錢黃河 王迪 韓濤 丁志華

(浙江大學(xué)光電科學(xué)與工程學(xué)院,現(xiàn)代光學(xué)儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310027)

鑒于譜域光學(xué)相干層析成像(spectral-domain optical coherence tomography,SD-OCT)系統(tǒng)通常存在非線性采樣與色散失配等問題,需要額外的數(shù)據(jù)處理步驟.此外,所需要的成像區(qū)域往往是整個(gè)成像區(qū)域的一小部分,對于整個(gè)成像區(qū)域的計(jì)算帶來了算力資源浪費(fèi),而且在離散界面的定位方面,有限的軸向分辨率下亞像素偏差的存在限制了界面的測量精度.針對以上問題,本文提出了一種基于復(fù)數(shù)主從(complex master slave,CMS)OCT 相位信息的離散界面快速定位方法.聯(lián)合譜域與深度域的相位信息,精確求解CMS-OCT 的重建模板,并利用CMS-OCT 的相位信息,實(shí)現(xiàn)高精度的光程差檢測與離散界面定位.最后,通過精密光學(xué)量規(guī)和光學(xué)透鏡離散界面實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法能夠在快速定位的同時(shí),保持較高的分辨率和穩(wěn)定性.本文所提出的方法有效地解決了SD-OCT 系統(tǒng)的非線性采樣與色散失配問題,實(shí)現(xiàn)了局域范圍內(nèi)的高精度界面快速定位,有望促進(jìn)SD-OCT 在光學(xué)透鏡離散界面測量方面的應(yīng)用.

1 引言

光學(xué)透鏡在加工和裝配過程中涉及的參數(shù)很多,對于精密的光學(xué)透鏡,微小的參數(shù)變化可能使透鏡的性能下降甚至失效,因此對透鏡離散界面進(jìn)行精確測量具有重要意義.應(yīng)用最廣泛的調(diào)制傳遞函數(shù)測量可以直接反映透鏡成像性能的退化,然而它不能識(shí)別導(dǎo)致退化的結(jié)構(gòu)變化[1,2].一些表面輪廓測量技術(shù),如針尖式形貌檢測儀[3]、原子力式顯微輪廓儀[4,5]、基于干涉測量的輪廓儀[6-8]可以對單一界面進(jìn)行輪廓的精確測量,但無法無損地對多個(gè)界面進(jìn)行測量.其他測量技術(shù)可以測量透鏡表面之間的中心距離[9]以及元件偏心[10],但不能提供其整個(gè)表面的形貌信息.此外,X 射線顯微計(jì)算機(jī)斷層掃描是一種有效的無損測量方法,其空間分辨率約為幾微米,且需要大量的重建時(shí)間[11,12].

光學(xué)相干層析成像(optical coherence tomography,OCT)[13-15]是一種基于低相干干涉的非侵入、無損傷的三維斷層成像技術(shù),具有無損無輻射、高分辨率、高靈敏度等一系列優(yōu)點(diǎn).譜域OCT[16-18]是目前應(yīng)用最廣泛的OCT 成像技術(shù),相較于時(shí)域OCT,譜域OCT 在分辨率、信噪比、靈敏度和成像速度等方面具有顯著優(yōu)勢[19-21].鑒于譜域OCT技術(shù)的非侵入、非接觸、快速成像與低成本等優(yōu)勢,在光學(xué)透鏡離散界面的測量方面具有重要應(yīng)用.在譜域OCT 中,通過對干涉光譜信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換可以得到樣品的深度域信息.一方面,在探測干涉光譜的過程中,由于光柵型光譜儀的分光原理[22],線陣探測器等像素間隔位置采集到的光譜信號(hào)在波數(shù)域上并非線性分布,而快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)算法要求在波數(shù)域上均勻采樣,所以在變換之前需要對光譜信號(hào)進(jìn)行重采樣處理,來獲得均勻的干涉光譜信號(hào)[23].另一方面,除了非線性采樣帶來的影響,參考臂與樣品臂之間所用元件的差異,會(huì)導(dǎo)致雙干涉臂之間的色散不匹配,進(jìn)而導(dǎo)致軸向分辨率下降.為此,提出了一系列基于軟、硬件的解決方案.Hu 和Rollins[24]在光譜儀中引入棱鏡構(gòu)成波數(shù)均勻光譜儀,實(shí)現(xiàn)對波數(shù)線性光譜的采集.Perret 和Heuberger[25]利用法布里-珀羅干涉濾光片生成等間距的定標(biāo)譜線,通過多項(xiàng)式擬合獲得波數(shù)標(biāo)定結(jié)果,進(jìn)而獲得波數(shù)線性的光譜.Wojtkovski 等[26]提出使用匹配長度的玻璃來進(jìn)行色散補(bǔ)償.Rosa 等[27]提出使用基于光柵的相位控制延遲線,通過調(diào)整光柵的離焦量改變參考光路的色散系數(shù),從而補(bǔ)償色散失配.Marks 等[28]通過基于黃金分割法的迭代方法來獲取補(bǔ)償系數(shù)進(jìn)行色散補(bǔ)償.這類方法需要額外的硬件設(shè)施或較大的算力.與上述方法不同,Rivet 和Bradu 等[29-31]提出的復(fù)數(shù)主從(complex master slave,CMS)算法則無需考慮色散失配與非等間隔光譜采樣問題.而且,針對光學(xué)離散界面的快速定位需求,CMS 算法擁有快速處理的顯著優(yōu)勢.不過,該算法對重建模板的構(gòu)建精度具有很高的要求.

本文提出了一種基于CMS-OCT 相位信息的離散界面快速定位方法,該方法聯(lián)合譜域和深度域相位信息,校正了構(gòu)建CMS 模板時(shí)的亞像素偏差,并充分利用CMS-OCT 相位信息實(shí)現(xiàn)了亞采樣精度的深度域位置快速定位.通過比較所提出的方法與傳統(tǒng)成像方法進(jìn)行離散界面快速定位的效果,驗(yàn)證所提出方法的優(yōu)勢.

2 理論方法

2.1 傳統(tǒng)CMS 算法原理

對于單一界面位置z0,CMS-OCT 的深度域信號(hào)可以表示為

其中,ki為非均勻波數(shù)分布,I(ki,z0)為單一界面位置z0下的復(fù)數(shù)干涉信號(hào),g(ki)為均勻的波數(shù)分布,φ(ki,z0)為對應(yīng)的光譜域相位分布,記錄非均勻波數(shù)分布ki和深度域位置z0處的復(fù)數(shù)相位模板為

這種提取和代換使運(yùn)算規(guī)避了要求波數(shù)均勻分布的FFT,回歸了原始的矩陣乘法運(yùn)算,只需要知道相對相位的分布情況φ(ki,z0),即可求得復(fù)數(shù)相位模板M*,進(jìn)而通過矩陣運(yùn)算,得到z0處的深度域信號(hào)強(qiáng)度.模板中包含的z0意味著我們可以有選擇地構(gòu)建感興趣的成像區(qū)域的復(fù)數(shù)相位模板,實(shí)現(xiàn)有針對性的局域圖像重建.

CMS 算法分為主階段和從階段,主階段的目標(biāo)是構(gòu)建相位模板M*,主階段對于模板中φ的求取,一般使用光程差分別為z1=nΔz+δ1和z2=mΔz+δ2的單一界面干涉光譜進(jìn)行求解,其中 Δz為深度域采樣間隔,δ1和δ2為兩個(gè)峰值采樣點(diǎn)處的亞像素偏差,且m＞n,以深度域采樣值nΔz和mΔz生成離散采樣點(diǎn)pΔz處對應(yīng)的譜域相位為

其中,Nz為感興趣區(qū)域點(diǎn)的個(gè)數(shù),反映模板的大小;Nk為光譜采樣點(diǎn)數(shù).

從階段的目標(biāo)是求解感興趣區(qū)域內(nèi)的深度域信號(hào).通過從階段探測的干涉光譜與復(fù)數(shù)相位模板的矩陣相乘,可以得到感興趣區(qū)域的軸向反射系數(shù)分布:

基于離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)的CMS 算法與FFT 算法的時(shí)間復(fù)雜度分別為O(n2),O(nlogn),且

CMS 算法雖然在時(shí)間復(fù)雜度上大于FFT 算法,但是局域小范圍的實(shí)際運(yùn)算時(shí)間不涉及無關(guān)點(diǎn)的運(yùn)算,不需要計(jì)算所有深度區(qū)域,因此運(yùn)算時(shí)間更短;其次,數(shù)據(jù)采集完成后,重采樣算法還要進(jìn)行光譜重采樣與去色散等操作,進(jìn)一步增加了程序的運(yùn)行時(shí)間,在時(shí)間上更加落后.

2.2 改進(jìn)的CMS 模板構(gòu)建方法

為校正主階段構(gòu)建模板時(shí)的亞像素偏差,從用于構(gòu)建模板的單一界面深度域信號(hào)中提取峰值點(diǎn)位置處的深度域包裹相位,記為ψw(z0-δ),δ為峰值采樣點(diǎn)處相對于實(shí)際位置z0的亞像素偏差,z0-δ為離散的峰值采樣點(diǎn)位置,相較于理論深度域相位ψ(z0-δ)存在N次的相位包裹,對于這種相位包裹,可以聯(lián)合譜域相位φ(kc)進(jìn)行求解,其中kc為中心波數(shù).構(gòu)造深度域估計(jì)相位表達(dá)式為

對于(7)式中譜域相位φ(kc)的求取,可以使用最小二乘法擬合其譜域相對相位分布,擬合得到的曲線斜率為光程差的近似值,進(jìn)而與 2kc相乘得到:

求得深度域估計(jì)相位后,用于對深度域相對相位的解包裹,可以得到深度域絕對相位:

在得到深度域的絕對相位之后,可以計(jì)算其峰值點(diǎn)位置處的亞像素偏差δ:

求得峰值點(diǎn)處的亞像素偏差后,CMS 算法可以得到校正亞像素偏差的相位:

對比(3)式,可以看出結(jié)合相位檢測技術(shù)可以獲得更為精確的比例系數(shù),從而得到更精確的復(fù)數(shù)相位模板,進(jìn)而得到具有更高精度的定位效果.

2.3 利用CMS 相位信息的離散界面定位

為校正從階段矩陣運(yùn)算后得到的深度域信號(hào)的亞像素偏差,可以利用CMS 相位信息進(jìn)行更精確的離散界面定位.(1)式中的干涉光譜信號(hào)I(ki,z0)可以表示為

其中,S[g(ki)-kc]為光源功率譜;RR和RS分別是參考臂反射鏡和樣品的反射率.將(12)式代入(1)式中可得:

(13)式中,譜域相位φ(ki,z0)=2g(ki)z0+h(ki),φ(ki,z0-δ)=2g(ki)(z0-δ)+h(ki),h(ki)為 兩干涉臂之間的色散失配.將譜域相位代入(13)式并結(jié)合g(ki)＇=[g(ki)-kc]＇可以得到:

由(15)式可以看出,CMS 深度域信號(hào)在峰值點(diǎn)處的深度域相位為

CMS 的深度域信號(hào)ICMS(ki,z0)相當(dāng)于對波數(shù)均勻分布的譜域干涉光譜信號(hào)進(jìn)行逆DFT,有如下關(guān)系:

其中,Inon-chirp[g(ki),z0] 為波數(shù)均勻分布的譜域干涉光譜信號(hào).由(17)式可知,對CMS 的深度域信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換可以得到其波數(shù)均勻分布的譜域干涉光譜信號(hào),再對該信號(hào)進(jìn)行相位提取,可以得到其譜域相位信息:

從CMS 信號(hào)中獲取其深度域包裹相位與譜域相位信息后,可以根據(jù)(7)式-(10)式求得峰值位置處的亞像素偏差δ,再結(jié)合光程差(optical path difference,OPD)表達(dá)式 O PD=2z0=2(z0-δ+δ)得到精確的OPD:

由此可以看出,充分利用CMS 信號(hào)的深度域相位和譜域相位,可以解決深度域的相位包裹問題并得到更精確的OPD 求解結(jié)果.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)見圖2,在已有超高分辨譜域OCT系統(tǒng)基礎(chǔ)上[32],做出了部分改進(jìn).超連續(xù)光源發(fā)出光譜帶寬約為200 nm 的可見低相干光,經(jīng)2 倍擴(kuò)束器擴(kuò)束后,平行入射至分光比為1∶1 的分束器上(BS,Thorlabs),透射光部分經(jīng)30 mm 透鏡聚焦到參考臂平面鏡上,反射光部分則通過掃描振鏡(GVS012,Thorlabs)掃描,經(jīng)消色差透鏡(30 mm,Edmund optics)聚焦到樣品上;最終,兩束返回光重新匯聚,經(jīng)擴(kuò)束、50 μm 小孔濾波后入射至衍射光柵上(600 線/mm,Wasatch Photonics),形成寬光譜色散,最終被像素?cái)?shù)2048、行頻250 kHz 的線陣互補(bǔ)金屬氧化物半導(dǎo)體相機(jī)(CMOS,OCTOP LUS,Teledyne E2v)采集,實(shí)現(xiàn)了最高250 fps 成像速度(對應(yīng)于橫向1000 個(gè)采樣點(diǎn)數(shù))的快速成像.系統(tǒng)的橫向分辨率約為3.9 μm,軸向分辨率約為1.6 μm,成像量程約為687.82 μm.

圖2 譜域OCT 系統(tǒng)Fig.2.Spectral domain OCT system.

3.1 數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證相位模板對于重建結(jié)果的影響,對CMS 算法進(jìn)行了模擬.設(shè)置光源功率譜為高斯型,其波長范圍為 500—850 nm,光譜儀采樣點(diǎn)數(shù)為2048,主階段用于構(gòu)建模板的干涉光譜對應(yīng)的OPD 分別為 100 μm和120 μm.從階段模擬一個(gè)OPD為200 μm 的干涉光譜信號(hào),用于從階段的Aline 信號(hào)重建.使用傳統(tǒng)CMS 算法與改進(jìn)模板的CMS 算法以及重采樣去色散(phase calibration with dispersion compensation,PCDC)算法的重建結(jié)果如圖3 所示.可以看出,PCDC 算法與改進(jìn)模板的CMS-OCT 算法所獲得的峰值點(diǎn)位置均為165,傳統(tǒng)CMS 算法獲得的峰值點(diǎn)位置為166,根據(jù) Δz==0.6068 μm,其中Δz為深度域采樣間隔,N為光譜采樣點(diǎn)數(shù),Δk為光譜采樣間隔,求得PCDC 算法和改進(jìn)模板的CMS 算法的OPD: OPDPCDC=OPDICMS=2×165×0.6068 =200.244 μm;采用傳統(tǒng)CMS 算法得到的OPD 為OPDCMS=2×166×0.6068=201.4576 μm. 顯然,PCDC 算法與改進(jìn)模板的CMS 算法的重建結(jié)果高度一致,且更接近于設(shè)定值 200 μm,而傳統(tǒng)CMS 算法則出現(xiàn)了像素級別的誤差.

圖3 PCDC 算法、傳統(tǒng)CMS 算法和改進(jìn)的CMS 算法的定位結(jié)果Fig.3.Positioning results of PCDC algorithm,traditional CMS algorithm and improved CMS algorithm.

3.2 成像速度實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證CMS 算法在成像速度上的優(yōu)勢,在主階段使用兩塊厚度分別為1001 μm 和1009 μm 的不透明金屬量規(guī)進(jìn)行模板構(gòu)建,分別測量模板大小從100-2048 的成像速度,并與FFT算法的運(yùn)算速度進(jìn)行比較,結(jié)果如圖4 所示.可以看出,當(dāng)目標(biāo)成像區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)成像范圍的一小部分時(shí),采用CMS 算法具有顯著優(yōu)勢,且PCDC 算法在FFT之前需要進(jìn)行重采樣、去色散等一系列操作,成像速度進(jìn)一步降低.

圖4 CMS 算法和FFT 算法運(yùn)算時(shí)間的比較Fig.4.Comparison of the operation time between CMS algorithm and FFT algorithm.

3.3 不同CMS 模板重建結(jié)果對比

為了實(shí)際說明提出的相位模板構(gòu)建方法相較于傳統(tǒng)CMS 模板在單一界面定位上的優(yōu)勢,在主階段使用厚度分別為1001 μm 和1009 μm 的金屬量規(guī)構(gòu)建傳統(tǒng)模板與消除亞像素偏差后的模板,在從階段對厚度分別為 1250 μm 和1350 μm的金屬量規(guī)分別進(jìn)行單一界面定位,其結(jié)果見圖5.PCDC 算法和改進(jìn)的CMS 算法模板重建得到的兩量規(guī)峰值像素采樣間隔為nPCDC=nICMS=27-(-122)=149,根據(jù)Δz==0.6717 μm,可求得實(shí)際光程差 OPDPCDC=OPDICMS=2×149×Δz=200.1666 μm,傳 統(tǒng)CMS 算法得到的兩量規(guī)的峰值像素采樣間隔為nCMS=27-(-123)=150,其對應(yīng)的光程差為 O PDCMS=2×150×Δz=201.51 μm,實(shí)驗(yàn)中兩組量規(guī)的厚度差為100 μm,其對應(yīng)的OPD 為200 μm.顯然,改進(jìn)的CMS 模板較之傳統(tǒng)CMS 模板在界面定位方面具有明顯優(yōu)勢.

圖5 PCDC 算法、傳統(tǒng)CMS 算法和改進(jìn)的CMS 算法對厚度分別為1250 μm 和1350 μm 的金屬量規(guī)的定位結(jié)果Fig.5.Positioning results of metal gauges with a thickness of 1250 μm and 1350 μm obtained from the PCDC algorithm,the traditional CMS algorithm and the improved CMS algorithm.

3.4 量規(guī)重復(fù)性實(shí)驗(yàn)

為了實(shí)際說明所提出方法相較于傳統(tǒng)CMS 算法在單一界面定位上的重復(fù)性優(yōu)勢,將兩塊厚度分別為1250 μm和1350 μm 的金屬量規(guī)作為樣品,分別使用PCDC 算法、傳統(tǒng)CMS 算法(未改進(jìn)模板但利用了2.3 節(jié)所介紹的CMS 相位)和本文改進(jìn)的CMS 算法進(jìn)行量規(guī)OPD 的500 次重復(fù)測量,結(jié)果如圖6(a)所示.PCDC 算法得到的OPD 平均值為 200.0653 μm,傳統(tǒng)CMS 算法得到的OPD平均值為200.3724 μm,改進(jìn)的CMS 算法得到的OPD 平均值為200.0749 μm.圖6(b)-(d)分別給出了用PCDC 算法、傳統(tǒng)CMS 算法和改進(jìn)的CMS算法求取OPD 的分布情況.用傳統(tǒng)CMS 算法求取的OPD 的標(biāo)準(zhǔn)差為 74.8 pm,而用PCDC算法和改進(jìn)的CMS 算法求取的OPD 的標(biāo)準(zhǔn)差分別為21.3 pm和37.3 pm.可見改進(jìn)的CMS 算法具有更好的重復(fù)性,且其測量平均值與PCDC 算法具有高度一致性.

圖6 (a)用PCDC 算法(紅色)、傳統(tǒng)CMS 算法(藍(lán)色)以及改進(jìn)的CMS 算法(綠色)求取的OPD;(b)用PCDC 算法求取的OPD 分布情況;(c)用傳統(tǒng)CMS 算法求取的OPD 分布情況;(d)用改進(jìn)的CMS 算法求取的OPD 分布情況Fig.6.(a)OPD obtained by PCDC algorithm(red),traditional CMS algorithm(blue)and improved CMS algorithm(green);(b)OPD distribution obtained by PCDC algorithm;(c)OPD distribution obtained by traditional CMS algorithm;(d)OPD distribution obtained by improved CMS algorithm.

3.5 光學(xué)透鏡離散界面實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提出的方法在光學(xué)透鏡離散界面定位上的優(yōu)勢,并考慮到實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的量程限制,以蓋玻片的下表面與平凸透鏡的上表面作為樣品進(jìn)行探測,樣品示意圖如圖7 所示.分別使用PCDC 算法、傳統(tǒng)CMS 算法(未改進(jìn)模板但利用了2.3 節(jié)所介紹的CMS 相位)及本文改進(jìn)的CMS算法處理了三維圖像數(shù)據(jù),針對蓋玻片下表面以及平凸透鏡上表面的界面定位結(jié)果如圖8 所示.圖8(b)-(d)分別表示了PCDC 算法、傳統(tǒng)CMS算法及改進(jìn)的CMS 算法的三維重建結(jié)果,由于其OPD 動(dòng)態(tài)范圍較大難以注意到OPD 三維圖像之間的差異.圖8(b)-(d)為對應(yīng)圖8(b)-(d)中黑線處的軸向剖面圖,從其中虛線框的放大圖中可以看出本文所提出的方法與PCDC 算法具有高度一致性,而傳統(tǒng)CMS 算法具有相對較大誤差.為進(jìn)一步說明重建結(jié)果之間的差異,以PCDC 算法的重建結(jié)果作為基準(zhǔn),分別計(jì)算傳統(tǒng)CMS 算法和改進(jìn)的CMS 算法的重建結(jié)果與基準(zhǔn)間的標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算公式為

圖7 樣品成像范圍示意圖Fig.7.Schematic diagram of sample imaging range.

圖8 光學(xué)透鏡離散界面定位結(jié)果(a)PCDC 算法的定位結(jié)果;(b)傳統(tǒng)CMS 算法的定位結(jié)果;(c)改進(jìn)的CMS 算法的定位結(jié)果;(d)-(f)分別對應(yīng)圖(a)-(c)中黑線位置處的軸向剖面圖Fig.8.Positioning results of optical lens discrete interface:(a)Positioning results of PCDC algorithm;(b)positioning results of traditional CMS algorithm;(c)positioning results of improved CMS algorithm;(d)-(f)axial section at the black line in panel(a)-(c),respectively.

其中 O PDe為傳統(tǒng)CMS 算法和改進(jìn)的CMS算法計(jì)算得到的OPD 數(shù)值,O PDb為PCDC算法計(jì)算得到的OPD 數(shù)值.計(jì)算得到傳統(tǒng)CMS算法重建結(jié)果與基準(zhǔn)之間的標(biāo)準(zhǔn)差為340.1343,而改進(jìn)的CMS算法重建結(jié)果與基準(zhǔn)之間的標(biāo)準(zhǔn)差為16.6985,說明本文所提出的測量方法實(shí)現(xiàn)了高動(dòng)態(tài)范圍OPD的定量測量,可以良好地刻畫光學(xué)透鏡離散界面信息.

4 結(jié)論

本文提出了一種基于CMS-OCT 相位信息的離散界面快速定位方法,該方法保持了CMS 算法在局域成像上的速度優(yōu)勢,并結(jié)合譜域相位信息、深度域相位信息,精確地校正了信號(hào)在峰值點(diǎn)處的亞像素偏差,從而構(gòu)建更精確的復(fù)數(shù)相位模板,并充分利用CMS 相位信息進(jìn)行界面定位,獲得更好的定位效果.通過理論推導(dǎo)和模擬,說明了傳統(tǒng)CMS 算法模板構(gòu)建的問題,針對問題提出了模板構(gòu)建的新方法,并給出了利用CMS 相位進(jìn)行界面定位的方法.使用不同大小的模板進(jìn)行了成像速度實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了CMS 算法在成像速度上的優(yōu)勢;通過對比不同模板的重建結(jié)果,驗(yàn)證了構(gòu)建模板新方法的優(yōu)勢;通過對精密光學(xué)量規(guī)厚度差的重復(fù)性測量,驗(yàn)證了所提出方法相較于傳統(tǒng)方法在定位精度和重復(fù)性上的提高;最后對光學(xué)透鏡離散界面進(jìn)行了精確的定量測量,驗(yàn)證了所提出方法在光學(xué)透鏡離散界面精確定位方面的優(yōu)勢.