王驍乾，傅逸玟，朱云霞，羅鍛斌

(華東理工大學(xué) 物理學(xué)院，上海 200237)

當(dāng)兩列具有振幅相同、頻率相同、振動(dòng)方向相同的簡(jiǎn)諧波在同一直線(xiàn)上沿相反方向傳播疊加后，一定條件下可以形成駐波。駐波的形成及其相關(guān)物理現(xiàn)象是大學(xué)物理中振動(dòng)與波動(dòng)部分的重要內(nèi)容[1]。目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，弦線(xiàn)上的駐波實(shí)驗(yàn)以及超聲駐波法測(cè)量聲速是最具代表性的理解波疊加的實(shí)驗(yàn)[2]。而弦線(xiàn)上的駐波實(shí)驗(yàn)又由于裝置簡(jiǎn)單、演示直觀(guān)且實(shí)驗(yàn)內(nèi)容豐富得到廣大高校實(shí)驗(yàn)室的廣泛采用，很多同行也從不同角度，對(duì)弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中的相關(guān)問(wèn)題展開(kāi)了大量研究[3]。比如對(duì)振動(dòng)源[4]、弦的均勻性[5]、張力大小與梯度等因素對(duì)弦的線(xiàn)密度、弦上波速測(cè)量結(jié)果的影響[6-8]，甚至將弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)拓展至材料楊氏模量[9]、固體密度[10]等方面的研究。上述工作極大豐富了弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新探究能力的培養(yǎng)非常有幫助。在上述工作中，發(fā)現(xiàn)同行對(duì)弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中弦長(zhǎng)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)相關(guān)結(jié)果的影響研究較少。通過(guò)改變弦長(zhǎng)，在實(shí)驗(yàn)上分析了弦長(zhǎng)改變對(duì)弦線(xiàn)密度及弦上波速結(jié)果的影響，分析了由于弦長(zhǎng)而導(dǎo)致的影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的原因。

1 實(shí)驗(yàn)原理

弦線(xiàn)上的駐波實(shí)驗(yàn)中常用一端固定的張緊的弦線(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，將砝碼置于弦線(xiàn)的另一端，頻率、幅度可調(diào)的振動(dòng)器件在弦線(xiàn)上激起橫波，弦線(xiàn)上某一固定位置反射波與原波干涉，形成駐波，如圖1所示。圖中L為弦振動(dòng)部分的長(zhǎng)度，λ為弦上駐波波長(zhǎng)，圖1中λ=2/3L。

圖1 弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)原理圖

對(duì)于波長(zhǎng)為λ，頻率為f的波，其波速v為

v=λf

(1)

另外，對(duì)于張緊的弦，弦上傳播的橫波滿(mǎn)足下列方程，

其中線(xiàn)密度μ為單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量，張力F通過(guò)懸掛的質(zhì)量為m的砝碼提供，等于懸掛重物的重量mg。x是波傳播方向的位置坐標(biāo)，y為振動(dòng)位移。與標(biāo)準(zhǔn)駐波方程比較：

可以得到弦上橫波傳播速度為：

(2)

從式子(2)可以發(fā)現(xiàn)，弦上波的傳播速度只跟弦的線(xiàn)密度與弦所受到的張力有關(guān)。這也是很多同行在討論弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，主要考慮弦的線(xiàn)密度與張力的原因。如果波源的振動(dòng)頻率為f，弦上橫波波長(zhǎng)為λ，那么可以得到λ、F以及μ的關(guān)系如下：

(3)

在根據(jù)式(1)可以得到：

f=μλ2f2

(4)

目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)主要是基于式子(4)，通過(guò)控制變量來(lái)相互驗(yàn)證λ、F、f以及μ之間的關(guān)系。

2 實(shí)驗(yàn)裝置與測(cè)量結(jié)果

本文所用實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示。細(xì)繩一端與振動(dòng)器相連，另一端通過(guò)一滑輪用砝碼作為重物，對(duì)細(xì)繩施加張力。振動(dòng)器通過(guò)通用接口與計(jì)算機(jī)相連，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件改變振動(dòng)器振動(dòng)頻率f。該實(shí)驗(yàn)裝置可以研究式子(4)所涉及的相關(guān)物理量之間的關(guān)系。本文中，選擇一種細(xì)繩，通過(guò)剪取259.00 cm的一段細(xì)繩測(cè)量其質(zhì)量為0.810 g，計(jì)算其線(xiàn)密度μ為3.13*10-4kg/m。然后固定懸掛重物為104.918 g，即1.028 N，僅改變弦線(xiàn)的長(zhǎng)度，研究不同弦長(zhǎng)對(duì)測(cè)量弦線(xiàn)密度μ和弦上波速v0的影響。分別選取了四個(gè)長(zhǎng)度的細(xì)繩進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，即L分別為52.00 cm，93.00 cm，150.50 cm和236.50 cm。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 固定F及弦線(xiàn)材料下不同f下的弦線(xiàn)密度μ和弦上波速

圖3描述了固定張力情況下，同種材料不同長(zhǎng)度的細(xì)繩在不同振動(dòng)頻率下的弦線(xiàn)密度μ。

f/Hz

從圖3中可以看到，最短的細(xì)繩，其線(xiàn)密度測(cè)量的結(jié)果不僅波動(dòng)較大，而且偏離直接通過(guò)質(zhì)量長(zhǎng)度比測(cè)量的參考值較大。隨著弦長(zhǎng)的增加，測(cè)量結(jié)果趨于收斂，并且與參考值越接近。圖4則描述了固定張力情況下，同種材料不同長(zhǎng)度的細(xì)繩在不同振動(dòng)頻率下的波速v。與圖3類(lèi)似，弦長(zhǎng)越短，波速的結(jié)果波動(dòng)較大，而且偏離利用式(2)及μ參考值得到的結(jié)果越明顯。隨著弦長(zhǎng)的增加，測(cè)量結(jié)果趨于收斂，并且與參考值越接近。

f/Hz

可認(rèn)為在上述實(shí)驗(yàn)裝置中，在相同砝碼質(zhì)量作為負(fù)重下，弦上的應(yīng)力梯度不是一個(gè)常量。弦長(zhǎng)越短弦上的應(yīng)力梯度變化越大，此時(shí)弦上的應(yīng)力不再均勻，同時(shí)由于振動(dòng)源并非一個(gè)點(diǎn)源振動(dòng)，因此測(cè)量的上述結(jié)果偏離參考值較大并且波動(dòng)較大。弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，弦上應(yīng)力梯度對(duì)整條弦的振動(dòng)影響將越小，振動(dòng)源中連接弦線(xiàn)的振動(dòng)片對(duì)整條弦振動(dòng)的影響也越小，因此測(cè)量的線(xiàn)密度與波速比較穩(wěn)定，并與參考值相近。但由于實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的限制，弦長(zhǎng)的選擇有所限制。通過(guò)本文的討論，建議弦長(zhǎng)約在1.5～2.0 m范圍是合適的。