李 敏， 曹 樂， 黃經(jīng)緯

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

Spar平臺用于深海石油的鉆探、生產(chǎn)、儲存和卸載，一般包括上部模塊和柱體模塊兩部分，可作業(yè)于水深400 m以上[1,2]。由于其自身具有深吃水和大慣性的優(yōu)點，Spar平臺在工作條件下不會引起較大的垂蕩和縱搖運動。然而，當(dāng)遇到長周期的涌浪或近共振周期時，仍會造成平臺的失穩(wěn)[3]。參數(shù)失穩(wěn)是一種可能引起海洋結(jié)構(gòu)物過度運動的現(xiàn)象[4]。Hong Y P等人[5]通過一系列的測試模型對Mathieu不穩(wěn)定問題進行研究，提出當(dāng)垂蕩頻率與縱搖固有頻率相近或為其2倍時，會發(fā)生較大的參數(shù)縱搖。Jameel M等人[6]通過應(yīng)用Spar平臺的不穩(wěn)定三維圖，得到增加初穩(wěn)性高可減小參數(shù)的失穩(wěn)區(qū)域。同時，減小初穩(wěn)性高的變化可進一步避免Spar平臺陷入不穩(wěn)定。桑松等人[7]通過采用理論分析與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，表明垂蕩運動幅值的增大是Spar平臺發(fā)生Mathieu U S不穩(wěn)定現(xiàn)象的主要原因。Nallayarasu S等人[8]通過采用面板法對平臺的水動力響應(yīng)進行了數(shù)值模擬，研究結(jié)果表明，水線面面積的減小有利于增大垂蕩運動的固有周期，從而增加Spar平臺的穩(wěn)定性。李偉等人[9]采用1︰120的Spar平臺制作模型，在規(guī)則波中進行垂蕩—橫搖—縱搖耦合運動響應(yīng)試驗，指出當(dāng)入射波浪頻率在垂蕩固有頻率附近變化時，平臺的運動響應(yīng)幅度會發(fā)生跳躍現(xiàn)象。為了使Spar平臺更加穩(wěn)定，可參考Spar浮標的結(jié)構(gòu)設(shè)計，即增大縱搖運動的固有頻率，但尚未判斷結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)對縱搖運動固有頻率不確定度的影響程度[10]?；谝陨戏治?，目前大部分文獻通過數(shù)值分析或?qū)嶒烌炞C的方法討論了影響Spar平臺穩(wěn)性的敏感參數(shù)，并沒有對這種影響進行量化分析。

為了解決上述問題，本文通過建立Spar平臺垂蕩—縱搖運動響應(yīng)模型，考慮由建造過程中引起的結(jié)構(gòu)尺寸的不確定性，并基于所選樣本的隨機模型分析了不確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)對Spar平臺縱搖固有頻率的影響，得到其中的關(guān)鍵因素，幫助設(shè)計人員在Spar平臺的設(shè)計初期提供建議或優(yōu)化參考。

1 模型建立

為了定性分析Spar平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)對縱搖運動固有頻率的影響，本文將Spar平臺在運動過程中的排水體積、阻尼等因素作為一個常量。根據(jù)圖1中所給Spar平臺模型，忽略波浪力的影響，重點研究Spar平臺在垂蕩運動作用下引起的縱搖運動。首先，考慮Spar平臺的縱搖運動特征，其微分方程[11]表示為

(1)

式中I55為縱搖運動的轉(zhuǎn)動慣量，A55為縱搖運動的附加轉(zhuǎn)動慣量，ξ5(t)為縱搖角，B55為阻尼系數(shù)，Δ為浮體排水量，dGM0為浮體在靜水中的初穩(wěn)性高。轉(zhuǎn)動慣量與附加轉(zhuǎn)動慣量表示如下

(2)

(3)

式中kyy為回轉(zhuǎn)半徑，l為平臺長度，ρ為海水密度，D為平臺直徑，dKG為K與G的距離，Df為平臺吃水深度。

圖1 Spar平臺結(jié)構(gòu)模型

另外，縱搖回復(fù)剛度K55的大小由浮體排水量Δ與浮體初穩(wěn)性高dGM0的乘積決定。隨著平臺的運動，浮體初穩(wěn)性高和瞬時排水量發(fā)生改變，即Spar平臺在長周期浪涌情況下的縱搖運動回復(fù)力矩將發(fā)生變化。

垂蕩位移ξ3(t)可以表示為

ξ3(t)=ξ3cos(ω3t)

(4)

式中ξ3(t)為垂蕩位移，ξ3為其幅值大小，ω3為垂蕩運動的頻率。

初穩(wěn)性高dGM表示為

(5)

式中η(xw,yw,t)為瞬時波面上升高度。

浮體排水量表示為

(6)

忽略高次諧波項，不計波面升高的影響，縱搖回復(fù)剛度表示為

(7)

將式(7)代入式(1)中，并對其進行無量綱化處理，縱搖運動方程可表示為

(8)

(9)

2 不確定度分析

基于Spar平臺縱搖運動固有頻率的確定性模型，根據(jù)輸入?yún)?shù)的不確定性對輸出參數(shù)進行量化分析。圖2給出了基于樣本隨機建模的詳細過程，輸出參數(shù)的可變性是通過隨機選擇的許多不同輸入?yún)?shù)組合進行評估，主要包括以下2個步驟：首先,根據(jù)輸入?yún)?shù)的概率分布函數(shù)，通過收斂性分析量化輸入?yún)?shù)的不確定性，當(dāng)輸入?yún)?shù)收斂于一個確定值時即可選定輸入?yún)?shù)組合的數(shù)量；然后,利用已經(jīng)建立的確定模型將輸入?yún)?shù)的不確定性映射到輸出參數(shù)上，并根據(jù)結(jié)果對輸出參數(shù)的可變性進行量化。

圖2 基于樣本的隨機模型

根據(jù)輸入?yún)?shù)的概率分布函數(shù)可表示其不確定性，并通過蒙特—卡洛采樣方法生成參數(shù)的隨機樣本，基于該樣本即可利用確定性模型對輸出參數(shù)的不確定性進行分析。

Spar平臺的動態(tài)響應(yīng)主要取決于海浪運動及平臺自身結(jié)構(gòu)參數(shù)，由于海浪運動為不可控因素，本文僅考慮平臺結(jié)構(gòu)尺寸對其動態(tài)響應(yīng)的影響。因此，本文根據(jù)輸入?yún)?shù)平臺直徑D,排水深度Df,長度l,dKG,初穩(wěn)性高dKG0及回轉(zhuǎn)半徑kyy的分布情況對輸出參數(shù)縱搖運動固有頻率ωn5及參數(shù)d的不確定度進行分析。由于以上輸入?yún)?shù)為設(shè)計建造過程所確定，其不確定度可根據(jù)實際平臺尺寸來設(shè)置。假設(shè)各輸入?yún)?shù)對應(yīng)的選值集合均滿足均值為μ，標準差為σ的正態(tài)分布，本文將均值作為輸入?yún)?shù)的設(shè)計值，標準差表示平臺建造過程中的設(shè)計誤差，輸入?yún)?shù)的不確定度Cov定義為對應(yīng)標準差與均值的比值，即Cov=σ/μ，顯然，標準差越大、均值越小的輸入?yún)?shù)的不確定度越大，而確定參數(shù)的不確定度為零。

通過對輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)進行隨機收斂分析進一步確保所選樣本具有代表性，從而確定樣本個數(shù)。在隨機收斂分析過程中，輸入與輸出參數(shù)的均值與方差均會隨著樣本數(shù)量的增加，收斂到相應(yīng)的設(shè)計值與計算值，因此，可通過隨機收斂分析的方法確定樣本的個數(shù)Ns。參數(shù)樣本選定后，將各個樣本分別代入所建立的輸入、輸出參數(shù)的確定性模型中，從而獲得輸出參數(shù)的不確定性，進而評估可變輸入?yún)?shù)對輸出參數(shù)不確定度的影響。

由于輸入?yún)?shù)具有可變性，通過確定性模型計算得到的輸出參數(shù)才具有不確定性，本文定義四分位差I(lǐng)QR來量化輸出參數(shù)的這種不確定性，該值代表輸出參數(shù)分布中25%概率位置對應(yīng)值P25與75%概率位置對應(yīng)值P75的差值

IQR=P75-P25

(10)

3 收斂性分析

根據(jù)輸入?yún)?shù)的概率分布函數(shù)可表示其不確定性，并通過相應(yīng)的抽樣方法生成參數(shù)的隨機樣本，基于該樣本即可利用確定性模型對輸出參數(shù)的不確定性進行分析。因此，本文根據(jù)輸入?yún)?shù)平臺直徑D,排水深度Df,長度l,dKG,初穩(wěn)性高dGM0及回轉(zhuǎn)半徑kyy的分布情況對輸出參數(shù)縱搖運動固有頻率ωn5的不確定度進行分析。為了使輸出參數(shù)的分布更具代表性，需要大量輸入?yún)?shù)樣本對輸出參數(shù)進行評估，由于該過程計算量較大，無法直接應(yīng)用于實際操作中。因此，本文通過收斂分析方法確定能代表輸入?yún)?shù)組合分布的最少樣本數(shù)量，同時保證輸出參數(shù)的穩(wěn)定分布。

表1給出了一種經(jīng)典Spar平臺的主要參數(shù)，由于測量過程中存在誤差，很難得到相關(guān)參數(shù)的準確值，因此將基于該平臺設(shè)計值選定輸入?yún)?shù)組合的樣本數(shù)量：D=37.2 m,l=212.9 m,Df=198.1 m,kyy=59.2 m,dKG=89.0 m,dGM0=10.08 m，且將以上輸入?yún)?shù)的不確定度Cov均設(shè)為0.01。

表1 Spar平臺主體尺度參數(shù)

輸入輸出參數(shù)通過利用隨機收斂方法對不同數(shù)量下的樣本進行分析。輸入?yún)?shù)的隨機收斂分析如圖3所示。

圖3 輸入?yún)?shù)的均值收斂分析

觀察圖3可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)輸入?yún)?shù)的樣本數(shù)量Ns<300時，輸入?yún)?shù)的均值波動較大；當(dāng)Ns=300時，輸入?yún)?shù)雖仍有一定的波動，但波動范圍均控制在1%以內(nèi)。因此，300個樣本可以保證輸入?yún)?shù)的均值穩(wěn)定地收斂至給定值。對于輸入?yún)?shù)標準偏差的收斂分析如圖4所示，由于標準差為均值的高階函數(shù)，當(dāng)輸入?yún)?shù)樣本數(shù)仍取300時，標準差并不會像均值呈現(xiàn)出很好的收斂態(tài)，波動依然很大。此時，必須增大樣本數(shù)量以保證輸出參數(shù)的穩(wěn)定分布。當(dāng)樣本數(shù)量增大到500時，輸入?yún)?shù)(D,l,Df,kyy,dKG,dGM0)的標準差分別在0.14%，2.28%，0.57%，1.8%，1.19%，0.99%，波動幅度均在2.5%以內(nèi)。

圖4 輸入?yún)?shù)的標準差收斂分析

同樣，對確定模型下的輸出參數(shù)進行收斂性分析。由圖5很容易得到，當(dāng)樣本數(shù)量Ns=300時，輸出參數(shù)的均值很容易收斂到給定值，該樣本數(shù)量下完全滿足輸出參數(shù)的穩(wěn)定分布。為了同時滿足其標準差的波動幅度也收斂至較小范圍內(nèi)，如圖5(b)所示，當(dāng)樣本數(shù)量增大至500時，輸出參數(shù)的標準差波動幅度可收斂至4%以內(nèi)，能夠作為代表性樣本。根據(jù)以上收斂性分析，選取樣本個數(shù)Ns=500，能夠進行后續(xù)分析。

圖5 輸出參數(shù)的均值收斂與標準差收斂分析

4 輸出參數(shù)不確定性分析

圖6給出了輸出參數(shù)的分布情況，顯然，該分布已經(jīng)不滿足正態(tài)分布的定義，這是由于所構(gòu)建的模型中含有非線性因素。其中，P5,P25,P50,P75分別為輸出參數(shù)分布直方圖中5%,25%,50%,75%概率位置對應(yīng)值。由式(10)計算可知，輸出參數(shù)ωn5的分布情況與IQR的大小一致。因此，可以用IQR來量化表征輸出參數(shù)的不確定性。

圖6 輸出參數(shù)ωn5的直方圖分布

為了分析輸入?yún)?shù)對輸出參數(shù)不確定性的影響程度，可采用控制變量法將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而研究被改變的輸入?yún)?shù)不確定度Cov對輸出參數(shù)的影響。將變化的輸入?yún)?shù)Cov的范圍設(shè)定為0.01～0.11，其他輸入?yún)?shù)的Cov均保持0.01，根據(jù)輸出參數(shù)ωn5的IQR與輸入?yún)?shù)D,Df,l,dKG,dGM0及kyyCov函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，得到圖7中不同輸入?yún)?shù)的Cov對不同輸出參數(shù)IQR的影響。觀察圖7輸出參數(shù)ωn5的IQR的影響分布圖，當(dāng)平臺直徑D的Cov從0.01增大到0.11時，ωn5的IQR的變化范圍最大，表明縱搖固有頻率ωn5受平臺直徑D的影響最大。同時，改變平臺初穩(wěn)性高dGM0的Cov時，ωn5的IQR也會受到較大影響，當(dāng)dGM0的Cov從0.07增長至0.09時，輸出參數(shù)ωn5的IQR由0.000 197 8增長至0.000 397 1，繼續(xù)增大Cov到0.11，此時輸出參數(shù)IQR的增長速率達到1.45 %。其余輸入?yún)?shù)Df,l,dKG和kyy對ωn5的IQR幾乎沒有影響。

圖7 不同輸入?yún)?shù)Cov對應(yīng)的ωn5的IQR

5 結(jié) 論

本文采用不確定度分析方法，建立了基于隨機采樣的不確定度分析模型，通過該模型評估了Spar平臺直徑、排水深度、平臺長度、初穩(wěn)性高及回轉(zhuǎn)半徑對縱搖固有頻率的影響。研究表明:平臺直徑與初穩(wěn)性高的改變對Spar平臺縱搖固有頻率的影響較大。鑒于以上建議，目前正在建造或直到今天建造的Spar平臺被認為是相對良好的設(shè)計。對于不穩(wěn)定的運動問題，這些Spar平臺的典型特征可能沒有大的問題。但是，當(dāng)要進行新設(shè)計或修改現(xiàn)有的Spar設(shè)計時，本文介紹的結(jié)構(gòu)參數(shù)的不穩(wěn)定性分析方法和上述建議可以向設(shè)計人員提供參考。