張 宇 程開新 竺俊杰 武國勛 姚熊亮

(1.青島哈爾濱工程大學創(chuàng)新發(fā)展中心,山東青島 266400;2.哈爾濱工程大學船舶工程學院,黑龍江哈爾濱 150001;3.大連理工大學電氣工程學院,遼寧大連 116024)

1 引言

具有旋轉激勵的平移振蕩器(rotational/translationalactuator,RTAC)是研究欠驅動系統(tǒng)[1-2]的基準系統(tǒng)之一,因其具有明顯的強非線性、欠驅動特性,常被用來分析設計非線性控制器,測試控制器的性能.

關于RTAC系統(tǒng)的控制器設計問題,很多學者已經進行了廣泛的研究.期刊International Journal of Robust and Nonlinear Control對RTAC系統(tǒng)的非線性控制問題進行過專門的研究報道[3-4].對于RTAC系統(tǒng),常見的控制設計方法有兩類: 一是通過部分反饋線性化和解耦處理將系統(tǒng)轉化為嚴格反饋的級聯規(guī)范型,然后應用經典的反步法得到系統(tǒng)的穩(wěn)定控制律[5-7];另外一種方法是利用RTAC的無源特性設計控制器[8-9].近期,學者們進一步挖掘了RTAC的特性,對其運動耦合增強[10]、匹配干擾下的連續(xù)控制[11]以及最大反饋線性化[12]等問題進行了研究.此外,其他一些控制算法,包括輸出反饋控制[13-14]、滑模變結構控制[15-16]、自適應控制[17]、智能控制[18]也被應用于RTAC的控制器設計.

現有的RTAC系統(tǒng)控制研究多以單個RTAC系統(tǒng)作為被控對象,對多個RTAC構成的級聯型RTAC系統(tǒng)的控制研究則鮮見報道.其中,Sun等人研究了級聯RTAC的非線性耦合與魯棒控制[19]以及基于部分狀態(tài)反饋的級聯RTAC鎮(zhèn)定[20].但是關于級聯RTAC系統(tǒng)的控制還有很多問題沒有解決,如協同控制問題,集中、分散不同控制器形式對系統(tǒng)鎮(zhèn)定影響,以及考慮子系統(tǒng)間不確定關聯的魯棒控制等問題,這些都值得進一步研究探討.

針對現有級聯RTAC系統(tǒng)控制研究存在的問題,為豐富級聯非線性系統(tǒng)控制理論,本文將對基于動態(tài)神經網絡辨識的級聯型RTAC系統(tǒng)的分散鎮(zhèn)定控制展開研究.首先,采用拉格朗日方程得到級聯RTAC數學模型;然后,引入動態(tài)神經網絡利用其對非線性函數的逼近能力,辨識出分散子系統(tǒng)間的不確定關聯項,并采用考慮不確定關聯項的分層滑?？刂扑惴ㄍ瓿上到y(tǒng)穩(wěn)定性控制;最后,通過數值仿真驗證所提分散控制系統(tǒng)的有效性.

2 級聯RTAC數學模型

如圖1所示,級聯RTAC系統(tǒng)由n個RTAC通過彈簧柔性連接組成,對于第i(1 ≤i≤n)個RTAC,其由一個未驅動的平移振蕩器(小車)和受轉矩驅動的旋轉偏心質量(小球)組成.小車通過彈簧連接在固定端(或第i-1和i+1個RTAC)上,在水平方向作一維直線運動,位移用xi表示,小球在作動器轉矩Ni的作用下在水平面內做旋轉運動,轉動角度為θi.小車質量為Mi,彈簧剛度系數為ki,小球質量為mi,其轉動半徑為ri,小球關于質心轉動慣量為Ji.

對于第i個RTAC子系統(tǒng),選取小車位移xi和小球轉角θi為廣義坐標,此時拉格朗日方程具體形式為

為RTACi在直線運動方向受到的非保守力.L為RTACi子系統(tǒng)的拉格朗日函數,fi(i=1,2,...,n)為RTAC子系統(tǒng)間的不確定作用力(如非線性彈性恢復力、彈簧阻尼力等未建模動態(tài)),fi同時作用在RTACi和RTACi-1兩個子系統(tǒng)上,增強了子系統(tǒng)間的關聯,稱其為級聯RTAC系統(tǒng)的不確定關聯項,為表述簡潔,將不確定關聯項記為

通過計算RTACi子系統(tǒng)的動能和勢能差值得到子系統(tǒng)的拉格朗日函數L,代入到式(1)中,可得到RTACi子系統(tǒng)的數學模型,即

將n個RTAC的數學模型聯立,可得到整個級聯RTAC系統(tǒng)的數學模型.

級聯RTAC系統(tǒng)每個子系統(tǒng)數學模型形式接近,具有相似組合系統(tǒng)特征,可將式(4)整理為矩陣形式

3 級聯RTAC動態(tài)神經網絡分散控制

3.1 分散控制

作為一種非線性關聯系統(tǒng)的有效控制手段,分散控制的基本思想為將整個被控系統(tǒng)拆解為多個相互關聯的子系統(tǒng),以子系統(tǒng)的局部狀態(tài)信息作為依據設計分散控制器[21-22].與集中控制相比,分散控制各子系統(tǒng)控制器不需要通信,可提高控制器執(zhí)行效率,且各子系統(tǒng)控制器獨立運行,增加了控制系統(tǒng)可靠性.為此,本文采用分散控制方法來實現級聯RTAC系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制.

不同于單個RTAC,級聯RTAC系統(tǒng)的小車具有多級耦合特性,不確定關聯項引起的建模誤差在級聯RTAC耦合特性影響下可在多個RTAC子系統(tǒng)間傳遞,形成誤差累積;此外,級聯RTAC系統(tǒng)具有多個振動模態(tài),而不確定關聯項與振動形式相關,在不同模態(tài)下并不相同.在無法確定不確定關聯項與RTAC子系統(tǒng)間彈簧彈性力的相互關系時,直接對系統(tǒng)進行離散,將不確定關聯項作為外部干擾,獨立設計鎮(zhèn)定控制器將不可避免的造成控制精度低的問題.因此,開展分散控制時,對級聯RTAC系統(tǒng)的不確定關聯項進行辨識是必要的.

3.2 動態(tài)神經網絡辨識

在級聯RTAC系統(tǒng)的分散控制系統(tǒng)設計中,如何處理RTAC子系統(tǒng)間的不確定關聯項,是保證分散控制系統(tǒng)控制效果的關鍵.為此,本部分引入動態(tài)神經網絡(dynamic neural network,DNN),利用神經網絡對任意連續(xù)有界非線性函數的一致逼近能力,辨識出級聯RTAC中的不確定關聯項,并以此為基礎,完成級聯RTAC系統(tǒng)的分散控制器設計.

因動態(tài)神經網絡存在時間相關環(huán)節(jié),在處理動力學系統(tǒng)的辨識問題時,其動態(tài)性能較靜態(tài)網絡更具優(yōu)勢[23-24].動態(tài)神經網絡辨識具體實現方法如下.

將級聯RTAC系統(tǒng)數學模型整理為如下形式:

其中: 狀態(tài)變量X維數為4n,B為4n×r矩陣,C為q×4n矩陣,W*為r×4n維神經網絡權值矩陣,ε(X,U)為系統(tǒng)誤差項,滿足‖ε(X,U)‖＜θ*,θ*＞0為未知常數.S(X)為光滑、至少二次可微單調遞增函數組成的4n維向量,此處選用Sigmoid函數,形式為

其中:μ和l為有界參數,λ為常數,Xi(i=1,2,···,4n)為系統(tǒng)狀態(tài)變量.

其中,選取適當的L,使得Ac=LC為穩(wěn)定矩陣,且使(Ac,B)構成可控對,此時,如果存在q×r矩陣F,使H(s)=FTC(sI -Ac)-1B為一嚴格正實函數矩陣,則一定存在一個4n×4n階正定矩陣P滿足

其中Q為任意4n×4n階正定矩陣.需要注意的是,本問題中系統(tǒng)狀態(tài)均為可測量的,DNN的主要目標為不確定關聯項的辨識.DNN突觸連接權值采用如下自適應律進行在線調整,以實現對不確定關聯項的在線辨識.

關于上述動態(tài)神經網絡對級聯RTAC系統(tǒng)中不確定關聯項辨識誤差的收斂性,存在如下定理.

3.3 分層滑模分散鎮(zhèn)定控制

首先為RTACi設計如下一級滑模面,兩個滑模面分別對應RTACi子系統(tǒng)的振子平移運動和旋轉激勵旋轉運動.

若系統(tǒng)狀態(tài)能達到一級滑模面,當在一級滑模面上運動時,系統(tǒng)狀態(tài)滿足:=0,RTACi子系統(tǒng)的小車位移和小球旋轉角度均按指數收斂到零.

考慮到RTAC系統(tǒng)的欠驅動特性,單個控制輸入Ni無法同時對兩個獨立變量si1和si2進行直接控制,為保證RTACi子系統(tǒng)的一級滑模面能夠到達,仍需為其設計二級滑模面,構造如下線性二級滑模面:

為得到使RTACi子系統(tǒng)二級滑模面穩(wěn)定的滑模控制律,為其選取如下Lyapunov函數:

當且只當Si=0時,式(38)中的等號成立.由式(38)可知Vi(t)≤Vi(0)-≤Vi(0),即Vi(t)有界,根據Lyapunov 穩(wěn)定性理論與LaSalle’s不變集原理,可知Si可穩(wěn)定收斂于系統(tǒng)的不變集,即零點.要證明RTACi子系統(tǒng)的小車位移和小球旋轉角度也穩(wěn)定收斂到零,還需要對一級滑模面的穩(wěn)定性進行證明,具體證明過程見附錄A.

4 數值分析

通過數值仿真分析本文所提級聯RTAC系統(tǒng)控制方案的控制效果.在數值仿真過程中,設定n=3,即級聯RTAC系統(tǒng)包含3個RTAC子系統(tǒng).每個RTACi子系統(tǒng)取相同參數,具體取值如表1所示.

表1 級聯RTAC系統(tǒng)參數Table 1 System parameters of cascade RTAC

對于n=3的級聯RTAC系統(tǒng),其在固定住小球轉角時,可視為三自由度振動系統(tǒng),在不考慮不確定作用力(如非線性彈性恢復力、彈簧阻尼力等未建模動態(tài))的影響時,其有三階振動模態(tài).級聯RTAC系統(tǒng)小車的各種運動均可表示為3種振動模態(tài)的線性組合,如果能對3種振動模態(tài)進行有效控制,即可實現級聯RTAC系統(tǒng)任意平移振動的有效控制.

為了驗證基于動態(tài)神經網絡辨識的級聯RTAC系統(tǒng)分散控制器的有效性,對3種不同工況下的RTAC系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制以及不確定關聯項辨識進行了分析.3種工況對應n=3的級聯RTAC系統(tǒng)的三階振動模態(tài).以三自由度振動系統(tǒng)的振型向量為基礎,以第2個RTAC子系統(tǒng)小車初始位移為基準進行歸一化,確定不同工況下各RTAC 子系統(tǒng)中小車的初始位移.通過調整各RTAC子系統(tǒng)中小車的初始位移,可以控制級聯RTAC系統(tǒng)進入哪種振動模態(tài).3種工況對應的初始條件如表2所示.

表2 各工況初始條件Table 2 Initial conditions of simulations

仿真中不確定關聯項采用正弦函數形式,即?f=Asinωt,在3種工況下各RTAC子系統(tǒng)的不確定項幅值均取0.1 N,頻率分別取級聯RTAC系統(tǒng)的三階共振頻率,即2.38 Hz,6.69 Hz以及9.67 Hz.分別對無控、分層滑模分散控制(hierarchical sliding mode decentralized control,HSMDC)以及基于動態(tài)神經網絡的分層滑模分散控制(dynamic neural network based hierarchical sliding mode decentralized control,DNN-HSMDC)3種不同條件下的級聯RTAC小車位移響應和不確定關聯項辨識情況進行了分析,數值結果見圖2-7.

圖2 工況1: 一階振動模態(tài)下RTAC小車位移響應Fig.2 Simulaiton1:displacement responses of RTAC in first vibration mode

如圖2所示,在一階振動模態(tài)下,因不確定干擾項頻率與系統(tǒng)一階共振頻率一致,向級聯RTAC系統(tǒng)注入能量,導致無控條件下3個小車的位移響應幅值逐漸增大,而施加HSMDC和DNN-HSMDC控制后,小車位移很快穩(wěn)定到原點附近.在觀測時間[0,10]s內,HSMDC控制使3個小車的位移均方根值分別降低了84.5%,83%和81%;DNN-HSMDC控制則分別降低了85%,84.3%和83.6%.可以看出DNN-HSMDC控制效果要優(yōu)于HSMDC,這是因為DNN-HSMDC引入神經網絡對級聯RTAC系統(tǒng)中的不確定關聯項進行辨識,補償了建模誤差,得到了更加準確的被控對象模型,進而提升了控制效果.

圖3 工況1: 一階振動模態(tài)下不確定關聯項辨識結果Fig.3 Simulaiton1: identification results of uncertain interconnected forces in first vibration mode

為比較不同控制算法的瞬態(tài)控制效果,采用單周期位移峰值衰減率作為瞬態(tài)性能評價指標,即從仿真開始到小車振動一個周期結束時,小車位移峰值相較于不控時的衰減比例.因為施加控制前后,小車運動周期維持不變,故單周期位移峰值衰減率可體現控制器對振動的抑制快慢.相較于不控時,HS-MDC控制下的3個小車的單周期位移峰值衰減率分別為94.8%,97.3%,86.5%;而DNN-HSMDC控制下單周期位移峰值衰減率可達95.1%,98.3%,95%,可見DNN 辨識引入對振動控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能也有提升.

如圖4-7所示,對于二階振動模態(tài)和三階振動模態(tài)下的級聯RTAC系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制,可得出與工況1類似的結論.不同工況下,基于動態(tài)神經網絡辨識的分層滑模分散控制均能實現對級聯RTAC系統(tǒng)不確定關聯項的準確辨識,并能實現小車位移響應的有效鎮(zhèn)定,且控制效果要優(yōu)于無辨識環(huán)節(jié)的HSMDC控制.

圖4 工況2: 二階振動模態(tài)下RTAC小車位移響應Fig.4 Simulaiton 2: displacement responses of RTAC in second vibration mode

工況2中,HSMDC對3個小車控制效果(位移均方根降低量)分別為63.7%,68.6%和65.5%,穩(wěn)態(tài)誤差為[1.5 1.1 1.9]×10-3m,單周期位移峰值衰減率為18.3%,31.7%,28.5%;DNN-HSMDC 控制效果為70.9%,71.7%和70.3%,穩(wěn)態(tài)誤差為[0.37 0.34 0.25]×10-3m,單周期位移峰值衰減率為41.4%,47.9%,37%.

圖5 工況2: 二階振動模態(tài)下不確定關聯項辨識結果Fig.5 Simulaiton 2: identification results of uncertain interconnected forces in second vibration mode

圖6 工況3: 三階振動模態(tài)下RTAC小車位移響應Fig.6 Simulaiton 3: displacement responses of RTAC in third vibration mode

工況3中,HSMDC對3個小車控制效果(位移均方根降低量)分別為74%,75.1%和77.3%,穩(wěn)態(tài)誤差為[1.1 1.5 1.5]×10-3m,單周期位移峰值衰減率為30.5%,37.3%,44.4%;DNN-HSMDC控制效果為76%,76.4%和80.7%,穩(wěn)態(tài)誤差為[0.12 0.11 0.13]×10-3m,單周期位移峰值衰減率為37.2%,47.4%,48.3%.在工況2和工況3中,DNN辨識環(huán)節(jié)的引入對控制效果的提升要比工況1更加明顯.

圖7 工況3: 三階振動模態(tài)下不確定關聯項辨識結果Fig.7 Simulaiton 3: identification results of uncertain interconnected forces in third vibration mode

5 結論

本文提出了一種基于動態(tài)神經網絡辨識的級聯RTAC系統(tǒng)分散控制方案.引入動態(tài)神經網絡辨識出分散子系統(tǒng)中的不確定關聯項,并采用分層滑?？刂扑惴榧壜揜TAC系統(tǒng)設計了分散控制器,通過理論分析給出了動態(tài)神經網絡辨識誤差一致有界的條件,證明了閉環(huán)分散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.數值仿真表明,基于動態(tài)神經網絡辨識的分層滑模分散控制能實現對級聯RTAC系統(tǒng)不確定關聯項的準確辨識,可補償系統(tǒng)建模誤差,進而在系統(tǒng)位移響應抑制以及控制精度方面均優(yōu)于無辨識環(huán)節(jié)的分層滑模分散控制.

附錄A RTACi子系統(tǒng)一級滑模面穩(wěn)定性證明

只有兩級滑模面穩(wěn)定性均得到證明,才能保證RTACi子系統(tǒng)鎮(zhèn)定能夠實現.現對如下一級滑模面的穩(wěn)定性定理進行證明.

綜上可得σ1∈L2,σ2∈L2.兩個一級滑模面均為平方可積函數,且其導數有界,根據Barbalat引理即可證得兩個一級滑模面是漸近穩(wěn)定的.