200126 上海市民辦福山正達(dá)外國語學(xué)校 支 鑫

教學(xué)互動(dòng)是指學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生之間在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)情境等方面的互動(dòng)．有效互動(dòng)的形式主要包括師生互動(dòng)、生生互動(dòng)以及學(xué)生與文本互動(dòng)．線上教學(xué)過程中，師生課上交流的距離變遠(yuǎn)了，但課后交流的距離卻變近了．此消彼長，這為數(shù)學(xué)專題課教學(xué)拓展了時(shí)間和空間．

良好的互動(dòng)是圍繞教學(xué)目標(biāo)展開，通過問題設(shè)計(jì)、比較分析、表達(dá)與交流等途徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考，產(chǎn)生思維碰撞的火花，從而實(shí)現(xiàn)教師與學(xué)生的共同發(fā)展．專題探究課不僅僅是對教材內(nèi)容的拓展應(yīng)用，同時(shí)更注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，以及進(jìn)行綜合性、探究性學(xué)習(xí)的能力．因其內(nèi)容坡度大、思考內(nèi)容多、思考過程中個(gè)體差異大，故傳統(tǒng)課堂教學(xué)很難讓每位學(xué)生充分體驗(yàn)到探究的完整過程．為此,筆者充分利用線上教學(xué)的優(yōu)勢，采取多種互動(dòng)方式，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自主探究的積極性，同時(shí)結(jié)合變式教學(xué)，對題目的條件進(jìn)行變式和推廣，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，步步深化，從而提高教學(xué)效率．

一、 研讀講義,獨(dú)立思考

問題1如圖1，點(diǎn)P為△ABC邊BC上一點(diǎn)，且BP

圖1

從學(xué)生的作業(yè)完成情況來看，大部分學(xué)生都能想到作三角形的一條中線，但實(shí)際上學(xué)生對這條中線所起到的作用并不明確，對于后續(xù)如何確定點(diǎn)Q的位置也沒有思路．根據(jù)學(xué)生作業(yè)情況的反饋，教師提供了一份閱讀講義(如表1所示)，闡述分析思路，引導(dǎo)學(xué)生通過研讀講義，自行找出問題中的條件與涉及的知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而獨(dú)立解決問題．

表1 “過三角形邊上一點(diǎn)作直線平分三角形面積問題”閱讀講義

“書讀百遍,其義自見”，反復(fù)閱讀講義的過程也是學(xué)生進(jìn)行深入思考的過程．學(xué)生受講義啟發(fā)，嘗試再作三角形中線．不難判斷點(diǎn)一定在邊上．那么只需利用平行線的性質(zhì)推論，構(gòu)造兩個(gè)面積相等的三角形，進(jìn)而可以找到點(diǎn)Q的位置．

畫法1：取BC邊的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AP，AD(如圖2所示)．過點(diǎn)D作AP的平行線，與AC交于點(diǎn)Q，則直線PQ即為所求．

圖2

從上述解題過程可以看出，解決此題的關(guān)鍵在于畫出中線，找到需要進(jìn)行面積互換的兩個(gè)三角形，并由此畫出平行線，進(jìn)而找到平行線與三角形一邊的交點(diǎn)，即為點(diǎn)Q．此例的設(shè)計(jì)充分運(yùn)用了平行線的性質(zhì)推論,為后續(xù)問題的解決提供了最基本的范例．

二、 生生互動(dòng)，小組交流

與此同時(shí)，還有學(xué)生提出疑問，既然可以通過作BC邊上的中線來解決問題，那么若作另兩邊的中線，方法是否相同？于是開始嘗試第二種方法，作AC邊上的中線．

畫法2：取AC的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PD，BD(如圖3所示)．過點(diǎn)B作PD的平行線，與AC交于點(diǎn)Q，則直線PQ是△ABC的面積平分線．

圖3

畫法2的產(chǎn)生是由于個(gè)別學(xué)生提出猜想，主動(dòng)嘗試并成功解決，得出結(jié)論，于是教師建議學(xué)生自行錄制講解視頻，將自己的思考過程和題目的做法完整呈現(xiàn)，與其他學(xué)生交流分享．學(xué)生在錄制講解視頻的過程中反復(fù)修改講解稿，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的使用規(guī)范，研究作圖方法和視頻錄制方法，鍛煉了動(dòng)手能力以及使用數(shù)學(xué)語言表述問題的能力．與此同時(shí)，其他學(xué)生通過觀看視頻、小組交流也掌握了此題的作圖方法．訂正作業(yè)的完成情況也得到了改善．由文本互動(dòng)到生生互動(dòng)，教師對學(xué)生提交的線上作業(yè)及時(shí)給予反饋，不斷增強(qiáng)學(xué)生的自信和繼續(xù)探究的興趣．

完成前兩種畫法后，師生共同提出第三種畫法，作第三條邊AB邊上的中線，結(jié)果又會(huì)如何呢？為了更好地處理這個(gè)問題，首先需要總結(jié)前兩種方法中的規(guī)律．師生發(fā)現(xiàn)本題的解題思路分為兩步.第一步，畫出三角形的一條中線，構(gòu)造一個(gè)三角形使其面積等于原三角形面積的一半；第二步，利用平行線的性質(zhì)，構(gòu)造等積三角形．

本節(jié)專題課進(jìn)行到此，前兩種方法的解答皆由學(xué)生通過自行閱讀講義或觀看講題小視頻來完成．但在畫法3的嘗試中，學(xué)生還是遇到了困難．此時(shí)教師登場，對此種方法進(jìn)行講解．通過構(gòu)造同底等積的三角形，將不規(guī)則圖形的面積巧妙轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．

三、 師生聯(lián)手,教學(xué)相長

學(xué)生在畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)了問題，在過點(diǎn)C作PD的平行線時(shí)，發(fā)現(xiàn)它與△ABC的邊的交點(diǎn)并不在三角形內(nèi)部(如圖4所示).即用于交換的面積相等的兩個(gè)三角形△BMP、△BCD有部分(△AMN)不在△ABC中，需再次利用平行線的性質(zhì)，在△ABC的內(nèi)部構(gòu)造△PNQ，使得S△PNQ=S△AMN.

畫法3：如圖4，取AB的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD，PD．過△ABC的頂點(diǎn)C作PD的平行線，與邊BA的延長線交于點(diǎn)M．聯(lián)結(jié)AP，過點(diǎn)M作AP∥MQ，與AC交于點(diǎn)Q．則直線PQ是△ABC的面積平分線．

從提出質(zhì)疑到問題解決，學(xué)生經(jīng)歷了“研讀講義，獨(dú)立思考”“生生互動(dòng)，小組交流”“師生聯(lián)手，教學(xué)相長”三種互動(dòng)方式．在線上教學(xué)背景下，師生形成了一個(gè)互相信任的“學(xué)習(xí)共同體”，加強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的理解和變通，培養(yǎng)了學(xué)生自主分析和解決問題的能力．在這一過程中，教師扮演的角色與其說是說教者，不如說是交流互動(dòng)平臺(tái)的提供者．

學(xué)生通過畫圖、研究發(fā)現(xiàn)畫法之所以不同的原因之一是受點(diǎn)P的位置影響，從而教師提出思考.若點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P的位置與以上三種方法之間是否有關(guān)聯(lián)，有什么關(guān)聯(lián)？教師將問題一般化，但解決問題的方法實(shí)質(zhì)并沒有變．師生再接再厲，開始迎接第二個(gè)挑戰(zhàn)．

問題2點(diǎn)P為△ABC邊BC上任意一點(diǎn)，請過點(diǎn)P作直線l，使該直線把△ABC分成面積相等的兩個(gè)部分(嘗試用多種方法畫圖)．

根據(jù)問題1的經(jīng)驗(yàn)，可通過作三角形的一條中線來輔助完成本題.此時(shí)不妨規(guī)定選擇作AC邊的中線作為輔助.讓學(xué)生嘗試點(diǎn)P選擇不同位置時(shí)的畫圖，得出三種結(jié)果．如圖5，當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)(即點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí))，直線l就是AP.如圖6，當(dāng)點(diǎn)P位于BC中點(diǎn)左邊時(shí)，會(huì)生成上述畫法2的情況．而如圖7，當(dāng)點(diǎn)P選在BC邊中點(diǎn)的右邊時(shí)，會(huì)生成上述畫法3的情況，即過點(diǎn)B作PD的平行線時(shí),平行線與AC的交點(diǎn)在△ABC的外部．在鞏固三種畫法同時(shí)，也總結(jié)出點(diǎn)的位置與以上三種畫法之間的聯(lián)系．如此一來，換一個(gè)角度，也真正看透了三種畫法的分類本質(zhì)．

圖4圖5

圖6圖7

四、 類比遷移，逐步感悟數(shù)學(xué)思想

基于以上思考，教師繼續(xù)追問：若點(diǎn)P不選在三角形的邊上，而是選擇在三角形內(nèi)部，會(huì)發(fā)現(xiàn)方法失效．對條件進(jìn)行微調(diào)，在變直為曲的情況下，探索畫法是否仍然守恒．

問題3△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，試在BC上確定點(diǎn)Q，使得折線A-P-Q恰好將△ABC的面積平分.

作法：如圖8，取BC的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PD，過A作PD的平行線交BC于點(diǎn)Q，則折線A-P-Q即為所求．

圖8

本題將點(diǎn)P的位置從“三角形上”移動(dòng)到“三角形內(nèi)”，題目的條件雖然發(fā)生改變，但解決問題的方法依然離不開畫中線和平行線再構(gòu)造等積三角形．這是對上述畫法的推廣應(yīng)用，學(xué)生可以拾階而上，類比遷移，逐步感悟數(shù)學(xué)思想．

學(xué)生在經(jīng)歷了問題2的三種方法后，在知識(shí)層面上對于平行線性質(zhì)推論的掌握和應(yīng)用能力有了較明顯的提升．同時(shí)在分析問題、解決問題等思維能力方面，學(xué)生也會(huì)主動(dòng)將問題與學(xué)習(xí)過的知識(shí)建立聯(lián)系，大膽嘗試，小心求證，尋求解決問題的方法．更令筆者欣喜的是，學(xué)生還會(huì)不斷提出新的問題，自主尋求新方法，為這類問題的解決方案提供了更多的可能性．

問題3的作業(yè)完成情況有了很大進(jìn)步.此時(shí)，已有學(xué)生提出，似乎當(dāng)點(diǎn)P位置變化時(shí)，方法也會(huì)不同．于是教師再次乘勝追擊，布置問題4．將原圖中點(diǎn)P的位置稍作調(diào)整，探尋點(diǎn)P的位置對畫法的影響．

問題4如圖9，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，試在AC上確定點(diǎn)Q，使得折線A-P-Q恰好將△ABC的面積平分．

圖9

學(xué)生的分析思路非常有意義，最可取之處在于有判斷、有構(gòu)思．(1)判斷點(diǎn)Q在邊AC上；(2)假設(shè)了三種不同中線的畫法(如圖10所示)，明確了要交換部分的面積(淺灰部分與深灰部分互換)，為進(jìn)一步畫圖提供了直觀的思路；(3)選擇熟悉的、較規(guī)則的圖形進(jìn)行面積互換．

圖10

下面展示學(xué)生的兩種畫法.

畫法1：如圖11，取BC的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PD，過A作PD的平行線，與BC的延長線交于點(diǎn)M，PM與AC交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)PC，過點(diǎn)M，作MQ∥PC，交AC于點(diǎn)Q.AD與PQ交于點(diǎn)O．

圖11

畫法2：如圖12，取AB的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD，過A作PD的平行線交CD于點(diǎn)M；過點(diǎn)M作MQ∥PC，交AC于點(diǎn)Q.通過平行線構(gòu)造兩組面積相等的三角形，實(shí)現(xiàn)面積互換．

圖12

學(xué)生自行提出問題、探究解決方案，研究興趣高漲．于是筆者順勢再次調(diào)整題目的條件，將點(diǎn)P位置重新移回到三角形邊上．

問題5如圖13，點(diǎn)P在△ABC的邊BC上，試在AC上確定點(diǎn)Q，使得折線A-P-Q恰好將△ABC的面積平分．

圖13

在解決問題的過程中分別選擇了三種中線的情況,但用到的知識(shí)和方法大體相同,則畫法1共有三種情況(如圖14所示)．

圖14

問題1到問題5的教學(xué)共持續(xù)一周時(shí)間．線上教學(xué)實(shí)施過程中，學(xué)生的課程學(xué)習(xí)主要依靠空中課堂和線上直播的方式來完成．在居家學(xué)習(xí)期間，學(xué)生每日的學(xué)習(xí)時(shí)間較為自由，可根據(jù)需要自行安排．同時(shí)，利用釘釘平臺(tái)的視頻會(huì)議模式，也可有效開展小組協(xié)作、師生互動(dòng)等活動(dòng)．在疫情防控、居家隔離的大環(huán)境下，學(xué)生面臨著學(xué)習(xí)方式的改變，勢必存在自主管理靠自己、課堂效果難監(jiān)測等問題．但與此同時(shí)，教師可充分發(fā)揮線上教學(xué)在時(shí)間和空間上的優(yōu)勢，為學(xué)生提供各類學(xué)習(xí)資源，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)模式，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性．