石 尚 李 慧 閔惠芳 徐勝元孫永輝

(1.河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院,江蘇南京 211100;2.南京理工大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇南京 210094;3.東南大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇南京 234299)

1 引言

作為微分動力系統(tǒng)中十分重要的非線性動力學(xué)現(xiàn)象,混沌現(xiàn)象因其在安全通信、激光系統(tǒng)、電子化學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用,受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1-5].自混沌學(xué)的發(fā)展逐漸步入正軌以來,人們一直嘗試用肉眼可見的方法去觀察混沌這一令人捉摸不透的動力學(xué)現(xiàn)象.由此,作為揭開分支與混沌機理過程中的重要研究課題,電學(xué)中非線性電路的混沌現(xiàn)象研究逐漸進入人們的眼球.關(guān)于非線性電路中混沌現(xiàn)象的研究已有三十年以上的歷史,在研究者們的不懈努力下,許多以混沌機理研究為目的的電路被構(gòu)造出來[6].同時,研究者們還對一部分實用電路中產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象進行了密切研究[7].

1983年,加利福尼亞大學(xué)的Leon Chua教授設(shè)計出了第1個可以通過實驗?zāi)M混沌現(xiàn)象的Chua電路[8].這是一個具有里程碑意義的設(shè)計,它開辟了混沌行為應(yīng)用于現(xiàn)實世界的新道路.Chua電路是一個可以產(chǎn)生雙渦卷混沌的三階自治電路,通過賦予一個分段線性負(fù)電阻不同形式的參數(shù)組合,從而產(chǎn)生尤為豐富的分支與混沌行為.Chua電路是能引起混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的自治電路中構(gòu)造最為簡單的一個,任何在三階自治系統(tǒng)中產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象,都可以通過Chua電路系統(tǒng)模擬展現(xiàn)出來.Shilnikov定理中對Chua系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌形態(tài)做出了嚴(yán)格證明[9].基于此,人們得以通過電路這一形式來對分支和混沌的各種機理進行觀察和研究.因此,對于Chua電路的研究引起了很多研究者的興趣,Chua系統(tǒng)也逐漸成為了混沌現(xiàn)象研究中的標(biāo)準(zhǔn)模型[10-14].

最初的關(guān)于Chua電路系統(tǒng)的研究需要假設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)是精確已知的.在實際的電路設(shè)計中,由于受到元器件老化、不確定干擾以及測量成本等各種內(nèi)部外部因素的影響,電路中的某些參數(shù)往往很難精確或直接獲取.因此,如何解決具有未知參數(shù)的Chua電路系統(tǒng)的參數(shù)估計問題變得尤為重要,當(dāng)系統(tǒng)僅有部分狀態(tài)變量可用時,問題將變得更加困難.為了解決這一問題,學(xué)者們提出了各種各樣的方法,如:基于延遲嵌入的方法[15-16]、基于控制理論的方法[17-18]等.其中基于控制理論的方法可以通過觀測器設(shè)計、系統(tǒng)辨識等方法從隱藏變量中估計未知參數(shù),從而得到越來越廣泛的應(yīng)用.文獻[19]提出了一種基于最小二乘法的參數(shù)估計方法,然而該方法需要假設(shè)Chua電路系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量均已知,這在很多情況下無法滿足.文獻[20]考慮了系統(tǒng)僅有部分狀態(tài)變量作為輸出可測的情況,通過巧妙地引入的坐標(biāo)變換,將非線性Chua系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榭捎^測的線性系統(tǒng),并提出了基于標(biāo)準(zhǔn)線性參數(shù)辨識的混沌系統(tǒng)參數(shù)估計方法.在此基礎(chǔ)上,文獻[21]提出了基于梯度算法的線性估計方法,通過利用梯度算法不斷調(diào)整估計器的增益,從而使得估計參數(shù)能夠收斂到參數(shù)的實際值,然而這一算法要求系統(tǒng)的輸出及其導(dǎo)數(shù)都是已知的.

收斂速度是參數(shù)估計過程中非常關(guān)鍵的一個性能指標(biāo),前文中所涉及的文獻大多僅能實現(xiàn)參數(shù)的漸近估計.漸近估計僅能保證參數(shù)的估計誤差在時間趨向于無窮時趨向于零,因此無法得到更快的估計速度.從時間優(yōu)化的角度來看,使估計誤差有限時間收斂的估計方法才是時間最優(yōu)的估計算法.此外,有限時間估計算法通常帶有分?jǐn)?shù)冪項,使得有限時間參數(shù)估計和傳統(tǒng)的漸近估計相比,往往具有更好的魯棒性和抗擾動性.正是由于有限時間參數(shù)估計的諸多優(yōu)點,關(guān)于混沌系統(tǒng)有限時間參數(shù)估計的研究受到越來越多研究者的關(guān)注,并取得了許多積極的成果[22-25].特別地,在最近的文獻[26]中,作者針對Chua電路系統(tǒng)提出了一種基于Volterra積分算子的有限時間自適應(yīng)參數(shù)估計算法,和現(xiàn)有結(jié)果相比,該算法在實現(xiàn)參數(shù)有限時間估計的同時,避免了對輸出導(dǎo)數(shù)的計算.然而,為了消去未知輸出導(dǎo)數(shù)的影響,需要針對Volterra積分算子選取幾個不同的核函數(shù),這大大提升了算法的復(fù)雜度.

注意到,不管是傳統(tǒng)的漸近參數(shù)估計算法還是近年來被廣泛研究的有限時間估計算法,其收斂時間都是依賴于參數(shù)的初始估計誤差的,并隨初始估計誤差的增大而增大.為了克服這一缺陷,文獻[27]提出了固定時間穩(wěn)定性的概念.固定時間穩(wěn)定性在保留了有限時間穩(wěn)定收斂速度快、收斂精度高等諸多優(yōu)點的同時,還具有收斂時間不依賴初始值的優(yōu)良特性,因此成為國內(nèi)外的研究熱點[28-30].近年來,混沌系統(tǒng)的固定時間同步、固定時間控制等問題被大量地研究[31-32],但關(guān)于混沌系統(tǒng)的固定時間參數(shù)估計問題的研究卻鮮有報道.因此,解決混沌系統(tǒng)的固定時間參數(shù)估計問題是本文所要考慮的主要問題.

本文針對帶有未知參數(shù)的Chua電路系統(tǒng),提出了一種新的基于Volterra積分算子的固定時間自適應(yīng)參數(shù)估計算法,和已有算法相比主要貢獻如下:

1) 首先,和已有的基于漸近收斂和有限時間收斂的參數(shù)估計策略相比較,本文所提出的固定時間參數(shù)估計算法在保證了收斂速度快、收斂精度高的同時,還具有收斂時間不依賴于初始估計誤差的特點;

2) 此外,本文所使用的Volterra積分算子,能夠有效消除系統(tǒng)初始值的影響,同時避免對系統(tǒng)輸出導(dǎo)數(shù)的計算,使得所提算法只需用到系統(tǒng)的輸出信息,從而能夠有效減少傳感器的使用,從而有效降低算法的實現(xiàn)成本;

3) 最后,和文獻[26]相比,本文所提算法除了能實現(xiàn)固定時間參數(shù)估計外,只需要選取一個核函數(shù),從而使得算法復(fù)雜度大大降低.

本文剩余部分組織如下:第2節(jié)給出了Chua電路系統(tǒng)的建模和預(yù)備知識;第3節(jié)給出了固定時間自適應(yīng)參數(shù)估計器的設(shè)計與穩(wěn)定性分析;第4節(jié)和第5節(jié)分別給出了仿真結(jié)果和總結(jié).

2 問題描述

2.1 系統(tǒng)建模

如圖1所示,Chua電路由3個儲能元件(1個電感和2個電容)、1個線性電阻器和1個稱為Chua二極管的非線性電阻器組成,其簡化非線性模型如下[6]:

圖1 Chua電路系統(tǒng)Fig.1 The Chua system

其中:R是線性電阻,vc1和vc2分別是電容器C1,C2兩端的電壓,il是通過電感的電流.φ()是關(guān)于電容器C1電壓的函數(shù),用來表示通過非線性電阻的電流,該非線性函數(shù)由如下的奇對稱分段線性函數(shù)描述:

其中m0,m1和Bp為二極管的3個固定常數(shù).根據(jù)文獻[33],系統(tǒng)(1)可以寫成如下的無量綱形式:

其中y1,y2表示系統(tǒng)的輸出,

對于系統(tǒng)(3),只需要系統(tǒng)輸出y1=x1,y2=x2和t已知,β,a,b和γ均為待估計的未知參數(shù).

由文獻[21]可知,當(dāng)參數(shù)選取為γ=27,β=15.6,a=-和b=-附近的固定值時,Chua電路將表現(xiàn)出所謂的雙渦卷混沌吸引子.

本文的主要目標(biāo)為:針對系統(tǒng)(3),考慮當(dāng)系統(tǒng)僅有y1,y2已知作為輸出時,如何在一個不依賴于初始值的固定時間內(nèi),實現(xiàn)對參數(shù)β,a,b和γ的精確估計.

2.2 固定時間穩(wěn)定性

考慮如下系統(tǒng):

其中:f(0)=0,x(t)∈Rn,f(x(t)):Rn →Rn為一個連續(xù)函數(shù),x0=x(t0)表示系統(tǒng)的初始值,t0表示初始時刻為一個定值.

下面將介紹固定時間穩(wěn)定性的定義和判據(jù).

定義1對系統(tǒng)(5),系統(tǒng)的解記為x(t,x0).如果存在一個不依賴于系統(tǒng)初始值x0的固定時間T,使得對任意初始狀態(tài)x0,有x(t,x0)=0,?t≥T+t0成立,那么系統(tǒng)(5)的平衡點x=0是全局固定時間穩(wěn)定的.

引理1[27]對系統(tǒng)(5),如果存在一個連續(xù)正定徑向無界的Lyapunov函數(shù)V(x(t)):Rn →R≥0,使得

其中:α1＞0,α2＞0,0＜p ＜1,q ＞1,那么系統(tǒng)的原點是全局固定時間穩(wěn)定的,即對任意初始值x0∈Rn,有x(t,x0)=0,?t≥Tmax成立,其中Tmax滿足

2.3 Volterra積分算子

其中K(·,·):R×R→R希爾伯特-施密特核函數(shù).

用微分方程的形式實現(xiàn)式(8)更方便實際計算,通過對式(8)運用萊布尼茨微分規(guī)則,容易證明[VKf](t)可由如下的微分方程來產(chǎn)生:

其中K(i)(·,·)表示K(·,·)關(guān)于第2個變量的i階導(dǎo)數(shù).

3 固定時間參數(shù)估計

為了方便參數(shù)估計器的設(shè)計,我們將系統(tǒng)(3)重新寫成如下形式:

3.1 核函數(shù)K(t,τ)的選取

為了計算函數(shù)f(t)的Volterra 積分算子的映射[VKf](t),需要先選取核函數(shù)K(t,τ).不同于文獻[26],本文核函數(shù)K(t,τ)選取如下:

注1文獻[26]中選取的核函數(shù)K(t,τ)滿足K(t,τ)=Kh(t,τ)=e-wh(t-τ)(1-e-wτ)N.當(dāng)利用此核函數(shù)估計參數(shù)θ1,θ2,θ3,γ時,為了消除未知變量的影響,需要選取具有不同參數(shù)wh,w1,w2和相同參數(shù)w的核函數(shù)Kh,K1,K2.和文獻[26]不同,本文只需選取一個核函數(shù)就能實現(xiàn)對系統(tǒng)所有未知參數(shù)的估計.

3.2 參數(shù)估計

對系統(tǒng)(11)兩邊同時進行積分算子VK運算可得

注2注意到,式(21)中除了參數(shù)θ1,θ2,θ3,γ外,其它變量均是已知的,因此可以用來設(shè)計參數(shù)估計器.然而,直接根據(jù)Volterra積分算子的定義式(8)去計算式(21)中的Volterra積分算子映射非常繁瑣,用微分方程來產(chǎn)生等式(21)中的所需變量更方便實際計算.

下面的引理中給出等式(21)中的變量[VK(i)yj](t),?i ∈{0,1,2},?j ∈{1,2,3}的微分方程產(chǎn)生方式,其證明詳見附錄.

為了方便估計器的設(shè)計,等式(23)可以重新寫為

為了設(shè)計自適應(yīng)參數(shù)估計器,需要v1(t),v2(t)滿足如下的持續(xù)可激勵假設(shè):

假設(shè)1函數(shù)v1(t),v2(t)滿足持續(xù)可激勵條件,即存在常數(shù)r ＞0,T0＞0使得如下不等式對?t≥T0成立:

注3由文獻[35-36]可知,假設(shè)1中的持續(xù)可激勵條件是解決自適應(yīng)參數(shù)辨識問題的必備條件.在這一假設(shè)條件下,通過直接應(yīng)用文獻[35-36]中的理論方法,容易針對系統(tǒng)(24)設(shè)計自適應(yīng)參數(shù)估計算法,實現(xiàn)參數(shù)的漸近估計.然而,本文的主要目標(biāo)是實現(xiàn)參數(shù)的固定時間精確估計,因此傳統(tǒng)的漸近估計算在此無法滿足要求.

可以發(fā)現(xiàn)式(24)中兩個等式一個是向量形式一個是標(biāo)量形式,因此對兩式分別左乘(t)和v2(t)可得

定義如下輔助變量:

4 仿真算例

為了驗證算法的有效性,本節(jié)將對系統(tǒng)(3)運用定理1中提出的固定時間參數(shù)估計算法進行仿真驗證,并通過與文獻[26]所提出的有限時間參數(shù)估計算法進行比較,以驗證所提算法的優(yōu)越性.

4.1 參數(shù)選取

對系統(tǒng)選取如下的初始狀態(tài)和參數(shù):

系統(tǒng)的混沌吸引子及其在各坐標(biāo)平面的投影如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)的混沌吸引子圖Fig.2 Chaotic attractor of system

按照定理1設(shè)計固定時間自適應(yīng)參數(shù)估計算法,其參數(shù)選取如表1所示.按照文獻[26]設(shè)計有限時間參數(shù)估計算法,其參數(shù)選取與文獻[26]相同.為了驗證算法的固定時間收斂性,分別選取如下兩個不同的自適應(yīng)初始值:

表1 估計器參數(shù)選取Table 1 Parameter selection of the estimator

下面將分別針對以上兩個不同的自適應(yīng)初始值,分別對本文所提出的固定時間參數(shù)估計算法和文獻[26]所提出的有限時間參數(shù)估計算法進行仿真驗證和比較.

4.2 仿真結(jié)果分析

當(dāng)選取r=10-12,T0=0.6 s,可以驗證假設(shè)1成立.由定理1可得Tmax的表達(dá)式

將表1中的參數(shù)代入上式可以算出參數(shù)估計器的收斂時間Tc＜Tmax=1.4 s.固定時間自適應(yīng)參數(shù)估計算法的仿真結(jié)果見圖3和圖4.選取自適應(yīng)初始值(0)=[0 0 0]T,(0)=0,仿真結(jié)果見圖3.由圖3可得,本文所提出的算法能夠在1.4 s內(nèi)實現(xiàn)對系統(tǒng)參數(shù)β,γ,a,b的準(zhǔn)確估計.當(dāng)選取一個大的自適應(yīng)初始值=[105105105]T,(0)=105,仿真結(jié)果見圖4.由圖4可得,即使在大的初始狀態(tài)下,所提算法依然能夠在1.4 s內(nèi)實現(xiàn)對系統(tǒng)參數(shù)β,γ,a,b的準(zhǔn)確估計,由此驗證了本文所提算法的固定時間收斂性質(zhì),即收斂時間Tc有一個不依賴初始值上界Tmax.

圖3 自適應(yīng)初始值(0)=[0 0 0]T,(0)=0下的固定時間參數(shù)估計Fig.3 Parameter estimation under adaptive initial values (0)=[0 0 0]T,(0)=0

圖4 自適應(yīng)初始值(0)=[105 105 105]T,(0)=105下的固定時間參數(shù)估計Fig.4 Parameter estimation under adaptive initial values (0)=[105 105 105]T,(0)=105

文獻[26]所提出的有限時間自適應(yīng)參數(shù)估計算法的仿真結(jié)果見圖5.由圖5可知,選取自適應(yīng)初始值(0)=[0 0 0]T,(0)=0時,有限時間參數(shù)估計算法也能在一個很短的時間Tc=5 s 內(nèi)實現(xiàn)對參數(shù)的有限時間估計.然而,當(dāng)選取一個大的自適應(yīng)初始值(0)=[105105105]T,(0)=105時,可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)估計器的收斂時間增加到Tc＞150 s.由此也說明了本文所提出的固定時間參數(shù)估計算法的優(yōu)越性.

圖5 有限時間參數(shù)估計:左圖:初始值(0)=[0 0 0]T,(0)=0;右圖初始值(0)=[105 105 105]T,(0)=105Fig.5 Finite-time parameter estimation:Left:initial values (0)=[0 0 0]T,(0)=0;Right:initial values(0)=[105 105 105]T,(0)=105

附錄:引理3證明

由Volterra積分算子的定義式(8)和式(17)可得

5 總結(jié)

本文針對不確定Chua電路系統(tǒng),提出了一種新的自適應(yīng)固定時間參數(shù)估計算法.與傳統(tǒng)的漸近估計和有限時間估計算法相比,本方法在實現(xiàn)對參數(shù)精確估計的同時,還具有收斂時間不依賴于初始估計誤差的優(yōu)良特性.需要指出的是,和許多已有文獻類似[21,26],盡管本文所使用的持續(xù)可激勵假設(shè)已經(jīng)在實驗中被驗證,但缺乏嚴(yán)格的理論證明.并且本文所提算法僅能實現(xiàn)對參數(shù)的估計,不能實現(xiàn)對未知狀態(tài)的估計.此外,由于混沌系統(tǒng)對初始值的選取非常敏感,對系統(tǒng)初始狀態(tài)的估計也具有重要的理論和實際意義.因此,如何解決以上問題是筆者今后要考慮的主要課題.