饋練習題：

1.(1)(-7)8中，底數(shù)、指數(shù)各是什么？

(2)(-10)8中-10叫做什么數(shù)？8叫做什么數(shù)？(-10)8是正數(shù)還是負數(shù)？

2.計算：

(3)(-10)4；(4)(-10)5.

2 教學立意的進一步闡釋

2.1 基于學情，遵循教材，新授宜慢不急于拓展

潘龍生老師指出：“讓學生看到過程是提高數(shù)學學習效能的得力措施.”[1]并引清末數(shù)學家華蘅芳的觀點“力挽之習，于一切算法無不坦白示人，……不求簡奧，不避粗俗，惟使人易明而已”，來批判當下概念教學中“一帶而過”的教學現(xiàn)象.在上面的課例中，我們基于所教校情、班情和學情，決定遵循教材，在有理數(shù)乘方的第1課時教學時，沒有安排大量的計算或練習，也沒有針對學材進行無度的拓展與拔高，全課沒有安排類似(-10)5與-105的易錯辨析(事實上，在我們見到的很多公開課或?qū)W案上都有相關(guān)的辨析練習，而教材上卻一例沒有，這種現(xiàn)象是值得深思的，難道編寫教材的專家不知道要安排學生辨析嗎？)，所選問題情境或例題運算都源于教材或經(jīng)簡單改編，立意在新授課階段讓學生掌握乘方定義及算法，發(fā)現(xiàn)并歸納乘方運算的符號規(guī)律，“固化”學生對新知“標準形式”的理解，而不是急于安排大量“非標準形式”的習題讓學生去進行辨析、糾錯，避免影響一些學生的學習效果與信心.

2.2 問題驅(qū)動，探索未知，討論完善新知識體系

這里可順便提及所謂“‘探索世界’的范式”[2]，這是2009年漢斯·弗賴登塔爾獎獲得者、法國數(shù)學教育家Yves Chevallard所倡導的數(shù)學教育取向，即變“參觀紀念碑”式為“探索世界”范式，訓練學生預見未來的能力，Yves Chevallard稱之為“預先認知”.在上面的課例中，我們一共預設(shè)了5個問題和1組例習題驅(qū)動著全課進程，學生在這些問題的驅(qū)動下探索未知、生成新知，在獨立思考、小組討論、板演互評、大組匯報等形式下完善了有理數(shù)乘方的知識體系.事實上，當前不少學校使用的“大容量習題單式導學案”在某種意義上助推了“一個定義、三項注意、大量練習”的教學生態(tài).從大容量習題的學案走向簡約呈現(xiàn)、內(nèi)涵豐富的問題驅(qū)動，可有效促進學生思維卷入高質(zhì)量問題中，從而追求探索未知的有效教學.

2.3 留白布局，調(diào)整優(yōu)化，漸次生成結(jié)構(gòu)化板書

全國著名特級教師李庾南老師及其團隊倡導的“自學·議論·引導”教學法，在單元教學時特別重視“結(jié)構(gòu)化板書”的設(shè)計與生成研究.這種板書的特點是知識結(jié)構(gòu)化，學生和教師都能一眼看清本課所學內(nèi)容的聯(lián)系與次序，并且知道本課新知的“源與流”[3].特別是，這種結(jié)構(gòu)化板書不是從上往下、從左往右這樣簡單化地“一寫到底”，而是結(jié)合學程推進，融入“生成性資源”留白布局，漸次呈現(xiàn)，直到課堂小結(jié)甚至下課之前，黑板上才能完整呈現(xiàn)其“全貌”.如果沒有全課都參與其中、親歷生成，往往不知道是如何漸次呈現(xiàn)的，這也正是“結(jié)構(gòu)化板書”的藝術(shù)性所在.因為藝術(shù)是沒有程式化的，是動態(tài)生成的，是豐富多樣的，所以經(jīng)常構(gòu)思、實踐留白式結(jié)構(gòu)化板書，在全課板書呈現(xiàn)生成完善之后，都會有一種“美美地教了一課”的教學體驗.