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        與調(diào)和級數(shù)有關(guān)的幾個數(shù)理問題賞析*

        2022-11-14 17:07:37韋燕平
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期
        關(guān)鍵詞:散性塊磚級數(shù)

        韋燕平

        (江蘇省無錫市第一中學(xué) 214000)

        謝廣喜

        (江南大學(xué)理學(xué)院 214122)

        一般地,我們將表達式a1+a2+a3+…+an+…稱為無窮級數(shù)(簡稱級數(shù)),當無窮級數(shù)的極限存在時,稱級數(shù)收斂(無窮等比數(shù)列各項和就是一個特殊的收斂級數(shù)),否則稱級數(shù)發(fā)散.有關(guān)級數(shù)問題的深入研究主要在數(shù)學(xué)分析或復(fù)變函數(shù)論相關(guān)內(nèi)容中有探討,前者主要探討實數(shù)背景下的數(shù)列斂散性問題,而后者主要探討復(fù)數(shù)背景下的數(shù)列斂散性問題.

        我們將證明,對于任意大于SN0的正整數(shù)m,必存在n>N0,使得Sn-m∈(a,b),也即m+aN0,使得m+a

        為了與待證目標建立聯(lián)系,我們令mi=[SN0]+i(i=1,2,3,…),利用(** )式,則mi>SN0,再利用(*)式,知存在ni,當ni>N0時,有mi+a

        盡管調(diào)和級數(shù)本身是無法求和化簡的,但我們還是可以找到適當?shù)暮瘮?shù),動態(tài)描述其“下界”特性:

        (1)用a表示b,c;

        (2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

        簡解 (1)易得到b=a-1,c=-2a+1.

        解析 為理解方便,我們下面具體針對不含數(shù)字9的情形予以證明(讀者可以發(fā)現(xiàn),我們的證明實際上與該數(shù)字具體是幾是無關(guān)的).記r1=調(diào)和級數(shù)中不含數(shù)字9的1位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8項),r2=調(diào)和級數(shù)中不含數(shù)字9的2位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×9項),r3=調(diào)和級數(shù)中不含數(shù)字9的3位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×92項),…,rn=調(diào)和級數(shù)中不含數(shù)字9的n位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×9n-1項;一般地,我們利用乘法原理可得到這個結(jié)果,首位由于不能為0,又不能為9,故有8種選法,其他各位有9種選法,故滿足要求的n位(十進制)數(shù)共有8×9n-1個).

        評注為了記憶簡單方便,我們不妨稱此為特殊前提下調(diào)和級數(shù)的反常收斂,當然,如果我們將個位數(shù)的部分放縮得精致一些(現(xiàn)在的放縮顯然是比較粗糙的),則可得到更小一點的上界.

        簡解 與上題完全類似地,在k(k∈N*)位十進制正整數(shù)中,各位上的數(shù)碼不含2,0,1,6者共有(10-4)k=6k個,其中首位分別為3,4,5,7,8,9的各有6k-1個,于是

        圖1

        例5如圖1所示,將若干塊完全相同的均勻長方體磚塊疊放起來,第一塊磚相對于第二塊磚最右端能伸出去的最大長度為x1;此時將1,2塊磚看成一個整體,第二塊磚相對于第三塊磚最右端能伸出去的最大長度為x2;此時再將1,2,3塊磚看成一個整體,記第三塊磚相對于第四塊磚最右端能伸出去的最大長度為x3……第n塊磚相對于第(n+1)塊磚最右端能伸出去的最大長度為xn,試求Sn=x1+x2+…+xn(設(shè)每塊磚的長度為l).

        圖2

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