湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)1907班 (410006) 趙斯揚(yáng) 湖南省長沙市雷鋒學(xué)校 (410217) 童繼稀 鄧捷敏

這是武漢市2022屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研考試卷第16題，它以三棱錐為背景，點(diǎn)到線與點(diǎn)到面的距離求解為設(shè)問，全面考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、推理論證和運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力．其難點(diǎn)體現(xiàn)在圖象處理與轉(zhuǎn)化求解，即如何將這樣一道空間問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生們更加容易理解的問題．本文給出多種解法，與讀者分享交流．

圖1

以下對第二空從多個(gè)角度求解.

綜合法解立體幾何問題離不開作輔助線，這恰好是學(xué)生難以突破的困境．從該三棱錐形狀來看，不難發(fā)現(xiàn)線段AC，OB，OP兩兩垂直，我們可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量求點(diǎn)到直線與點(diǎn)到平面的距離公式表示出d1+d2，再求得最值．

圖2

坐標(biāo)向量法利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題，思路簡潔，但計(jì)算有點(diǎn)繁雜．從該三棱錐形狀的另一角度看，我們可以將它補(bǔ)形成一個(gè)正四棱錐來求解．

圖3

本題也可利用點(diǎn)Q到平面PBC的距離等于Q到平面PCD的距離，同思路求解；還可將三棱錐補(bǔ)形成長方體求解，過程留給讀者．

解法3的優(yōu)勢在于利用了圖形的對稱性，將題中所求的距離轉(zhuǎn)化為更加直觀的線面距離，計(jì)算量少，但又很難想到這樣補(bǔ)形處理．綜合法、向量坐標(biāo)法與轉(zhuǎn)化法在解決立體幾何相關(guān)問題中，各有利弊，往往需要我們根據(jù)問題情境來選擇最適合的方法求解．2020年與2021年的新高考Ⅰ卷都把立體幾何小題放在選擇題或填空題的壓軸位置，加之新教材重新引入了距離公式，從而我們教學(xué)時(shí)更需重視這類問題．