李應森 ,陳 明 ,王煥清 ,彭開香

(1.遼寧科技大學電子與信息工程學院,遼寧鞍山 114044;2.渤海大學數學科學學院,遼寧錦州 121013;3.北京科技大學自動化學院,北京 100083)

1 引言

隨著社會經濟與科學技術的飛速發(fā)展,控制系統(tǒng)尤其是非線性控制系統(tǒng)的規(guī)模及復雜程度日益加大,其分析與設計也不斷面臨更高的要求與挑戰(zhàn).由于非線性系統(tǒng)廣泛存在于自然界及人們的生產生活中,因此有效提高其控制精度、響應速度及可靠性具有十分重要的理論價值及實際意義,而先進的控制理論與方法便是提高系統(tǒng)控制性能的強有力工具[1-3].

一方面,控制系統(tǒng)的可靠性和安全性是確保系統(tǒng)能夠工作的前提和基礎.系統(tǒng)中的某些元件(如傳感器或執(zhí)行器)一旦發(fā)生故障,輕則使得系統(tǒng)的控制精度下降,重則引起系統(tǒng)不穩(wěn)定,造成重大的經濟損失甚至人員傷亡.容錯控制為解決這一問題提供了一條有效途徑[4-6].傳感器作為控制系統(tǒng)中必不可缺的重要組成部分,對其發(fā)生故障后進行容錯控制研究一直以來都是眾多學者的研究熱點,目前已取得很多有效的容錯控制方法.文獻[7]利用反步法,針對一類多輸入多輸出非線性系統(tǒng)設計其傳感器故障下的容錯控制器,實現故障下系統(tǒng)中所有信號是半全局一致最終有界的.文獻[8]提出了一種容錯控制器,通過觀測器模糊自適應技術實現對故障的補償,有效地解決了傳感器故障問題;另一方面,提高系統(tǒng)的快速性也是控制系統(tǒng)設計中另一個重要課題.有限時間控制的主要優(yōu)勢就是使控制系統(tǒng)在有限時間內收斂到平衡點,同時具有魯棒性及抗擾能力強、控制精度高等特點,該控制方法對提高系統(tǒng)快速性具有重要意義,已引起眾多學者的廣泛關注.文獻[9]系統(tǒng)全面地闡述了非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的定義、判據定理以及研究進展.文獻[10]針對一類受擾的故障非線性系統(tǒng),利用有限時間理論提出了一種故障檢測與估計策略.文獻[11-12]分別探討了非線性系統(tǒng)的自適應有限時間容錯控制及有限時間分散控制問題.文獻[13]針對航天器姿態(tài)模型,利用滑?？刂萍褒R次系統(tǒng)等理論,實現航天器姿態(tài)有限時間穩(wěn)定.

近些年來,反步法已成為非線性系統(tǒng)設計的有力工具.然而,在傳統(tǒng)的反步法中,存在計算復雜等問題,如需要對其虛擬控制律反復求導數.動態(tài)面控制技術可以解決上述問題,并已取得很多相關成果[14-15].

基于上述研究成果,本文擬針對具有傳感器故障的一類嚴格反饋非線性系統(tǒng),設計一種有限時間自適應動態(tài)面容錯控制方法.其主要貢獻為:1)本文考慮的故障模型,涵蓋了傳感器固定偏差故障、漂移故障、精度下降及失效故障4種類型.傳感器是否發(fā)生故障或發(fā)生何種類型故障,所設計的控制器均能保證系統(tǒng)在原點處是半全局實際有限時間穩(wěn)定的,且跟蹤誤差收斂于坐標原點的小鄰域內.2)該方法與文獻[7,16]相比,兼顧了系統(tǒng)的可靠性、快速性、魯棒性及抗干擾性,即結合了有限時間理論、容錯控制及模糊邏輯控制等設計控制器.3)本設計方法以反步法為主要設計依據,并利用模糊邏輯系統(tǒng)處理模型中的未知函數.4)通過采用動態(tài)面控制技術解決了傳統(tǒng)反步法中計算復雜問題.

2 問題描述及預備知識

2.1 問題描述

考慮如下一類嚴格反饋非線性系統(tǒng):

其中:xi(t),i=1,2,···,n,u(t)∈R,y(t)∈R分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量;狀態(tài)向量(t)=[x1(t)x2(t)··· xi(t)]T∈Ri;fi(·)表示未知的光滑函數.

考慮到傳感器發(fā)生故障,其模型可以表示為

其中ρ(t),τ(t)代表傳感器故障參數,描述如下:

本文的控制目標:

1)該系統(tǒng)是半全局實際有限時間穩(wěn)定的;

2)傳感器無論發(fā)生故障與否,均能確保系統(tǒng)的輸出信號在有限時間內跟蹤期望信號yr(t),定義跟蹤誤差s1(t)=yf(t)-yr(t)收斂于零的小鄰域內;

3)閉環(huán)系統(tǒng)中全部信號是半全局一致有界.

2.2 預備知識

假設1期望輸出信號yd連續(xù)、n階可導且有界.

為書寫方便,以下所有時間變量t均略掉.

3 所提方法

本文主要基于反步法,將有限時間控制、模糊邏輯控制、動態(tài)面控制及容錯控制相結合,為系統(tǒng)(1)設計一個有限時間自適應動態(tài)面容錯控制器.

定理1針對系統(tǒng)(1),滿足假設條件1,若發(fā)生形如式(2)所示的傳感器故障,設計如下的虛擬控制律αi、實際控制律u:

整個設計過程分為n步,均利用如下坐標變換:

并定義濾波器的輸出誤差ei為

步驟1首先,由式(11)-(12),得到

在第1步設計中,首先選擇的李雅普諾夫函數為

求Vs1的一階導數,得

在式(15)中,F1(Λ1)是未知的非線性函數,本文通過模糊邏輯控制對其進行逼近,如式(17)所示:

根據動態(tài)面控制策略,對虛擬控制信號α1進行濾波,由式(10)和式(12),可推導出

根據引理1,利用所設計的上述控制器,使系統(tǒng)(1)滿足式(57)所描述的條件,則該系統(tǒng)在原點處是半全局實際有限時間穩(wěn)定.

定理2系統(tǒng)(1)在原點處是半全局實際有限時間穩(wěn)定,其跟蹤誤差能在有限時間內收斂到原點附件的小鄰域里,且收斂時間ts的上限值為

其中:

注3定理2的結論主要依據引理1及其所引文獻[21-22]所得,具體證明過程可參看相應文獻,此處不再贅述.

4 仿真驗證

為了進一步驗證所提出設計方案的有效性,下面通過一個數值仿真示例加以驗證,以如下二階非線性系統(tǒng)為研究對象:

其中:f1=0.01 sinx1cosx1+0.05 sinx1,f2=x1cosx2.系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0)=[x1(0)x2(0)]T=[0.5 0.5]T.控制目標是在有限時間內,無論發(fā)生故障與否,均使得系統(tǒng)實際輸出與期望輸出信號的偏差收斂于原點附近的小鄰域內.設理想跟蹤信號為yr=sint,滿足假設條件1.具體故障情況考慮如下:

1)傳感器發(fā)生固定偏差故障

2)傳感器發(fā)生失效故障

傳感器發(fā)生固定偏差故障時其仿真結果如圖1-圖4所示.從圖1可知,從t=9 s開始,狀態(tài)x1發(fā)生固定偏差故障.圖2給出了在本文控制器作用下實際輸出與期望輸出的跟蹤效果圖,相應的跟蹤誤差曲線如圖3所示,圖4表示其控制輸入隨時間變化的曲線.在控制器及其設計參數不變的情況下,傳感器發(fā)生失效故障,如圖5所示.圖6-圖8分別表示在該控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤曲線、誤差曲線和控制輸入u的軌跡圖,自適應參數,的時間變化曲線如圖9所示.從以上仿真曲線可以看出,無論傳感器發(fā)生故障與否,發(fā)生何種故障類型,本文提出的設計策略均能保證系統(tǒng)在坐標原點處是半全局實際有限時間穩(wěn)定的,且使得系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂于原點附近的鄰域,從而獲得較好的控制效果.

圖1 情形1-傳感器(狀態(tài)x1)發(fā)生固定偏差故障Fig.1 Bias fault of sensor(x1)

圖2 實際輸出y和期望輸出yd的響應曲線(情形1)Fig.2 Response curves of practical output y and desired output yd (Case 1)

圖3 跟蹤誤差響應曲線(情形1)Fig.3 Response curve of tracking error(Case 1)

圖4 控制輸入u響應曲線(情形1)Fig.4 Response of control input u(Case 1)

圖5 情形2-傳感器(狀態(tài)x1)發(fā)生失效故障Fig.5 Loss of effectiveness fault of sensor(x1)

圖6 實際輸出y和期望輸出yd的響應曲線(情形2)Fig.6 Response curves of practical output y and desired output yd (Case 2)

圖7 跟蹤誤差響應曲線(情形2)Fig.7 Response curve of tracking error(Case 2)

圖8 控制輸入u響應曲線(情形2)Fig.8 Response of control input u(Case 2)

圖9 自適應參數,時間變化曲線(情形2)Fig.9 Time curves of adaptive parameters , (Case 2)

5 結論

本文針對具有傳感器故障的一類嚴格反饋非線性系統(tǒng),利用反步法設計一種有限時間自適應動態(tài)面容錯控制算法.通過模糊邏輯系統(tǒng)逼近系統(tǒng)中的未知函數,并基于自適應技術對系統(tǒng)中可能出現的多種傳感器故障進行估計,補償故障對系統(tǒng)造成的影響.為了解決傳統(tǒng)反步法中的積分爆炸等復雜問題,引入動態(tài)面控制方法,并結合有限時間理論及容錯控制等,兼顧系統(tǒng)的快速性、魯棒性及抗干擾性.所設計的控制器在系統(tǒng)傳感器有無故障的情況下,均使得其跟蹤誤差在有限時間內收斂于原點的小鄰域.然而,文中給出的收斂時間上限表達式不僅與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關,還因其包含未知項導致無法計算.該問題是目前經典自適應控制、有限時間理論與模糊控制、神經網絡控制相結合相關成果中存在的一個專業(yè)性、公開性問題.在今后研究中,擬將對此問題做深入探索.