周英鍇 管玉婷

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 350100)

1 魔方簡介

圖1 三階魔方

三階魔方作為魔方中最為普遍的一種模型，是1974年魯比克教授發(fā)明的一種益智玩具．它總共有26個方塊，包含了6個中心塊、12個棱塊和8個角塊，其中，中心塊的相對位置不會改變，每個棱塊有兩種朝向，每個角塊有三種朝向(圖1)．

魔方起初被發(fā)明并不是作為一種益智玩具，而是為了教學(xué)．也就是說，魔方最開始是作為一個教具而存在的，魯比克教授用這種教具來輔助培養(yǎng)學(xué)生想象力的同時也對學(xué)生的思維進(jìn)行了訓(xùn)練．

魔方圈較為熟知的三階魔方還原方法有層先法、CFOP法、橋式法等等，而一般人要還原魔方則需要借助魔方還原公式和一定的想象能力.同時，即使有魔方公式，許多魔方愛好者也會思考如何用相對少的步驟去還原魔方，這也類似于數(shù)學(xué)中的“一題多解”，解法各不相同，但幾種解法通過對比就有較為簡便的做法．另一方面，許多人也曾思考對于一個任意被打亂的三階魔方所需要的最少還原步驟，數(shù)學(xué)家們將其稱為“上帝之?dāng)?shù)”.這個問題困擾了數(shù)學(xué)家三十多年，2010年8月，這個與數(shù)學(xué)交織而成的神秘的“上帝之?dāng)?shù)”終于水落石出.研究“上帝之?dāng)?shù)”的元老科先巴、新秀羅基奇以及另兩位合作者——戴維森和德斯里奇宣布了對“上帝之?dāng)?shù)”是20的證明[1]．因此，魔方不僅僅是一種益智玩具，更與數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系，更重要的是，學(xué)生也可以通過接觸魔方提升所需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2 魔方模型在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

近年來，數(shù)學(xué)試題中不斷涌現(xiàn)與魔方相關(guān)的改編題，高考題中更不乏其身影．一些題目雖然沒有直接提到魔方，但是題中所呈現(xiàn)的模型卻與魔方有著緊密的聯(lián)系．

例1(2019年全國II卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖2)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖3是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有個面，其棱長為．

圖2 圖3

題目中所出現(xiàn)的印信，在魔方中也可以找到模型與之對應(yīng)，混元魔方正是以圖3的印信為模型所創(chuàng)造的三階魔方的變種．如果學(xué)生對混元魔方有一定的接觸，那么我們利用其對稱性和幾何性質(zhì)，就可以幫助學(xué)生加深對模型的理解，從而更加直觀地得到幾何體的面數(shù)與棱長．

例2(2018年全國I卷)已知正方形的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為( )．

圖4 斜轉(zhuǎn)魔方

此題的難點(diǎn)在于要得到題目所要求的截面，許多學(xué)生對于正方體截面的常規(guī)性認(rèn)識可能只停留在三角形與四邊形，認(rèn)為截面的邊數(shù)不可能再增加，因此得不到正確答案．而答案所呈現(xiàn)的正六邊形截面，實(shí)際上與斜轉(zhuǎn)魔方(圖4)的旋轉(zhuǎn)切割面是一致的，這無疑給接觸過斜轉(zhuǎn)魔方的學(xué)生在幾何想象方面提供了極大的便利．

上述兩個例子是依據(jù)魔方本身的幾何性質(zhì)和想象能力進(jìn)行考查的問題.下面的例3則是將魔方與概率統(tǒng)計內(nèi)容相聯(lián)系進(jìn)行考查，無疑對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求．

例3現(xiàn)有一個復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，只可以轉(zhuǎn)動最外側(cè)的六個表面，某人按規(guī)定將魔方隨機(jī)轉(zhuǎn)動兩次，每次均順時針轉(zhuǎn)動90°，記頂面白色色塊的個數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望E(X)．

從例題中可以看到，雖然認(rèn)識這些魔方并不一定能直接得出題目的答案，但是卻能夠幫助學(xué)生加深對題目的理解，在一定程度上提供解題的思路．更重要的是，除了幫助學(xué)生解題，學(xué)習(xí)魔方的過程更是一種培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程，不僅可以幫助學(xué)生感悟數(shù)字與符號，更能提高學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)知與想象能力．

3 魔方對于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)

3.1 數(shù)感的培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了十個數(shù)學(xué)核心概念，數(shù)感就是其中之一，即對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計等方面的感悟能力．[2]在筆者看來，魔方中包含了許許多多的數(shù)字，最具代表性的就是魔方的變換總數(shù)，以三階魔方為例，其變換總共約有4.3×1019種情況.那么這個數(shù)字是如何得到的呢？

以下是三階魔方的基本性質(zhì)，我們引入而不證明．

命題1 三階魔方在其他塊顏色朝向、位置均正確的情況下不可能單獨(dú)交換一對棱塊的位置．

命題2 三階魔方的任意7個角塊朝向確定后，第8個角塊的朝向也會被唯一確定．

命題3 三階魔方的任意11個棱塊朝向確定后，第12個棱塊的朝向也會被唯一確定．

如果學(xué)生能夠理解這個變換總數(shù)并且知道如何得到這個數(shù)，那么一方面他就明白了想要隨便轉(zhuǎn)動幾下就還原一個充分被打亂的魔方是不可能的，這是一種對運(yùn)算結(jié)果的估計；另一方面，其對于數(shù)字運(yùn)算的敏感性也得到了培養(yǎng)．

學(xué)生在學(xué)習(xí)魔方的過程中可能對魔方的變換總數(shù)產(chǎn)生興趣，進(jìn)行數(shù)字的探索，并且在學(xué)生認(rèn)識到三階魔方的變換總數(shù)以及如何得出這個數(shù)字后，可能會產(chǎn)生更多的疑問激勵他們思考：二階魔方的變化總數(shù)是多少？五階魔方的變換總數(shù)是多少？奇數(shù)階與偶數(shù)階魔方在計算變換總數(shù)方面有什么不同？可否得到一般公式直接代入計算得出任意階魔方的變換總數(shù)？這些問題具有一定的挑戰(zhàn)性，但也促進(jìn)了學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動性，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，使他們在學(xué)習(xí)魔方的同時感受數(shù)字的奇妙.這不僅僅是數(shù)學(xué)知識和技能的獲得，更是情感價值觀上的共鳴．

3.2 符號意識的培養(yǎng)

符號意識主要是指能理解并運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律．[2]符號意識既與數(shù)字有關(guān)，又與抽象素養(yǎng)有關(guān)．學(xué)生通過數(shù)學(xué)符號，可以將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言．符號是一種特殊的表征方式，數(shù)學(xué)符號的使用和表達(dá)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)的重要方式．在數(shù)學(xué)中存在許多的公式，這些公式簡潔清晰地表達(dá)了數(shù)學(xué)的內(nèi)容，簡化了計算．為了使用這些公式，學(xué)生就需要清晰認(rèn)識公式中每個符號所代表的含義．

圖5

魔方在還原過程中，也存在公式的使用，我們以三階魔方CFOP頂層還原法中的一個公式為例．如圖5，魔方公式中的R′和R分別代表了魔方最右層逆時針轉(zhuǎn)動90°和順時針轉(zhuǎn)動90°，U′和U分別代表最頂層逆時針轉(zhuǎn)動90°和順時針轉(zhuǎn)動90°，U′2代表逆時針旋轉(zhuǎn)180°．

學(xué)生想通過公式還原魔方就必須理解這些字母所代表的含義，而這些字母與數(shù)學(xué)中的未知量、代數(shù)式有著一樣的本質(zhì)，它們都賦予了字母某種含義，通過學(xué)習(xí)魔方公式，就可以促進(jìn)學(xué)生理解未知數(shù)的含義．許多學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)方程時不理解未知數(shù)是什么，將其認(rèn)作沒有意義的字母，不能將其與數(shù)字聯(lián)系在一起，而有了魔方公式的基礎(chǔ)，就能幫助學(xué)生認(rèn)識到未知數(shù)的真正本質(zhì)．而且學(xué)生在接觸魔方公式時也能認(rèn)識到運(yùn)用符號帶來的簡化與直觀，并將這種思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)符號對于數(shù)學(xué)表達(dá)的簡便性和直觀性．

3.3 直觀想象的培養(yǎng)

直觀想象是通過幾何直觀和空間想象來感知圖形的變化的一種素養(yǎng)．[2]由于學(xué)生在還原魔方時需要對棱塊、角塊進(jìn)行轉(zhuǎn)動，而轉(zhuǎn)動后的魔方不僅棱塊、角塊位置會發(fā)生變化，每個色塊的顏色朝向也可能發(fā)生變化，因此在還原魔方的過程中就需要對轉(zhuǎn)動后的棱塊、角塊朝向、位置進(jìn)行想象和預(yù)判，這正是直觀想象素養(yǎng)中所指出的空間想象能力．在魔方復(fù)原的過程中，某些面不能完全被看到，只能通過反復(fù)的空間想象、空間圖形的分解與組合來判斷下一步的轉(zhuǎn)動方向，這就要求操作者不僅要認(rèn)識空間幾何圖形，還要能夠?qū)唧w的圖形進(jìn)行解剖．[3]魔方的還原基于想象及空間感知能力的發(fā)揮，需要在大腦中對三維圖形進(jìn)行變換．如果想更加直觀地認(rèn)識魔方的還原，則需要用符號或者圖形來表示還原魔方的步驟，將符號與圖形相聯(lián)系，這不僅僅需要學(xué)生認(rèn)識魔方，更需要空間想象能力來感知立體圖形的變化．?dāng)?shù)學(xué)中存在三種語言，即符號語言、圖形語言、文字語言，我們常常需要對這三種語言進(jìn)行互化，而魔方通過符號代表圖形轉(zhuǎn)動，用圖形轉(zhuǎn)動認(rèn)識符號，一方面幫助學(xué)生認(rèn)識符號語言與圖形語言，另一方面提升學(xué)生的語言互化能力．實(shí)際上，魯比克教授發(fā)明魔方正是為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，幫助學(xué)生理解三維問題．

魔方對想象力的培養(yǎng)更是直接體現(xiàn)在了魔方的比賽項(xiàng)目和規(guī)則之中，例如在選手拿到魔方后會有一定的觀察時間，目的是為了讓選手依據(jù)自己的想象力在腦海中形成還原步驟，步驟越簡單，復(fù)原所需的時間也就越短．同時魔方的比賽項(xiàng)目中有一項(xiàng)稱為盲擰，顧名思義是觀察之后不再借助視覺對魔方進(jìn)行還原，這就要求選手最初對魔方進(jìn)行觀察和編碼記憶，按照所編排的數(shù)字順序還原魔方．這個過程不僅考驗(yàn)了記憶，更需要在大腦中想象魔方方塊的位置變化．可以說，無論是魔方的設(shè)計、還原方法還是規(guī)則，都與空間想象能力有著密不可分的聯(lián)系．

3.4 轉(zhuǎn)化化歸的培養(yǎng)

學(xué)生在學(xué)習(xí)魔方的時候，一般是以三階魔方為基礎(chǔ)，基于自身的興趣，之后可能會去接觸二階魔方、四階魔方或者更多高階魔方，它們的還原方法都要基于三階魔方.以四階魔方為例，其需要事先拼好中心塊和棱塊，從而轉(zhuǎn)化為三階魔方的形式，此方法在魔方中稱為降階法．這種學(xué)習(xí)思想與數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化化歸思想有異曲同工之妙，都是通過觀察、分析、類比等方法將新問題轉(zhuǎn)化為原本熟悉的問題，而且這種思想在數(shù)學(xué)解題過程中尤為常見.例如解方程時出現(xiàn)了較高的次數(shù)，直接求解難度較大，就可以考慮是否能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為低次方程，將復(fù)雜問題簡單化．

例4解方程x2(x+2)2-x2-2x-6=0．

分析 這是一個四次方程，觀察到-x2-2x=-x(x+2)，因此令y=x(x+2)，就得到二次方程y2-y-6=0．從而解得y1=3，y2=-2，再將其代回y=x(x+2)，解得x1=1，x2=-3．

在魔方旋轉(zhuǎn)中，經(jīng)常要把一些陌生的類型轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過的類型，從而找到解決問題的方法．[4]因此學(xué)生在還原魔方時，可以將陌生的情況轉(zhuǎn)化為自己熟悉的情況從而達(dá)到還原魔方的目標(biāo)．轉(zhuǎn)化化歸思想不僅體現(xiàn)在一個魔方的還原過程中，還體現(xiàn)在不同種類魔方之間的轉(zhuǎn)化．魔方的種類繁多，不僅包含三階、四階魔方，還包含了金字塔魔方、鏡面魔方、移棱魔方等等，這些魔方的還原思想都與三階魔方有著緊密的聯(lián)系.例如鏡面魔方是三階魔方的變種，它的結(jié)構(gòu)跟三階魔方一樣也有26個塊，但是每個塊的大小都不一樣，這個時候只需要把26個不一樣大小的色塊分別對應(yīng)三階魔方中26個不一樣顏色的色塊，就可以類比轉(zhuǎn)化為三階魔方進(jìn)行復(fù)原．可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)化思想對于魔方的復(fù)原來說十分重要，學(xué)生在魔方的學(xué)習(xí)中意識到復(fù)雜的魔方可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，按照簡單魔方的思路進(jìn)行還原，由此學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸素養(yǎng)得到培養(yǎng)．在數(shù)學(xué)中我們也常常需要舉一反三和類比轉(zhuǎn)化，由一般的例子過渡到特殊的例子，理解兩者之間的聯(lián)系，加深對例子的理解．

4 結(jié)語

魔方對學(xué)生來說不僅是一種益智玩具，更是發(fā)展學(xué)生所需數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)有力工具．因此，教師可以適當(dāng)向?qū)W生介紹魔方與數(shù)學(xué)的關(guān)系，著眼于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生在了解魔方的同時也掌握其中所包含的數(shù)學(xué)知識，這不僅可培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，也可有意識地促進(jìn)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．