宋新樂 劉浩

摘要：最佳訂購策略通常是指最優(yōu)的訂貨間隔，最優(yōu)的訂貨數(shù)量，最優(yōu)的庫存量。一個(gè)良好的訂購策略通常可以幫助商家更好的經(jīng)營。本文從數(shù)學(xué)建模分析的角度出發(fā)，試圖根據(jù)實(shí)際情況給出一個(gè)較好的訂購策略。

關(guān)鍵詞：訂貨策略；銷售機(jī)會(huì)；數(shù)學(xué)建模；泊松分布

1 問題描述

某公司計(jì)劃在武漢沃爾瑪超市營銷旗下某種高檔電子產(chǎn)品，這些超市的位置如圖1所示，編號(hào)名稱及預(yù)估需求件數(shù)分別為：1武漢宗關(guān)西匯分店鋪4.1件，2南湖城市廣場(chǎng)店鋪3.2件，3武漢徐東大街分店鋪5.0件，4光谷坐標(biāo)城店鋪4.0件，5武漢奧山店鋪3.7件，6漢陽鐘家村店鋪3.5件，7漢陽店鋪2.3件，8菱角湖萬達(dá)店鋪2.1件。

公司要求制訂各店鋪的訂購策略，給出每周期末檢查商品庫存量，當(dāng)庫存降為0或是少于一定件數(shù)時(shí)上報(bào)訂購件數(shù)，公司在下一周期前調(diào)貨送到各店鋪。如果每批次進(jìn)貨費(fèi)用100元，每售出一件商品收益700元，一個(gè)周期內(nèi)不能售出時(shí)每件貯存費(fèi)用100元，不計(jì)當(dāng)周期內(nèi)已售出的商品的貯存費(fèi)用。

問題如下：

（1）為使每一周期利潤最大，各店鋪的訂購策略應(yīng)當(dāng)如何制訂？

（2）在以上訂購策略下，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大？

（3）如果在以上策略下，各店鋪允許就近調(diào)貨，每次調(diào)貨費(fèi)用為100元，則公司每周期的利潤會(huì)增加多少？

2 問題求解

2.1 各店鋪的訂購策略

本部分所用到的數(shù)學(xué)符號(hào)及含義如下：? Q：每次訂購的商品數(shù)；a：每周期的銷量；t：兩次訂購商品的間隔周期；k：訂購周期平均存儲(chǔ)件數(shù)；n：每次訂購費(fèi)用；m：每件商品的利潤；x：每件商品每周期的存貯費(fèi)；y：每周期末的庫存件數(shù)；z：每周期利潤。

假設(shè)各店鋪將從公司那里一次訂購Q件商品，每周期的銷售量為a?？梢缘玫絻纱斡嗁徤唐返拈g隔周期數(shù)為t：

假設(shè)商品在訂購周期內(nèi)是均勻銷售的，在一個(gè)銷售周期內(nèi)，商品儲(chǔ)存量在周期初為訂購量Q，周期末為0，可以近似得出一個(gè)訂購周期內(nèi)商品的平均儲(chǔ)存水平k為：

由于當(dāng)期的存貯費(fèi)用不計(jì)，實(shí)際存貯周期為（t-1），假設(shè)訂購一次的費(fèi)用為n，每件商品獲利為m，每件商品每周期的存貯費(fèi)為x，第i周期末的庫存為yi，每周期利潤為z，即可獲得以下關(guān)系式：

為了便于敘述，以第一家店鋪為例進(jìn)行分析，初步化簡z得：

將已知條件分別代入式（1）（2）（3）（4）并化簡得：

由此可求得最大利潤為：z=2872.5。

但注意到t只能取1，2，3，…，而z關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)：

對(duì)于所有的店鋪，由于a≥2，t只能取1，2，3，…，故小于0，為減函數(shù)，故取t=1，進(jìn)而a=Q。

此時(shí)，z=700a-100=2770，Q取4.1。

顯然，訂購量須為整數(shù)，故取Q=4和Q=5時(shí)，對(duì)每周期利潤z分別進(jìn)行驗(yàn)證，即可以求得當(dāng)進(jìn)貨量：Q=4件時(shí)，最大利潤為z=2700。

依照此方法，分別對(duì)第2、3、5、6、7、8、9家店鋪進(jìn)行建模與計(jì)算，由結(jié)果可以得到最佳進(jìn)貨量，將此進(jìn)貨量作為每個(gè)周期初的目標(biāo)庫存量，可建立最佳訂購策略，見表1。

3.2 失去銷售機(jī)會(huì)的概率

本部分所用到的數(shù)學(xué)符號(hào)及含義如下：

λ：每周期售出商品均值；P：銷售概率；K：每周期銷售量；e：自然對(duì)數(shù)；l：每周期初庫存；Pb：失去銷售機(jī)會(huì)的概率。

由于每個(gè)店鋪之間沒有相互影響，每個(gè)周期的銷售量也沒有相互聯(lián)系，可以認(rèn)為銷售量符合泊松分布。其概率函數(shù)為公式：

為了敘述方便，還是以第一家店鋪為例進(jìn)行分析，下文中只給出計(jì)算結(jié)果。將已知條件代入式7，將計(jì)算結(jié)果列入表2。

分析以上結(jié)果，可以得到，當(dāng)需求量大于庫存量時(shí)，即失去銷售機(jī)會(huì)。對(duì)于第一家店鋪來講，此概率為：0.3907。即Pb=0.3907。

利用同樣的方法對(duì)其他店鋪進(jìn)行計(jì)算，可得每個(gè)店鋪失去銷售機(jī)會(huì)的概率，將計(jì)算結(jié)果列入表3。

3.3 允許調(diào)貨下的利潤增加

本部分所用到的數(shù)學(xué)符號(hào)及含義如下：

Zi：第i家店鋪增加的利潤；n：調(diào)貨所需花費(fèi)；m：每件商品利潤；P（i）：發(fā)生i情況的概率；Pij：第i家店鋪銷量為j時(shí)概率。

假設(shè)可以產(chǎn)生調(diào)貨，須滿足以下3個(gè)條件：

（1）店鋪只能從距離最近的那個(gè)店鋪調(diào)貨；

（2）調(diào)貨時(shí)，調(diào)出的店鋪有貨；

（3）需求件數(shù)小于等于調(diào)出店鋪的庫存。

通過求解每個(gè)店鋪每周期可以增加的利潤，即可求得公司每周期的利潤的增加值。

首先根據(jù)地圖，測(cè)量出每兩個(gè)店鋪之間的距離，測(cè)量結(jié)果分別見表4。為了簡化計(jì)算，此距離只考慮直線距離，未考慮實(shí)際道路情況，在表4中給出相對(duì)距離大小。

根據(jù)測(cè)量分析，可建立調(diào)貨關(guān)系的店鋪在表4中用紅色標(biāo)出，可以得出調(diào)貨關(guān)系為：（1，8）（2，7）（3，6）（5，2）（6，3）（7，8）（8，1）（9，1），為了分析方便，括號(hào)內(nèi)表示前面編號(hào)的店鋪可以從后面編號(hào)的店鋪調(diào)貨，而后面編號(hào)的店鋪不可以從前面編號(hào)的店鋪調(diào)貨。同時(shí)，為了簡化計(jì)算，只考慮一層調(diào)貨關(guān)系。例如，店鋪2從店鋪7調(diào)貨的同時(shí)，店鋪7不因自己沒貨而從店鋪8調(diào)貨；店鋪1在調(diào)貨給8的同時(shí)，不再調(diào)貨給同時(shí)缺貨的9。

根據(jù)以上假設(shè)，有3.2計(jì)算的各個(gè)店鋪顧客需求量的概率，可以建立每個(gè)店鋪從對(duì)應(yīng)店鋪調(diào)貨的關(guān)系式。為了敘述方便仍是以第一家店鋪為例進(jìn)行分析，其他店鋪的分析計(jì)算方式仍是與第一家店鋪分析計(jì)算方式相同，下文中只給出計(jì)算結(jié)果。對(duì)于第一家店鋪武漢宗關(guān)西匯分店鋪，將與其有關(guān)的店鋪8和兩家分別的訂貨量與銷售量等已知條件列入表5，括號(hào)中為每周期初的庫存量。

由于店鋪1在每個(gè)周期初始時(shí)有4件商品，店鋪8在每個(gè)周期初始時(shí)有3件商品，產(chǎn)生調(diào)貨的情況是：

（1）店鋪1需求量為5件，店鋪8的需求量小于等于2件；

（2）店鋪1需求量為6件，店鋪8的需求量小于等于1件；

（3）店鋪1需求量為7件，店鋪8的需求量等于0件。

兩家店鋪相互獨(dú)立，店鋪中各個(gè)需求量之間也相互獨(dú)立，故可用概率加法計(jì)算店鋪8的需求量，用乘法計(jì)算以上三種情況發(fā)生的概率。通過以上三種情況的計(jì)算，可以得出增加的利潤z，表達(dá)式如下：

代入表5中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可以得出z1=117.08。

表6表示每個(gè)店鋪在允許調(diào)貨的前提下所能增加的利潤和利潤的總和。

4 模型評(píng)價(jià)改進(jìn)

本篇文章，從數(shù)學(xué)建模分析的角度出發(fā)，采用了較為簡單的數(shù)學(xué)模型，采取了必要的簡化措施，較為全面的解決了所提出的問題。

對(duì)第一問，只從局部即各家店鋪的利潤入手，利用所給的平均預(yù)估銷售量作為參考量，列出了各家店鋪的利潤函數(shù)，得到了最佳訂購量。將此訂購量作為目標(biāo)庫存，建立了一個(gè)以每個(gè)周期初庫存量為參考的最佳訂購策略。第二問，同樣是從局部即每家店鋪進(jìn)行分析，采用了泊松分布的模型，求出了失去銷售機(jī)會(huì)的概率。第三問，對(duì)“就近”的問題做了較大的簡化，結(jié)合第二問中給出的需求概率，得出了在簡化分析的情況下各個(gè)店鋪及其公司在每個(gè)周期利潤的增加。

針對(duì)模型的評(píng)價(jià)和提出的不足，為了更貼合實(shí)際，更好的解決實(shí)際問題，在今后針對(duì)此類問題的建模與分析中可以提出以下改進(jìn)建議：

（1）對(duì)需求量的預(yù)估，可以采取更靈活的模型，考慮銷售實(shí)際中的動(dòng)態(tài)變化更加準(zhǔn)確的分析；

（2）對(duì)題目中的就近問題，可以進(jìn)行更加貼近實(shí)際的考慮，例如，考慮實(shí)際路線的距離、店鋪所處位置的交通情況等。對(duì)于調(diào)貨問題，應(yīng)該允許相互調(diào)貨，還應(yīng)允許店鋪可以同時(shí)給多家店鋪調(diào)貨等；

（3）在模型中，應(yīng)該從公司的整體出發(fā)，通盤考慮各個(gè)店鋪，如在地理位置優(yōu)越的地方，如店鋪1、2，可以增加庫存，以備其他店鋪調(diào)貨。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳光亭， 裘哲勇. 數(shù)學(xué)建模[M]. 高等教育出版社， 2014.

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