趙 斐, 李 鑫, 郭 明

(1.東北大學(xué) 秦皇島分校 管理學(xué)院, 河北 秦皇島 066004; 2.東北大學(xué) 工商管理學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819)

工業(yè)4.0時代智能傳感器的應(yīng)用實現(xiàn)了對系統(tǒng)健康狀態(tài)的實時監(jiān)控,為設(shè)備維修決策提供了大量數(shù)據(jù),進(jìn)一步將視情維修策略(condition-based maintenance,CBM)提升到一個新的高度[1-3].視情維修利用反映系統(tǒng)健康狀態(tài)的實時信息,依據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前工作狀態(tài)采取相應(yīng)的維護(hù)保養(yǎng)以及維修措施,建立相關(guān)維修模型進(jìn)行決策,從而科學(xué)、合理、有效地安排維修活動.因此,視情維修策略有助于提高系統(tǒng)可靠性和可用度,降低維修費用.然而,維修活動與備件庫存管理密切相關(guān),維修活動導(dǎo)致備件消耗,而備件支持維修活動順利開展[4].為此,也有少量學(xué)者對單部件系統(tǒng)視情維修和備件聯(lián)合策略優(yōu)化開展研究[5-6].

在工程實踐活動中,根據(jù)系統(tǒng)的修復(fù)程度不同,通常將維護(hù)分為完美維修、不完美維護(hù)和最小維修.完美維修即系統(tǒng)通過維護(hù)活動恢復(fù)至全新狀態(tài),最小維修即維修后只能恢復(fù)到故障前狀態(tài);可是,在工業(yè)界中不完美維護(hù)活動應(yīng)用更為普遍,即介于完美維修和最小維護(hù)之間,經(jīng)不完美維護(hù)減緩系統(tǒng)的退化過程.不完美維護(hù)已受到學(xué)者們的關(guān)注,Kijima等[7]和Nakagawa等[8]分別提出采用虛擬役齡模型、失效率增加模型描述不完美維護(hù)后系統(tǒng)的退化過程;在此基礎(chǔ)上,Zhou等[9]結(jié)合上述兩種模型提出不完美維護(hù)混合模型,并通過數(shù)值實例驗證了模型的合理性.不完美維護(hù)模型主要從虛擬役齡、失效率兩個方面考慮不完美維護(hù)的影響;然而,均無法準(zhǔn)確刻畫在實際生產(chǎn)過程中不完美維護(hù)活動對系統(tǒng)隨機(jī)退化過程的影響.為此,Guo等[10]基于Wiener過程建立維護(hù)決策模型,引入殘余退化量模型表征不完美維護(hù)活動改善系統(tǒng)健康狀態(tài)能力逐漸減弱的趨勢.Zhang等[11]使用退化率函數(shù)代替失效率并引入隨機(jī)改進(jìn)因子,建立一種新的不完美維護(hù)模型.基于剩余壽命預(yù)測的不完美維護(hù)研究僅考慮維修對退化率和退化量的單一影響,針對這一問題胡昌華等[12-13]提出一種同時考慮不完美維護(hù)活動對退化量和退化率影響的退化建模.本文在同時考慮系統(tǒng)退化量和退化率的前提下,使用維納過程建立維修決策模型,退化率更新函數(shù)選擇指數(shù)函數(shù)描述不完美維護(hù)后對系統(tǒng)實際退化軌跡的影響.

利用狀態(tài)監(jiān)測得到的系統(tǒng)實時退化數(shù)據(jù),預(yù)測剩余壽命并用于維修和備件訂購決策,體現(xiàn)了故障預(yù)測與健康管理技術(shù)的內(nèi)涵[14-16].已有學(xué)者在預(yù)測剩余壽命基礎(chǔ)上對維修和備件聯(lián)合優(yōu)化策略展開研究.Wang等[17]提出了一種基于實時預(yù)測壽命信息的聯(lián)合訂貨替換策略,通過預(yù)測剩余壽命獲得訂單替換決策及更新替換時間,建立序貫優(yōu)化模型確定最優(yōu)的訂貨點.蔣云鵬等[18]對剩余使用壽命進(jìn)行預(yù)測,建立預(yù)測信息下的序貫優(yōu)化模型和聯(lián)合優(yōu)化模型,通過軸承加速壽命試驗證明聯(lián)合優(yōu)化模型下的更換時間和備件訂購時間優(yōu)于序貫優(yōu)化模型結(jié)果.Si等[19]研究了系統(tǒng)更換和備件訂購問題,通過推導(dǎo)剩余壽命的概率密度函數(shù),建立可靠性約束下的成本率模型.上述研究僅僅是將預(yù)測剩余壽命用于維修策略或備件策略,而未將預(yù)測得到的剩余壽命同時運用于維修決策和備件訂購決策上[20].

本文針對單部件系統(tǒng)分別設(shè)置預(yù)防性更換閾值和備件訂購閾值,用于系統(tǒng)何時執(zhí)行不完美維護(hù)和預(yù)防性更換決策,何時訂購備件決策.結(jié)合系統(tǒng)更新時不同事件的發(fā)生概率,利用更新報酬理論對單部件系統(tǒng)維修和備件訂購聯(lián)合策略建立決策優(yōu)化模型,并設(shè)計離散仿真事件算法求解;最后,通過數(shù)值仿真實驗進(jìn)行驗證,并對不同參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析.

1 不完美維護(hù)下基于剩余壽命預(yù)測的視情維修和備件訂購聯(lián)合策略

1.1 問題描述

傳感器每隔Δt時間監(jiān)測系統(tǒng)退化狀態(tài)獲得實時的健康信息,初始時刻0時系統(tǒng)退化狀態(tài)為0.考慮到不完美維護(hù)(imperfect maintenance, IPM)同時對系統(tǒng)退化量和退化率的影響,采用Wiener過程對系統(tǒng)退化過程進(jìn)行分階段建模.根據(jù)視情維修的控制限原則,根據(jù)檢測時系統(tǒng)所處的不同健康狀態(tài)執(zhí)行不同的維修活動,即若退化量達(dá)到最小維修閾值ωm時,對系統(tǒng)進(jìn)行最小維修,且僅考慮執(zhí)行一次最小維修;若達(dá)到預(yù)防性維護(hù)閾值ωp時,對系統(tǒng)進(jìn)行不完美維護(hù)或預(yù)防性更換(preventive replacement, PR);若超過故障更換(corrective replacement, CR)閾值ωl,則立即進(jìn)行故障更換.其中,當(dāng)系統(tǒng)在第k次IPM時刻jkΔt達(dá)到預(yù)防性維護(hù)閾值ωp時，是否執(zhí)行不完美維護(hù)需進(jìn)一步?jīng)Q策;此時若系統(tǒng)剩余壽命rk,ωl大于預(yù)防性更換閾值TIPM,則考慮進(jìn)行不完美維護(hù)活動,否則執(zhí)行預(yù)防性更換,預(yù)防性更換時不完美維護(hù)次數(shù)為N.

無論是PR還是CR都是對舊系統(tǒng)的更換,顯然均會產(chǎn)生備件需求,根據(jù)系統(tǒng)健康狀態(tài)合理制定采購計劃是關(guān)鍵點.考慮到備件由采購至到貨需要經(jīng)歷一段時間,即提前期L,本文通過引入訂購閾值Lo與提前期、預(yù)測剩余壽命比較構(gòu)建備件訂購的約束條件.若在時刻jkΔt系統(tǒng)剩余使用壽命rk,ωl與備件提前期L、訂購閾值Lo滿足條件rk,ωl≤Lo+L,則下正常訂單,且備件經(jīng)提前期L后到貨入庫;否則,不訂購直至下次執(zhí)行IPM時再進(jìn)行判斷.如果更換系統(tǒng)時,備件未訂購,則下緊急訂單,緊急訂單提前期與正常訂單提前期相比較小可忽略;若備件已經(jīng)訂購但是未到貨,則直到備件到貨后再更換,備件缺貨將造成一定的經(jīng)濟(jì)損失,單位時間內(nèi)的缺貨成本為CP;如果更換需求產(chǎn)生時備件已到貨正處于存儲狀態(tài),則立即更換系統(tǒng),因備件提前到達(dá)以單位時間的成本Ch產(chǎn)生存儲費用.

檢測間隔的不同會影響系統(tǒng)退化狀態(tài)信息的獲取,進(jìn)而影響維修決策和備件采購決策,而預(yù)防性維護(hù)閾值的決定直接影響是否產(chǎn)生備件需求,因此本研究將檢測間隔、預(yù)防性維護(hù)閾值作為決策變量進(jìn)行優(yōu)化.

1.2 不完美維護(hù)下的系統(tǒng)退化過程建模和剩余壽命預(yù)測

每隔時間Δt監(jiān)測系統(tǒng)的健康狀態(tài),時刻tm=mΔt系統(tǒng)退化量為X(tm).由于考慮了不完美維護(hù),為此采用Wiener過程對系統(tǒng)退化分階段建模,將系統(tǒng)經(jīng)過第k(0≤k≤N)次IPM后的退化量定義為

Xk(tm)=yk+μk(tm-jkΔt)+σBB(tm-jkΔt).

(1)

f(yk)=

(2)

其中:a,b為超參數(shù);ck=1/(1-exp(-abk-1)).

基于首達(dá)時間概念預(yù)測系統(tǒng)剩余壽命,定義系統(tǒng)退化量首次達(dá)到閾值ωi(i=m,p,l)的時間Rk,ωi為

Rk,ωi=inf(rk,ωi|X(jkΔt+rk,ωi)≥ωi|yk,rk,ωi>0).

(3)

進(jìn)而,系統(tǒng)剩余使用壽命Rk,ωi服從逆高斯分布,對應(yīng)的概率密度函數(shù)fk,ωl(rk,ωl|yk)和累積分布函數(shù)Fk,ωl(rk,ωl|yk)分別為

fk,ωl(rk,ωl|yk)=

(4)

(5)

剩余壽命Rk,ωl的期望和方差分別為

(6)

(7)

2 不完美維護(hù)聯(lián)合策略優(yōu)化建模

每次以成本Ci對系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測,X(tm)≥ωl時系統(tǒng)執(zhí)行故障更換,每次故障更換成本為CCR;若ωl>X(tm)≥ωp,則每次以成本CIPM執(zhí)行不完美維護(hù)或者以成本CPR對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防性更換;若ωp>X(tm)≥ωm,則每次以Cm執(zhí)行最小維修.從而確定系統(tǒng)更換有兩種相互獨立的情形:一,系統(tǒng)退化量滿足條件ωl>X(tm)≥ωp且剩余使用壽命rN+1,ωlωl,此時系統(tǒng)執(zhí)行故障更換.

2.1 更新事件的發(fā)生概率

系統(tǒng)在(m+1)Δt時刻執(zhí)行最小維修概率為

Pm=P(X(mΔt)<ωm∩ωm

(1-F0,ωm(mΔt))(1-F0,ωp((m+1)Δt))-

(1-F0,ωm(mΔt))(1-F0,ωm((m+1)Δt)).

(8)

系統(tǒng)在jkΔt時刻執(zhí)行不完美維護(hù)的概率為

(9)

系統(tǒng)故障更換概率PCR:

(10)

其中,n=1,2,…,N.

系統(tǒng)預(yù)防性更換概率PPR:

(11)

式(8)～式(11)中:

(12)

(13)

(14)

利用監(jiān)測得到的系統(tǒng)健康狀態(tài),預(yù)測系統(tǒng)剩余使用壽命并判斷是否在該監(jiān)測點進(jìn)行備件訂購.根據(jù)rk,ωl與訂購閾值Lo對比:rk,ωl>L+Lo,則備件未訂購,此時訂購時刻To=0,則通過緊急訂單滿足系統(tǒng)的備件需求;如果Lork,ωl,則備件已到貨.

備件未訂購概率:

P(rk,ωl>L+Lo)=

(15)

備件已訂購未到概率:

P(Lo

(16)

備件已訂購且到貨的概率:

P(0

(17)

2.2 構(gòu)建費用-時間率聯(lián)合決策模型

根據(jù)系統(tǒng)退化狀態(tài)和備件狀態(tài),分析并推導(dǎo)各更新事件發(fā)生概率和對應(yīng)的期望成本EC和期望時長ET,并利用更新報酬理論構(gòu)建費用-時間率聯(lián)合決策模型.

事件1:系統(tǒng)執(zhí)行故障更換且備件未訂購:

(18)

(19)

事件2:系統(tǒng)執(zhí)行故障更換且備件已訂未到貨:

(20)

rk,ωl>Lo).

(21)

事件3:系統(tǒng)執(zhí)行故障更換且備件已到貨:

(tm-To-L)Ch)×PCRP(Lo>rk,ωl>0),

(22)

(23)

事件4:系統(tǒng)執(zhí)行預(yù)防性更換且備件未訂購:

PPRP(rk,ωl>(L+Lo)),

(24)

(25)

事件5:系統(tǒng)執(zhí)行預(yù)防性更換且備件已訂購未到貨:

(26)

(27)

事件6:系統(tǒng)執(zhí)行預(yù)防性更換且備件已到貨:

(28)

(29)

式中,To為備件訂購時刻.

采用更新報酬理論建立目標(biāo)函數(shù):

(30)

3 離散事件仿真算法設(shè)計

通過設(shè)計離散事件仿真算法求解最優(yōu)的決策變量,即檢測間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值.結(jié)合所提出的聯(lián)合策略和構(gòu)建的優(yōu)化模型,圖1給出了離散事件仿真算法的流程圖,詳細(xì)步驟如下所示:

圖1 離散事件仿真算法

步驟1 設(shè)置初始漂移系數(shù)μ0,擴(kuò)散系數(shù)σB,初始?xì)堄嗤嘶縴0,系統(tǒng)故障更換閾值ωl=40,最小維修閾值ωm=1,預(yù)防性維護(hù)閾值ωp=1,最大迭代次數(shù)imax,預(yù)防性更換閾值TIPM,提前期L,備件訂購閾值Lo,以及所有成本參數(shù).

步驟2 設(shè)置預(yù)防性維護(hù)閾值ωp=ωp+0.5,檢測間隔Δt=0.5.

步驟3 設(shè)置初始總期望成本TC=0,總期望時間TL=0,迭代次數(shù)i=0,檢測間隔Δt=Δt+0.5.

步驟4 設(shè)置當(dāng)前時刻tm=0,系統(tǒng)退化量X(tm)=0,備件訂購時間To=0,不完美維護(hù)次數(shù)k=0,檢測間隔Δt和預(yù)防性維護(hù)閾值ωp不變,運行次數(shù)i=i+1.

步驟6 將tm時刻的系統(tǒng)退化量X(tm)分別與最小維修閾值ωm、預(yù)防性維護(hù)閾值ωp和故障更換閾值ωl進(jìn)行對比.若X(tm)≥ωl,則轉(zhuǎn)到步驟7;若X(tm)<ωl,則返回步驟5,系統(tǒng)繼續(xù)疊加退化量,總期望成本TC=TC+Ci.若ωl>X(tm)≥ωp,則轉(zhuǎn)到步驟8和步驟9;若X(tm)<ωp,則返回步驟5.若ωp>X(tm)≥ωm,則系統(tǒng)執(zhí)行最小維修,總期望成本TC=TC+Cm;若X(tm)<ωm,則返回步驟5.

步驟7 如果X(tm)≥ωl,則系統(tǒng)執(zhí)行故障更換,如圖2所示,總期望成本TC=TC+CCR.若To=0,則備件未訂購,事件1發(fā)生,總期望成本TC=TC+Ceo.若To

圖2 離散事件仿真算法的Box A

步驟8 如果ωl>X(tm)≥ωp,則根據(jù)式(6)預(yù)測系統(tǒng)剩余壽命.若rk,ωl>L+Lo,則訂購時刻To=0;若rk,ωl≤L+Lo,且To=0,則訂購時刻To=tm,總期望成本TC=TC+Co.

步驟9 如果ωl>X(tm)≥ωp,則根據(jù)式(6)預(yù)測系統(tǒng)剩余壽命.若rk,ωl≥TIPM,則系統(tǒng)執(zhí)行不完美維護(hù),維修后系統(tǒng)退化量為yk,根據(jù)退化模型中的μk=(exp(k)+1)μ0更新漂移系數(shù)μk,不完美維護(hù)次數(shù)k=k+1,總期望成本TC=TC+CIPM,否則轉(zhuǎn)到步驟10.

步驟10 如果rk,ωl

圖3 離散事件仿真算法的Box B

步驟11 判斷運行次數(shù),若滿足i=imax,則計算EC(ωp,Δt)并記錄,否則返回步驟4.

步驟12 若EC(ωp,Δt)

4 算例分析

設(shè)置數(shù)值仿真實驗對決策模型進(jìn)行仿真優(yōu)化,分析不同參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)和決策結(jié)果的影響,驗證模型有效性.

4.1 參數(shù)設(shè)置

系統(tǒng)退化參數(shù)如表1所示.

表1 退化參數(shù)

成本參數(shù)如表2所示.

表2 成本參數(shù)

4.2 最優(yōu)解分析

圖4 目標(biāo)函數(shù)與決策變量之間關(guān)系

在假定成本參數(shù)和退化參數(shù)不變的情況下,分別探討預(yù)防性維護(hù)閾值ωp、預(yù)防性更換閾值TIPM、訂購閾值Lo、提前期L變化時,檢測間隔Δt與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系.

1)ωp變化時Δt與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，如圖5所示.預(yù)防性維護(hù)閾值ωp決定設(shè)備何時執(zhí)行不完美維修,當(dāng)ωp過小時,提前進(jìn)行不完美維修,維護(hù)頻率提高,維修后部件退化加快,提前進(jìn)行設(shè)備更換,設(shè)備總運行時間降低;當(dāng)ωp過大時,由于不完美維修會造成退化率變大,設(shè)備不完美維修次數(shù)減少,設(shè)備退化量超過故障更換閾值,更換成本增加.這與圖5中結(jié)果一致,如果檢測間隔Δt不變時,當(dāng)ωp=27或ωp=29時，都會增加單位時間內(nèi)的成本.而對于任一預(yù)防性維護(hù)閾值而言,目標(biāo)函數(shù)均呈現(xiàn)出隨檢測間隔先降低后增加的趨勢,這與對圖4的分析一致.

圖5 預(yù)防性維護(hù)閾值對目標(biāo)函數(shù)的影響

2)TIPM變化時Δt與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系.在每次不完美維護(hù)前,比較預(yù)測剩余壽命與預(yù)防性更換閾值TIPM,以決策是否對設(shè)備執(zhí)行不完美維護(hù)活動.從圖6中結(jié)果可看出,當(dāng)TIPM小于13時,預(yù)測剩余壽命總是大于TIPM,不完美維修多次執(zhí)行,導(dǎo)致設(shè)備未及時進(jìn)行更換,造成設(shè)備故障更換成本升高;當(dāng)TIPM大于13時,設(shè)備執(zhí)行幾次不完美維修后便需要進(jìn)行預(yù)防性更換,設(shè)備利用率降低.因此,TIPM合理設(shè)置可以使設(shè)備避免維修過多和故障成本過高.

圖6 預(yù)防性更換閾值對目標(biāo)函數(shù)的影響

3)Lo變化時Δt與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系.由圖7結(jié)果可看出,訂購閾值變化時目標(biāo)函數(shù)值隨檢測間隔先降低后增加.其中, 訂購閾值Lo過小則備件訂購提前并且提前到貨,備件庫存成本過高,從而增加期望總成本;反之,設(shè)備執(zhí)行預(yù)防性更換或故障更換時,Lo過大導(dǎo)致備件處于未訂購狀態(tài),則需要通過緊急訂單滿足備件需求,故增加期望總成本,導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)增加.

圖7 訂購閾值對目標(biāo)函數(shù)的影響

4)L變化時Δt與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系.如圖8所示,提前期L過小則備件訂購后提前到貨,備件存儲時間變長,庫存成本過高;提前期L過大,系統(tǒng)執(zhí)行預(yù)防性更換或故障更換時,如備件已訂購但未到貨,此時缺貨成本增加.

圖8 提前期對目標(biāo)函數(shù)的影響

4.3 對比分析

圖9 目標(biāo)函數(shù)與決策變量之間關(guān)系

通過對比兩組數(shù)值仿真實驗的結(jié)果發(fā)現(xiàn),模型1的最優(yōu)長期期望費用率小于模型2,這是由于模型1策略中不完美維護(hù)使系統(tǒng)避免了維修不足的實際問題,延長了系統(tǒng)役齡,使系統(tǒng)成本率最低.

5 結(jié) 論

1)本文對單部件系統(tǒng)提出視情維修和備件訂購的聯(lián)合策略,其中維修策略采用控制限策略,考慮了不完美維護(hù)對系統(tǒng)退化的實際影響,使用Wiener過程對系統(tǒng)退化分階段建模,推導(dǎo)最小維修、不完美維護(hù)、預(yù)防性更換和故障更換概率.

2)將預(yù)測的剩余壽命分別應(yīng)用于維修決策和備件訂購決策中,在每次不完美維護(hù)時刻預(yù)測系統(tǒng)剩余使用壽命并分別對比預(yù)防性更換閾值和訂購閾值,確定是否執(zhí)行預(yù)防性更換、訂購備件決策,結(jié)合維修方式和備件狀態(tài)推導(dǎo)各事件發(fā)生概率,構(gòu)建成本率目標(biāo)函數(shù).

3)通過設(shè)計離散事件仿真算法優(yōu)化決策變量Δt和ωp,并對不同參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析;同時,與未考慮剩余壽命預(yù)測的聯(lián)合決策模型進(jìn)行比較,結(jié)果表明所提出的聯(lián)合策略能夠有效降低系統(tǒng)的成本.