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        Mathematical Reflections 的S357 號(hào)問題的加強(qiáng)

        2022-11-09 08:34:42福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院楊標(biāo)桂郵編330117

        福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 楊標(biāo)桂(郵編:330117)

        關(guān)鍵字 外接圓半徑; 內(nèi)切圓半徑; 高線

        1 問題提出

        蒂圖·安德雷斯庫[1]的Mathematical Reflections (2014-2015)中提供了如下幾何不等式:

        Mathematical Reflections S357問題在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,r為△ABC的內(nèi)切圓半徑, 則有:

        定理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,r為△ABC的內(nèi)切圓半徑, 則有

        于是②可以推出①.

        更一般地, 我們有:

        定理2 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑, 則有

        由定理2 的③式和Euler 不等式可知定理1成立.

        2 幾個(gè)引理

        為了證明定理2, 我們先建立一個(gè)關(guān)于高與內(nèi)切半圓徑的恒等式, 即不等式②的最佳形式:

        引理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,R,r,s分別為△ABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑和半周長, 則有

        利用熟知的恒等式∑a=2s;∑bc=s2+r2+4Rr;∏a=abc=4Rrs(其中∏ 表示循環(huán)積), 經(jīng)計(jì)算可得

        于是引理1 獲證.

        其次, 我們引入著名的Gerretsen 不等式:

        引理2 (Gerretsen 不等式) 設(shè)R,r,s分別是△ABC的外接圓半徑, 內(nèi)切圓半徑與半周長, 則有

        16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2⑥

        3 定理2 的證明

        下面利用恒等式⑤與Gerretsen 不等式⑥證明定理2:

        定理2 得證.

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