朱 斌

(南京師范大學第二附屬高級中學 320900)

1 賽題與證明

2022年第48屆俄羅斯數(shù)學奧林匹克聯(lián)邦區(qū)域競賽中有一道不等式試題：

設

a

,

b

,

c

,

d

為非負實數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，證明：①．

不等式①是一個分式不等式，每個分式項的分子都是一個三次單項式，分母含有三項，前面一項是一個二次單項式，后面兩項都是一次單項式.分子、分母中都含有相同的變量.由此入手進行拆項處理，則可打開解題思路．

證明

由于由二元均值不等式得則有所以同理可得

所以①式左故不等式①成立．

點評

如果按照不等式①的結構聯(lián)想到柯西不等式，將不等式①轉化為

≥4或者那么接下來就會思維受阻．

2 變式與推廣

如果不改變已知條件，只是考慮將不等式①的每個分式的分子、分母中相同變量的次數(shù)進行升冪，那么對上述證法做進一步深入分析后就會發(fā)現(xiàn)，在分母中必須添加適當?shù)捻?，并且應用均值不等式后能夠得到等，由此得到如下變式?/p>變式1 設

a

,

b

,

c

,

d

為非負實數(shù)，且

a

+

b

+

c

+

d

=8，證明：②．

證明

由于由三元均值不等式得則有所以同理可得其他三個不等式，將其累加后,得

②式左即不等式②成立．

變式2 設

a

,

b

,

c

,

d

為非負實數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，證明：③．

證明

由于由四元均值不等式得則有所以同理可得其他三個不等式，將其累加后,得

③式左即不等式③成立．

在變式1和變式2的基礎上，可以將上述競賽題作如下推廣：

推廣1

設

a

,

b

,

c

,

d

為非負實數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，

n

∈

N

，證明：

證法類似，留給讀者完成．

如果改變已知條件中的等式，那么用同樣的方法可以證明：

推廣2

設

a

,

b

,

c

,

d

為非負實數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=4

k

，

k

>0，

n

∈

N

，證明：