江蘇省昆山市第二中學(xué) 葉 佳（郵編：215300）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 版）》（以下簡稱《課標(biāo)(2022 版)》）提出：在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇時(shí)，要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化. 同時(shí)指出，數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)[1]. 數(shù)學(xué)課堂不僅傳授知識(shí)，更要以知識(shí)為載體傳播數(shù)學(xué)文化. 因此，通過創(chuàng)設(shè)充滿數(shù)學(xué)味、文化味的課堂，讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)和感受，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀文化和傳統(tǒng)精神. 筆者以蘇科版教材九年級(jí)第六章第二節(jié)“黃金分割”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 教材分析

本節(jié)課主要內(nèi)容是介紹黃金分割的概念、黃金比及其算法和黃金分割在生活中應(yīng)用案例，屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，是“成比例線段”和“比例中項(xiàng)”的直接運(yùn)用. 從一維線段之間的關(guān)系上升到二維相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例關(guān)系，提供思維基礎(chǔ)，起著承上啟下的重要作用. 其實(shí)際運(yùn)用涉及一元二次方程、實(shí)數(shù)（近似值）等知識(shí)，更是數(shù)形結(jié)合典型案例，能較好地發(fā)展學(xué)生的思維能力.

2 學(xué)情分析

九年級(jí)學(xué)生對(duì)于運(yùn)算能力已訓(xùn)練有素，推理能力逐漸走向成熟，思維方面數(shù)形結(jié)合思想能適當(dāng)運(yùn)用，已具備一定的邏輯運(yùn)算能力和演繹推理解決問題意識(shí). 學(xué)生將成比例線段、一元二次方程、勾股定理等基本知識(shí)融合運(yùn)用意識(shí)還有待加強(qiáng). 課堂中尺規(guī)作圖構(gòu)造黃金分割需要教師適時(shí)引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)突破難點(diǎn)，獲得用概念核心價(jià)值解決問題的經(jīng)驗(yàn).

3 目標(biāo)分析

本節(jié)課需要學(xué)生通過了解黃金分割歷史的來源，掌握黃金分割的概念、黃金分割比以及作出一條線段的黃金分割點(diǎn)，能夠利用黃金分割解決實(shí)際問題；此外，經(jīng)歷探索黃金分割比以及作黃金分割點(diǎn)的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想以及古代數(shù)學(xué)家們的輝煌成就，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界；最后，通過藝術(shù)、建筑上的實(shí)例感受黃金分割在實(shí)際生活中的應(yīng)用，學(xué)生能夠體會(huì)其文化價(jià)值和美感，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界.

在本節(jié)課的教學(xué)中，重點(diǎn)是黃金分割以及黃金分割比的定義、借助尺規(guī)作圖作出線段的黃金分割點(diǎn). 難點(diǎn)則是引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用黃金分割比解決實(shí)際問題.

4 教學(xué)過程

4.1 借助史料，創(chuàng)設(shè)情境

情境1949 年4 月，中國人民解放軍一舉占領(lǐng)了國民黨反動(dòng)政府的巢穴——南京，掛在偽總統(tǒng)府上的“青天白日滿地紅”旗落在了地下. 同時(shí)，一個(gè)象征新中國主權(quán)和尊嚴(yán)的標(biāo)志——國旗，已在黨和革命人民的心底開始描繪.7 月14 日至8月15 日，征求國旗圖案的消息迅速傳開.8 月20日，國旗國徽評(píng)選委員會(huì)共收到了2992 幅國旗圖案[2].9 月27 日，全國政協(xié)第一屆全體會(huì)議上通過的《關(guān)于中華人民共和國國都、紀(jì)年、國歌、國旗的決議》中規(guī)定：“全體一致通過：中華人民共和國的國旗為紅地五星旗，象征中國革命人民大團(tuán)結(jié).”10 月1 日，第一面中華人民共和國國旗由毛澤東在天安門廣場首次升起.

師生活動(dòng)（1）教師簡單介紹我國國旗的背景，展示部分國旗初稿，學(xué)生欣賞并發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)初稿上都含有五角星元素. 教師提出問題：從數(shù)學(xué)的角度思考，為什么這些國旗圖案中都含有五角星元素？學(xué)生的回答有“五角星是一個(gè)軸對(duì)稱圖形”“五角星看上去很和諧，但我暫時(shí)講不出為什么”等.

（2）教師給每組學(xué)生下發(fā)大小不同五角星剪紙（圖1），并提出問題：中點(diǎn)的存在會(huì)讓圖形看起來有種對(duì)稱美，五角星是因?yàn)橹悬c(diǎn)的存在而有種和諧美嗎？為什么？

圖 1

圖 2

4.2 推理論證，獲得新知

（3）通過（2）的講解，學(xué)生掌握了黃金分割與黃金比. 再回到情境，教師再次提問：為什么五角星看起來有種和諧的美？學(xué)生通過小組討論，發(fā)現(xiàn)五角星中間部分五個(gè)交點(diǎn)均所在線段的黃金分割點(diǎn). 教師繼續(xù)追問：由此可知，一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？

問題2 已知線段AB，你能借助尺規(guī)，作出線段AB的黃金分割點(diǎn)嗎？

師生活動(dòng)（1）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，用尺規(guī)作出黃金分割點(diǎn)的關(guān)鍵在于作出. 結(jié)合勾股定理和實(shí)數(shù)的知識(shí)，學(xué)生容易想到利用勾股定理，構(gòu)造直角邊為1 和2 的直角三角形.學(xué)生小組討論，嘗試作圖. 邀請(qǐng)成功作出黃金分割點(diǎn)的小組派代表上臺(tái)展示并說明理由.

（2）學(xué)生主要有以下三種作法：

方法一（圖3）已知線段AB，①作線段BC⊥AB且BC=AB，連接BC.②以C為圓心，BC長為半徑作弧，交AC于D. ③以A為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為線段AB的黃金分割點(diǎn).

圖3

方法二（圖4） 已知線段AB，①作AC⊥AB且AC=AB，連接BC. ②令CB=CD,在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AD.③點(diǎn)E即為線段AB的黃金分割點(diǎn)

圖 4

方法三（圖5）已知線段AB，①作等邊△ABC和正方形CDEB.②取CD中點(diǎn)F，連接BF. ③以F為圓心，F(xiàn)C為半徑作弧，交BF于G.③以B為圓心，BG長為半徑作弧，交AB于H.H即為線段AB的黃金分割點(diǎn).

圖 5

（2）師生共同探討以上三種作法的合理性.

（3）教師介紹方法一即古希臘數(shù)學(xué)家海倫作黃金分割點(diǎn)的作法，方法二即清代數(shù)學(xué)家梅文鼎[3]作法. 這三種方法本質(zhì)上是殊途同歸的.

設(shè)計(jì)意圖由實(shí)際情境引入黃金分割的概念，通過學(xué)生自行計(jì)算黃金比，從數(shù)學(xué)上認(rèn)識(shí)黃金分割和黃金比. 這一過程實(shí)際上是學(xué)生感受用數(shù)學(xué)的思維思考世界的過程. 同時(shí)，有了數(shù)學(xué)概念后，學(xué)生能夠解釋五角星和諧美的原因，初步體會(huì)黃金分割隨處可見，為接下來黃金分割的應(yīng)用做好準(zhǔn)備.

問題2 的提出和解決一是結(jié)合了勾股定理和尺規(guī)作圖，將前后知識(shí)聯(lián)系起來，不斷強(qiáng)化“用舊知解新題”的轉(zhuǎn)化思想. 二是通過小組合作，學(xué)生在教師和同伴的引導(dǎo)下，基本上能夠用尺規(guī)作出已知線段的黃金分割點(diǎn). 并且教師提出學(xué)生的作法與幾位數(shù)學(xué)家的作法是類似的. 這一過程中，教師在課堂中滲透了數(shù)學(xué)文化，同時(shí)學(xué)生充滿解決問題的信心，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情高漲.

4.3 知識(shí)運(yùn)用

應(yīng)用1黃金分割與生活實(shí)際

黃金分割在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，比如上海東方明珠電視塔（圖6）設(shè)計(jì)巧妙，整個(gè)塔體挺拔秀麗. 上海東方明珠電視塔高468m，上球體到塔底的距離約為289.2m. 通過以上數(shù)據(jù)，你能說說為什么東方明珠看起來非常勻稱漂亮嗎？

圖 6

圖 7

美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618 時(shí)，越給人一種美感. 遺憾的是，哪怕是身體條件優(yōu)越芭蕾舞演員都無法完全達(dá)到該比例，因此在演出時(shí)，往往還需踮起腳尖（圖7）.某女士身高越為165cm，下半身長xcm 與身高lcm的比值是0.60，為了盡可能達(dá)到美的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為______cm（精確到1cm）.

師生活動(dòng)師生共同欣賞東方明珠塔和芭蕾舞演員表演時(shí)的圖片，感受黃金分割與生活實(shí)際的聯(lián)系. 由學(xué)生討論后，代表口述思路和答案.

應(yīng)用2黃金分割與幾何圖形

在現(xiàn)實(shí)生活中，矩形隨處可見，比如信封、書本、顯示屏. 在上節(jié)課課后，同學(xué)們就“你最喜歡哪個(gè)矩形（圖8）”進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為選②的同學(xué)最多.

圖 8

師生活動(dòng)（1）教師提出問題：你能應(yīng)用本節(jié)課的知識(shí)說說為什么選②的同學(xué)更多嗎？學(xué)生通過度量，發(fā)現(xiàn)②中的矩形寬與長的比接近黃金比，從而看起來更和諧！

（2）教師給出黃金矩形的概念：如圖②，寬與長之比為黃金比的矩形稱為黃金矩形. 比如各國的國旗、雅典的帕特農(nóng)神廟等.

（3）教師提出問題：將一根長為10cm 的鐵絲圍成一個(gè)黃金矩形（黃金比取0.618），則該矩形的面積為__________.

（4）學(xué)生根據(jù)黃金矩形的概念解決（3）中的問題.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)分別選取了黃金分割在生活和幾何中的幾個(gè)典型應(yīng)用. 應(yīng)用1 選取東方明珠電視塔和人體比例的實(shí)例，學(xué)生通過閱讀材料，能夠解釋東方明珠電視塔看起來和諧的原因，體會(huì)黃金分割在建筑領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用. 應(yīng)用2 則是運(yùn)用了上一課時(shí)習(xí)題中的調(diào)查結(jié)果，讓學(xué)生自主探索②更受歡迎的原因. 這一過程是黃金分割在幾何中的應(yīng)用，從而給出黃金矩形的概念以及通過練習(xí)鞏固概念

4.4 歸納總結(jié)，布置作業(yè)

師生活動(dòng)（1）你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？運(yùn)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？感悟到了哪些數(shù)學(xué)文化？

（2）作業(yè)：大家課后查閱關(guān)于黃金分割在數(shù)學(xué)史上的發(fā)展歷程結(jié)合數(shù)學(xué)文化與所學(xué)知識(shí)，編一道與黃金分割有關(guān)的問題.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)是課堂教學(xué)的“知識(shí)歸納”環(huán)節(jié). 通過思維導(dǎo)圖，可以幫助學(xué)生歸納知識(shí)體系，提煉思想方法，感悟數(shù)學(xué)文化. 在歸納時(shí)，教師不能忽視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的感悟，如黃金分割可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)家們對(duì)于“美”的追求的產(chǎn)物，引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；梅文鼎作黃金分割點(diǎn)的方法與一些同學(xué)的做法大同小異，增加了學(xué)生研究數(shù)學(xué)的信心，也感受到了中國古代對(duì)幾何的研究等.

5 教學(xué)反思

《課標(biāo)(2022 年版)》指出：數(shù)學(xué)教育需要落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng). 核心素養(yǎng)是學(xué)生在本人參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，逐步形成發(fā)展的，是四基和四能的繼承與發(fā)展[4]. 滲透數(shù)學(xué)文化的課堂很好地踐行了這一理念.

5.1 滲透數(shù)學(xué)文化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)和探究現(xiàn)實(shí)世界的觀察方式. 通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中基本數(shù)量關(guān)系和空間形式的觀察，學(xué)生能夠直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景，能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而進(jìn)行數(shù)學(xué)探究. 本節(jié)課中，將學(xué)生熟悉的五星紅旗作為情境引入，引導(dǎo)學(xué)生感悟?qū)⑸顔栴}數(shù)學(xué)化的過程，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力. 除此之外，通過本情境，在理性的數(shù)學(xué)課堂中同時(shí)滲透了愛國主義教育. 在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，滲透了一定的中華傳統(tǒng)文化，如梅文鼎作黃金分割點(diǎn)的作法等，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)文化的傳承.

5.2 滲透數(shù)學(xué)文化，用數(shù)學(xué)的思維思考世界

5.3 滲透數(shù)學(xué)文化，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界

通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活中簡單的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程，學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界交流的方式，欣賞數(shù)學(xué)語言的簡潔與優(yōu)美，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流的習(xí)慣，形成跨學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力. 在教學(xué)中，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生將一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言. 如應(yīng)用1 中的例題就是將一個(gè)實(shí)際問題用線段表示，建立數(shù)學(xué)模型，感受用簡潔的數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 黃金分割在文學(xué)、藝術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用更是學(xué)科融合，感悟數(shù)學(xué)模型表達(dá)魅力.