周德春

(江蘇省射陽中學(xué) 224300)

1 基本情況

授課對象 學(xué)生來自四星級省重點高中普通班，基礎(chǔ)良好．

教材分析 “空間向量基本定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)》(蘇教版)第3章“空間向量與立體幾何”中的第1節(jié)“空間向量及其運算”的第3小節(jié)內(nèi)容，是空間向量線性表示、坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，是向量法解決立體幾何問題的重要工具，是本章的核心知識點之一．

設(shè)計思想 在學(xué)習(xí)了平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，基于類比思想來研究空間向量基本定理．由于從平面到空間需要空間想象能力作為支撐，對于空間想象能力薄弱的部分學(xué)生學(xué)習(xí)起來還是有困難的，故在此教學(xué)設(shè)計中采取了“合作探究”的教學(xué)方法和“四問驅(qū)動”的教學(xué)范式，突出啟發(fā)式教學(xué)、突出問題引領(lǐng)、突出數(shù)形結(jié)合、突出類比過程，以實現(xiàn)對空間向量基本定理的全面理解、猜想證明和簡單運用．

教學(xué)目標(biāo) (1)運用類比的方法理解空間向量基本定理及其推論，體會空間任意一個向量可以用不共面的三個已知向量線性表示，而且這種表示是惟一的；(2)了解空間中基底的含義，并在簡單問題中能用給出的一個基底來表示已知向量，初步感悟向量是研究幾何問題的工具；(3)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng)．

教學(xué)重點 空間向量基本定理的理解．

教學(xué)難點 空間向量基本定理的證明．

2 過程設(shè)計

2.1 問題情境

師：在數(shù)學(xué)中，我們常用類比法研究數(shù)學(xué)問題，比如類比集合來研究向量，類比指數(shù)函數(shù)來研究對數(shù)函數(shù)，類比橢圓來研究雙曲線等．今天將類比平面向量基本定理來研究空間向量基本定理．(點題：空間向量基本定理)

2.2 探究建構(gòu)

●通過類比得到的空間向量基本定理的內(nèi)容是什么？如何證明這個定理？這個定理有什么用處？

說明前面標(biāo)注●的問題稱為“啟問”．所謂啟問就是依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，提出問題．

問題1如何通過類比得到空間向量基本定理的？

師：請問同學(xué)們，平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

生：如果e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使p=xe1+ye2．

師：定理中有哪些關(guān)鍵詞？

生：平面內(nèi)，e1,e2不共線，任一向量，存在，惟一．

師：類比平面向量基本定理，結(jié)合關(guān)鍵詞，請猜想出空間向量基本定理的具體內(nèi)容．

生：平面內(nèi)→空間中；e1,e2不共線→e1,e2,e3不共面；任一向量→任一向量，存在惟一→存在惟一，(x,y)→(x,y,z)，p=xe1+ye2→p=xe1+ye2+ze3．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下面的定理)

空間向量基本定理 如果三個向量e1,e2,e3不共面，那么對于空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使p=xe1+ye2+ze3．(用著重號標(biāo)出關(guān)鍵詞)

追問 猜想出來的結(jié)論可靠嗎？

生：不可靠！需要證明．

師：證明的大致思路是什么？

生：可類比平面向量基本定理，分存在性和惟一性來證明．

問題2如何證明空間向量基本定理中的存在性？

圖1

生：過點P作PP1∥OC，交平面AOB于點P1．

師：這點P1具體在什么位置？

生：點P1既在平面POC內(nèi)，又在平面AOB內(nèi)，故點P1在平面POC和平面AOB的交線上．

追問 上述證明存在性用的是什么方法？

生：構(gòu)造圖形法．

提煉 證明存在性的問題，一般都用構(gòu)造法．

問題3如何證明空間向量基本定理中的惟一性？

師：證明惟一性常用什么方法？

生：反證法．

師：下面用反證法試一試如何證明？

師：說得非常棒！這就證明了惟一性．至此完成了對空間向量基本定理的完整證明．

練習(xí) 已知e1,e2,e3不共面，且xe1+ye2+ze3=0，則x=y=z=．

提煉 空間向量基本定理告訴我們，空間中任意一個向量只需用三個不共面的向量就能線性表示，而且這種表示是惟一的．

追問1 空間向量基本定理中的三個不共面向量可以構(gòu)成空間的一個，這三個向量叫作．

追問2 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作．

追問3 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直而且都是單位向量，那么這個基底叫作，通常用表示．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下面的概念)

基底、基向量、正交基底和單位正交基底 如果三個向量e1,e2,e3不共面，那么{e1,e2,e3}稱為空間的一個基底，e1,e2,e3叫基向量．如果空間一個基底的三個基向量兩兩垂直，那么這個基底叫正交基底．特別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下列推論)

問題4如何運用空間向量基本定理解決問題？

2.3 數(shù)學(xué)運用

圖2 圖3

(學(xué)生口答，教師板書)

變式 該正方體為平行六面體(圖3)，其余條件不變，結(jié)果怎樣？

生：結(jié)論也不變．

追問 上述圖中點M是△ABC的心(從外、內(nèi)、重、垂中選一個)．

分析 三個向量能否作為一個基底，關(guān)鍵看它們是否不共面．

生：能．

師：那又如何表示呢？

2.4 課堂小結(jié)

■本節(jié)課是如何研究空間向量基本定理的？(類比法猜想，構(gòu)造法、反證法證明，運算法則法、待定系數(shù)法應(yīng)用)

■空間向量基本定理、平面向量基本定理、共線向量定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？(略)

說明前面標(biāo)注■的問題稱為“回問”．所謂“回問”就是反思提煉，總結(jié)提升．

3 教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計沒有采用新課程倡導(dǎo)的“問題情境—知識建構(gòu)—知識運用—課堂小結(jié)”的模式，而是采用了原創(chuàng)的“四問驅(qū)動”的教學(xué)范式，主要基于以下兩個原因：一是筆者目前主持的一項省規(guī)劃辦課題就是關(guān)于“四問驅(qū)動”范式的課題，所以采用“四問驅(qū)動”的教學(xué)范式進行授課可以豐富課題研究成果；二是倡導(dǎo)用“四問驅(qū)動”的范式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力[1]，因為“四問驅(qū)動”范式就是為聚焦上述“四能”而設(shè)計的教學(xué)范式．

由于“四問驅(qū)動”教學(xué)范式有相對固定的模式，所以在教學(xué)設(shè)計時如何設(shè)計“四問”就顯得非常重要．那么本節(jié)課是如何設(shè)計“四問”的呢？

第一、設(shè)計啟問時要依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，并注意將啟問前的問題情境設(shè)計得新穎簡潔明了有趣．設(shè)計探問時要依據(jù)啟問，并注意各探問之間呈并列或遞進關(guān)系．設(shè)計追問時要依據(jù)探問，并注意讓追問的思維量適當(dāng)小一些，讓思維的靈動在此能體現(xiàn)出來．設(shè)計回問時要把握課堂立意，把握深度學(xué)習(xí)，做到既有一般性的梳理歸納，又有畫龍點睛式的拔高．而本節(jié)課在設(shè)計“四問”時，就是遵循上面的設(shè)計思路來進行的．在設(shè)計啟問、追問和回問時都比較順利，唯獨在設(shè)計探問時出現(xiàn)了一個糾結(jié)，就是“基底概念和定理的推論”這個內(nèi)容是作為探問給出來還是作為追問給出來，最終是把它們作為追問給出來．其原因是堅持探問之間的關(guān)系是并列或遞進關(guān)系．

第二、根據(jù)“四問驅(qū)動”的含義，“四問驅(qū)動”中的問題應(yīng)該具有驅(qū)動性，那么在進行“四問”設(shè)計時，如何體現(xiàn)驅(qū)動性？主要做法是：一方面讓所有設(shè)計出來的問題都要有一定的思維量，而且問題之間要連貫并形成一個體系；另一方面，在授課時要留有時間讓學(xué)生思考或演算，而不總是教師自問自答．

總之，運用“四問驅(qū)動”教學(xué)范式進行教學(xué)是一種新的嘗試，其基本特征是：教學(xué)目標(biāo)明確，教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，課堂立意較高；制作課件時重視情境設(shè)計和四問設(shè)計，課堂實施時重視合作探究和“四能”培養(yǎng)等．本節(jié)課不足之處表現(xiàn)在學(xué)生動手依然偏少，變式訓(xùn)練還有待加強．