王福謙， 殷 勇

（西南交通大學(xué)希望學(xué)院基礎(chǔ)部，成都 610400）

0 引 言

為克服傳統(tǒng)平行板電容傳感器薄膜厚度測量靈敏度低的問題，基于平行板電容傳感器的測厚原理［1-5］，提出具有較高厚度測量靈敏度的6電極平行板電容傳感器。將理論分析和計算機數(shù)值模擬相結(jié)合，利用保角變換法、格林函數(shù)法及軟件Matlab，討論傳統(tǒng)平行板電容傳感器與6電極平行板電容傳感器的電場，給出2種電容量的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上比較2種平行板電容傳感器度的測量靈敏度，由軟件Matlab數(shù)值模擬結(jié)果，得到6電極平行板電容傳感器的靈敏度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)平行板電容傳感器的結(jié)論，并指出提升6電極平行板電容傳感器靈敏度的途徑。

1 傳統(tǒng)電容傳感器的電勢與電場強度

傳統(tǒng)平行板電容傳感器由間距為h、寬度為w及長度為L（L＞＞w）的幾何尺寸相同的兩平行板電極組成，上、下電極的電勢分別為U0和-U0，其沿長度方向的橫截面如圖1所示。

由于平行板電容傳感器的幾何尺寸滿足L＞＞w，故在垂直于電極長度方向的所有截面上的電場分布均相同，其電場可視為二維靜電場，在其任一截面z平面上的電勢分布，可用保角變換法來討論。因為指數(shù)函數(shù)可將z平面上0＜Im z＜h水平帶域變換為ζ平面的上半平面，所以，為了利用格林函數(shù)法研究計及邊緣效應(yīng)的傳統(tǒng)平行板電容傳感器的電勢分布，并進(jìn)一步給出場強分布，可作如下的保角變換［6］

經(jīng)變換式（1），如圖1所示的z平面上的由2電極位置所限定的水平帶形域0＜Im z＜h，就映射為ζ平面的上半平面，變換后ζ平面上的平行板電容傳感器電極橫截面的位置如圖2所示。

其端點坐標(biāo)可由式（1）確定。

經(jīng)此變換后，z平面上平行板電容傳感器內(nèi)的電勢分布，就變換為ζ平面上的位于其上半平面的如下的邊值問題：

對式（2）應(yīng)用格林函數(shù)法［7-8］，可得ζ平面上的電勢分布

由式（1），有

將式（4）中的ξ、η及由式（4）所確定的ξ1、ξ2、ξ3和ξ4代入式（3），則得z平面上平行板電容傳感器的電勢分布為

式中：x1＝x3＝-w/2；x2＝x4＝w/2；y1＝y(tǒng)2＝h；y3＝y(tǒng)4＝0。

由場強與電勢的微分關(guān)系E＝-?φ，利用式（5）可得傳統(tǒng)平行板電容傳感器內(nèi)的場強分布為

為給出邊緣效應(yīng)對平行板電容傳感器電場分布影響的直觀圖像，通過式（5），利用軟件Matlab對其場分布進(jìn)行數(shù)值模擬［9-10］，并繪制出其電場線和等勢線（面）圖（見圖3）。圖中的電場線與等勢線及極板均垂直，場線分布正確合理。

2 傳統(tǒng)平行板電容傳感器的電容及其隨電極間距的變化規(guī)律

2.1 傳統(tǒng)平行板電容傳感器的電容

設(shè)平行板電容傳感器上、下電極的電勢分別為U0和-U0，其自由電荷面密度為σ01及σ02（σ02＝-σ01），當(dāng)兩電極平板間填充有介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)時，由高斯定理得Dn＝σ01，有

平行板電容傳感器電極A的帶電量為

平行板電容傳感器的電容量為

2.2 傳統(tǒng)平行板電容傳感器的電容隨極板間距的變化規(guī)律及其測量靈敏度

圖4為由式（9）利用軟件Matlab［11-12］繪制出的傳統(tǒng)平行板電容傳感器的電容量隨電極間距在1～5 cm范圍內(nèi)變化圖像。由圖4可見，當(dāng)傳統(tǒng)電容傳感器極板間距較小時，其C-h曲線較陡，曲線斜率的絕對值較大，電容量隨著電極間距的增大減小得較快；而當(dāng)極板間距較大時，其C-h曲線較平緩，曲線斜率的絕對值較小，其電容量隨著電極間距的增加減小得較慢。

由式（9）可得，傳統(tǒng)平行板電容傳感器厚度測量的靈敏度為

圖5為由式（10）利用軟件Matlab繪制出的傳統(tǒng)電容傳感器的靈敏度k隨電極間距在1～5 cm范圍內(nèi)的變化圖像。

由圖5可見，當(dāng)傳統(tǒng)電容傳感器電極間距較小時，其測量靈敏度較低，當(dāng)電極間距較大時，其靈敏度較高，傳統(tǒng)電容傳感器的靈敏度k隨電極間距的變化規(guī)律與圖4給出的其電容C隨電極間距的變化規(guī)律是一致的。

3 6電極平板電容傳感器的電勢與電場強度

6電極平行板電容傳感器探頭由間距為h的兩組互相平行板電極組成，上部3個電極電勢為U，下部3個電極的電勢為-U，電極的寬度和間距分別為w和s，其橫截面如圖6所示。

各電極長度為L，且L遠(yuǎn)大于各電極的寬度w。在垂直于電極長度方向的所有截面上的電場分布均相同，可取任一截面為z平面來討論電勢和場強在的分布。指數(shù)函數(shù)可將z平面上0＜lm z＜h水平帶域變換為ζ平面的上半平面，為利用格林函數(shù)法計算z平面上6電極平行板電容傳感器電勢的分布，可作如下的保角變換［6］：

經(jīng)變換式（11），z平面上由傳感器電極橫截面位置所限定的水平帶形域0＜lmz＜h，映射為ζ平面的上半平面，變換后的ζ平面上各平板電極橫截面如圖7所示，各電極端點位置坐標(biāo)由式（11）確定。

經(jīng)上述變換，z平面上6電極平行板電容傳感器內(nèi)的電勢分布就變換為ζ平面上位于其上半平面如下的邊值問題

對式（12）應(yīng)用格林函數(shù)法［13-14］，可得ζ平面上的電勢

由式（11），有

將式（14）中的ξ、η及由式（14）確定的ξ1—ξ12代入式（13），積分后則得z平面上6電極平行板電容傳感器內(nèi)電勢分布

由場強與電勢的微分關(guān)系E＝-?φ，利用式（15）并考慮該式中x1＝x7＝-x6＝-x12＝-（1.5w＋s）；x2＝x8＝-x5＝-x11＝-（0.5w＋s）；x3＝x9＝-x4＝-x10＝-0.5w；y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝y(tǒng)4＝y(tǒng)5＝y(tǒng)6＝h；y7＝y(tǒng)8＝y(tǒng)9＝y(tǒng)10＝y(tǒng)11＝y(tǒng)12＝0?？傻?電極電容傳感器的場強：

為給出6電極平行板電容傳感器內(nèi)電場分布的直觀圖像，以驗證本文所得結(jié)論的正確性，下面用數(shù)學(xué)軟件Matlab對電場分布進(jìn)行數(shù)值模擬［15］，電場線和等勢線的分布如圖8所示。由圖8可見，電場線與等勢線及導(dǎo)體邊界均垂直，場線分布正確，為預(yù)期結(jié)果。

4 6電極平行板電容傳感器的C-h變化規(guī)律

為簡化6電極平行板電容傳感器極板帶電量及電容量的計算，令其上極板接地，下極板的電勢為U，則由式（16）可得該傳感器下部中間電極的電荷面密度

此情形下6電極平行板電容傳感器下部中間電極的帶電量為

由式（18）得6電極平行板電容傳感器中間兩電極的電容量為

將6電極平板電容傳感器中間兩電極用同軸屏蔽線連接到測試電路上，經(jīng)誤差校準(zhǔn)后，就可在儀表上讀出對應(yīng)于不同薄膜厚度的電容值。圖9為利用軟件Matlab繪制的6電極平行板電容傳感器中間極板電容量隨極板間距在1～5 cm區(qū)間變化的圖像，由圖9可見，當(dāng)6電極平行板電容傳感器的極板間距較小時，Ch曲線的斜率較大，隨著極板間距在增加，其電容量減小得較慢。

5 傳統(tǒng)平行板電容傳感器與6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的比較

圖10（a）～（d）為由式（9）、（19）利用軟件Matlab繪制的傳統(tǒng)平行板電容傳感器和6電極平行板電容傳感器電容量隨極板間距的變化圖像（其中虛線和曲線分別為傳統(tǒng)平行板電容傳感器和6電極平行板電容傳感器電容量隨極板間距的變化圖像）。結(jié)果表明［16］，當(dāng)介質(zhì)厚度變化相同時，6電極平行板電容傳感器測出的電容值的變化幅度比傳統(tǒng)平行板電容傳感器的大，測量靈敏度高。對于電極間距在1～4 cm的測厚范圍內(nèi)，由圖10中曲線可見，在各圖中的w、L、s及εr給定的情況下，6電極平行板電容傳感器的平均靈敏度ΔC/Δh大約為傳統(tǒng)電容傳感器的190%、210%、175%和420%。

由圖10可見，與傳統(tǒng)平行板電容傳感器相比，6電極平行板電容傳感器對填充材料厚度的測量具有較高的靈敏度，但隨著測量厚度的增加，兩種傳感器厚度測量的靈敏度的差別變小，但6電極平行板電容傳感器的靈敏度仍高于傳統(tǒng)平行板電容傳感器。

6 提高6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的途徑

根據(jù)式（19），通過軟件Matlab數(shù)值模擬，研究電極的寬度w和電極間距s對6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的影響，以尋找提高6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的途徑。

6.1 電極間距s保持為常量，電極寬度w變化

由圖11可見，在電極間距s一定的情況下，隨著電極寬度w的增大，C-h曲線的斜率在增大，6電極平行板電容傳感器的靈敏度提高。

6.2 電極寬度w保持為常量，電極間距s變化

由圖12可見，在電極間距w一定的情況下，隨著電極寬度s的增大，C-h曲線的斜率無明顯變化，6電極平行板電容傳感器靈敏變化幅度很小，說明電極間距的變化對其測量靈敏度的影響不大。

綜上所述，影響6電極平行板電容傳感器靈敏度主要因素為電極的寬度w，增大w可提高6電極平行極電容傳感器靈敏度，而電極間距s的大小對其靈敏度的影響不大。

7 結(jié) 語

計算機數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第3種研究手段。本文將理論分析與計算機數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了6電極平行板電容傳感器的輸出特性，指出了提高6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的途徑。本文提出的6電極平行板電容傳感器，不但繼承了傳統(tǒng)電容傳感器測厚技術(shù)結(jié)構(gòu)簡單、操作方便、可控性強等優(yōu)點，還較大幅度地提升了厚度檢測的靈敏度，為多電極平行板電容傳感器及新型傳感器的設(shè)計，提供了一種新的方法，在科研上具有一定的理論意義和實用價值，也可供相關(guān)問題的研究參考。