胡慧如，黃先玖

(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,江西 南昌 330031)

本文主要討論以下Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

(0.1)

其中(-Δ)α表示分?jǐn)?shù)階Laplacian算子，其階數(shù)為α∈(0,1)，V是可變號(hào)的。在(0.1)中，第一個(gè)方程是一個(gè)非線性分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程，位勢(shì)函數(shù)φ滿足一個(gè)非線性分?jǐn)?shù)階Poisson方程。因此，(0.1)被稱為Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)，或又被稱為分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Maxwell系統(tǒng)。它不僅是經(jīng)典非線性薛定諤方程(NLS方程)在物理上的相關(guān)推廣，也是分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中的一個(gè)重要模型。關(guān)于更多的物理背景可參閱文獻(xiàn)[1-3]及其參考文獻(xiàn)。

眾所周知，分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)是由Giammetta[4]首次提出的，擴(kuò)散項(xiàng)僅在Poisson方程中是分?jǐn)?shù)階的。之后，文獻(xiàn)[5]在V(x)≡0且非線性項(xiàng)f(x,u)呈次臨界或臨界增長(zhǎng)時(shí)證明了方程(0.1)徑向基態(tài)解的存在性。另外，文獻(xiàn)[6]在V(x)為正的情況下，利用噴泉定理證明了方程(0.1)無(wú)窮多個(gè)解的存在性。

近年來(lái)，下面的變號(hào)位勢(shì)函數(shù)開(kāi)始被研究：

(V1)V∈C(3,)且

許多學(xué)者研究了帶有上述變號(hào)位勢(shì)及具有不同增長(zhǎng)條件的Schr?dinger方程無(wú)窮多解的存在性，例如文獻(xiàn)[7-8]。在前人工作的基礎(chǔ)上，又有許多學(xué)者在同樣的情況下，研究了不同方程的無(wú)窮多解。例如，文獻(xiàn)[7-18]及其參考文獻(xiàn)。特別地，Zhou[8]和Bao[9]討論了帶有變號(hào)位勢(shì)的Schr?dinger-Poisson方程無(wú)窮多個(gè)小能量解的存在性。然而，很少有文獻(xiàn)通過(guò)對(duì)偶方法處理分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)。

借鑒文獻(xiàn)[8-9]中的方法，我們將對(duì)V和f做以下假設(shè)，討論方程(0.1)在局部非線性條件下無(wú)窮多個(gè)小能量解的存在性：

(V2) 對(duì)?M>0，有

meas{x∈3:V(x)≤M}<+∞,

(f1) 存在常數(shù)δ1>0和1

|f(x,t)|≤a(x)|t|r1-1,|t|≤δ1,?x∈3,

(f3) 存在常數(shù)δ2>0，使得對(duì)任意的|t|≤δ2和x∈3有f(x,-t)=-f(x,t)。

下面，我們給出本文的主要結(jié)論。

且當(dāng)k→∞時(shí)uk→0。

在本文中，C>0表示不同的正常數(shù)。

1 變分框架

在陳述這一節(jié)內(nèi)容之前，需要注意以下事實(shí)：通過(guò)(V1)可得，存在一個(gè)常數(shù)V0>0使得對(duì)任意的x∈3有令并考慮下面的方程

(1.1)

為了證明結(jié)論，首先定義Gagliardo半范數(shù)為

其中u:3→是一個(gè)可測(cè)函數(shù)。

接下來(lái)，定義分?jǐn)?shù)階Sobolev空間

Wα,p(3)={u∈Lp(3):u可測(cè)且[u]α,p<∞}

賦予范數(shù)

(1.2)

當(dāng)p=2時(shí)，空間Wα,2(3)與Fourier分析意義下的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間是等價(jià)的，即，

Hα(3):=Wα,2(3)=

賦予范數(shù)

‖u‖Hα=

等價(jià)。

假設(shè)Lp(Ω)是一個(gè)Lebesgue空間，將Lp(Ω)中的范數(shù)記為|·|p,Ω，其中Ω?3，1≤p≤+∞。令3和Hα(3)表示通常的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間(見(jiàn)文獻(xiàn)[19])。在假設(shè)下，定義工作空間為

(1.3)

和

因此，E是一個(gè)內(nèi)積為

(u,v)EV=

(u,v)E,Ω=

范數(shù)為

的Hilbert空間。此外，‖·‖EV和‖u‖E,Ω分別與范數(shù)

‖u‖:=‖u‖E=

和

‖u‖E,Ω=

等價(jià)，且相應(yīng)的內(nèi)積為

(u,v)E=

和

(u,v)E,Ω=

齊次Sobolev空間的定義為

Dα,2(3)=

和內(nèi)積

(1.4)

2 引理和結(jié)論

受文獻(xiàn)[20]中引理3.4的啟發(fā)，我們可以用同樣的方法證明下面的引理2.1。

引理2.2[19]對(duì)任意的α∈(0,1)，Dα,2(3)連續(xù)嵌入3)。即，存在Sα>0使得

(2.1)

(2.2)

其中

則對(duì)任意的x∈3有由(2.1)和(2.2)可得，當(dāng)2t+4s≥3時(shí)，有

(2.3)

接下來(lái)，定義截?cái)嗪瘮?shù)h∈C1(,)滿足以下條件：0≤h(t)≤1；當(dāng)t∈時(shí)h(-t)=h(t)；當(dāng)|t|≤d時(shí)h(t)≡1；當(dāng)|t|≥2d時(shí)h(t)≡0；當(dāng)t∈[d,2d]時(shí)h(t)單調(diào)遞減。其中，令

fh(x,u)=f(x,u)h(u),?(x,u)∈3×

(2.4)

且

(2.5)

考慮下面修正的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

(2.6)

其能量泛函為

Jh(u)=

Jh的Gateaux導(dǎo)數(shù)為

(2.7)

令Γk表示E的閉的對(duì)稱子集A的族，其中A滿足0?A且γ(A)≥k。下面的臨界點(diǎn)定理來(lái)自于文獻(xiàn)[21]。

引理2.3[21]設(shè)E是一個(gè)無(wú)限維Banach空間，Jh∈C1(E,)是一個(gè)滿足Jh(0)=0的偶函數(shù)。假設(shè)Jh滿足

(J1)Jh下方有界且滿足(PS)條件；

(J2) 對(duì)任意的k∈，存在Ak∈Γk使得

引理2.4假設(shè)序列{un}?E滿足：當(dāng)n→∞時(shí)un?u在E中成立，{‖un‖}是一個(gè)有界序列。則當(dāng)n→∞時(shí)，有

(2.8)

證畢。

引理2.5假設(shè)(V1)-(V2)和(f1)-(f2)成立，則Jh下方有界且在E上滿足(PS)條件。

證明根據(jù)(V1)-(V2)，(f1)-(f2)和h的定義，可以得到

對(duì)任意給定的v∈E，令Ω={x∈3:|v|≤1}，由r1∈(1,2)，H?lder不等式和Jh的定義可得

(2.9)

這說(shuō)明‖vn‖E,Ωn≤C且C與n無(wú)關(guān)。因此，

(2.10)

其中，C與n無(wú)關(guān)。類似地，

因此，

(2.11)

其中，C與n無(wú)關(guān)。結(jié)合(2.10)和(2.11)，有

有界，且與n無(wú)關(guān)。則根據(jù)引理3.1[22]的證明可得

利用(f2)和H?lder不等式可得，

(2.12)

利用引理2.4，又得到

(2.13)

結(jié)合(2.12)和(2.13)可得

因此vn→v在E中成立。

證畢。

類似引理3.2[9]和引理3.2[23]的證明，可以得到下面的引理。

引理2.6對(duì)任意的k∈存在一個(gè)閉的對(duì)稱子集Ak?E，使得γ(Ak)≥k且

證明令En表示E的一個(gè)n-維子空間。由于有限維空間中的所有范數(shù)都是等價(jià)的，故存在常數(shù)β=β(En)，使得對(duì)任意的v∈En有

‖v‖≤β‖v‖2

其中‖·‖2是L2(3)中的常用范數(shù)。

接下來(lái)斷言，存在一個(gè)常數(shù)M>0，使得對(duì)任意的v∈En和‖v‖≤M有

(2.14)

事實(shí)上，若(2.14)不成立，則存在一個(gè)序列{vk}?En{0}使得vk→0在E中成立，并且對(duì)任意的k∈有

(2.15)

另一方面，由于En是有限維的，則可假設(shè)uk→u在E中成立。因此uk→u在L2(3)中成立。又由vk→0在E中成立可得

meas{x∈3:|vk|>d}→0,k→∞。

因此，

這與(2.15)矛盾，故(2.14)成立。由(f1)，可取d充分小，使得對(duì)任意的x∈3和0≤v≤2d有

從而有

Fh(x,v)=F(x,v)≤

(2.16)

又因?yàn)榧僭O(shè)(f3)表明Fh(x,v)關(guān)于v是偶的，所以由(2.16)可得，對(duì)任意的v∈En，

其中‖v‖≤min{M,1}。令0<ρ≤min{M,1}，An={v∈En:‖v‖=ρ}，可以推出γ(An)≥n且

證畢。

定理1的證明由(f1)-(f3)可知Jh是偶的且Jh(0)=0。則由引理2.5和2.6可得Jh有一個(gè)臨界點(diǎn)序列{uk}，使得Jh(uk)≤0,以及當(dāng)k→∞時(shí)uk→0。另外，類似引理5.1[24]的證明可得，存在k1使得當(dāng)k≥k1時(shí)有|uk|∞,3≤d。因此，我們得到(0.1)的無(wú)窮多個(gè)小能量解。

證畢。