解紅珍,宗廣燈,楊 東

(曲阜師范大學(xué)工學(xué)院,山東日照 276826)

1 引言

在當代日益復(fù)雜的工業(yè)過程中,由有限個連續(xù)動態(tài)和離散變量組成的切換系統(tǒng)憑借其強大的建模能力在實際系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用,例如:化工過程控制系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)和電力系統(tǒng)等[1].考慮在切換信號受約束情況下的穩(wěn)定性分析與控制綜合是研究切換系統(tǒng)基本且重要的問題[2].目前,設(shè)計切換信號的方法多種多樣,如:公共Lyapunov 函數(shù)方法、單Lyapunov函數(shù)方法、多Lyapunov函數(shù)方法等[3].

在實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)控制、電力系統(tǒng)控制等過程中,由于信號傳輸速度的限制,不可避免地會出現(xiàn)時滯現(xiàn)象[4].時滯的存在往往會使系統(tǒng)性能變差甚至直接導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此,考慮時滯對切換系統(tǒng)的影響,并對其穩(wěn)定性性能進行分析與控制綜合具有重要的理論價值與實際意義.為了獲得理想的性能,許多學(xué)者對有關(guān)帶有時滯的切換系統(tǒng)進行了研究并提出了相關(guān)技術(shù)與方法,例如:Jensen積分不等式方法[5]、自由加權(quán)矩陣方法[6]、Wirtinger不等式方法等[7].

值得注意的是上述的研究都是基于穩(wěn)定子系統(tǒng)之間的切換,而在實際中會遇到具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)[8].為了合理地利用這些不穩(wěn)定子系統(tǒng),許多學(xué)者對此開展了大量的工作.文獻[9]利用平均駐留時間的方法設(shè)計了一種慢切換規(guī)則來穩(wěn)定一類具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng).近幾年,在切換中引入了一種模態(tài)依賴平均駐留時間方法,以更靈活地釋放平均駐留時間的限制,得到了具有緩慢模態(tài)依賴平均駐留時間切換策略的穩(wěn)定性條件[10].文獻[11]利用模態(tài)依賴平均駐留時間切換的方法實現(xiàn)了離散時間的切換線性系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[12]針對帶有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的線性切換奇異系統(tǒng),利用模態(tài)依賴平均駐留時間的方法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù).但值得指出的是對于時滯現(xiàn)象與非線性項存在的情況,上述的研究并沒有考慮.另外上述的文獻只研究了切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性性能和H∞性能,本文研究了更一般的耗散性能.如果稱一個系統(tǒng)為耗散系統(tǒng),簡單地說,是指這個系統(tǒng)從系統(tǒng)外部流入能量的速率不能低于系統(tǒng)內(nèi)部存儲能量的速率.也就是說,當沒有外部能量供應(yīng)時,存儲在耗散系統(tǒng)中的能量將會消失.近年來,耗散性理論已經(jīng)成為研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計的有效方法.該理論廣泛應(yīng)用于各類系統(tǒng)的控制器設(shè)計,例如文獻[13]考慮了帶有時滯項的離散時間切換線性系統(tǒng)的無源性與穩(wěn)定性.文獻[14]運用無源性理論研究了切換非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.然而有關(guān)帶有不穩(wěn)定子系統(tǒng)和混合時滯的的切換系統(tǒng)的無源性或耗散性和指數(shù)鎮(zhèn)定問題迄今尚未得到研究.

本文利用耗散性理論和模態(tài)依賴平均駐留時間方法研究了帶有混合時滯的切換系統(tǒng)的耗散性和全局指數(shù)鎮(zhèn)定問題.與已有的研究成果相比,本文的主要貢獻如下:

1) 研究了一類具有混合時變時滯的更一般的系統(tǒng)模型,同時考慮了不穩(wěn)定子系統(tǒng)存在的情況,使得到的結(jié)果在實際運用中更具有一般性,并把子系統(tǒng)全部是穩(wěn)定的情況作為一個特例;

2) 針對帶有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的非線性切換時滯系統(tǒng),設(shè)計了一種由慢切換和快切換組成的具有高效模態(tài)依賴平均駐留時間的切換規(guī)則,建立了一組時滯相關(guān)的可行條件,使系統(tǒng)達到嚴格的〈Q,S,R〉-γ耗散性和全局指數(shù)穩(wěn)定性;

3) 利用較少保守性的多Lyapunov-Krasovskii泛函方法和Jensen不等式技術(shù),得到了一組由LMI工具箱可解的可鎮(zhèn)定的反饋耗散控制器條件.

2 問題描述與預(yù)備知識

2.1 問題描述

考慮如下所示的帶有混合時滯的切換系統(tǒng):

定義1如果存在標量γ ＞0,對于T ＞0,在任意零初始條件下,滿足

則系統(tǒng)(5)是〈Q,S,R〉-γ嚴格耗散的,并且γ稱為耗散性能的邊界值.

注1耗散性通過調(diào)整權(quán)重矩陣,有以下性能成立:

1) H∞性能:Q=-I,S=0,R=2γI;

2) 無源性:Q=0,S=I,R=0.

本文的控制目的:對具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)和混合時滯的非線性切換系統(tǒng)(1),能夠在任意的初始條件下,設(shè)計嚴格的狀態(tài)反饋耗散控制器(4)使得:

1) 閉環(huán)系統(tǒng)(5)在外部干擾ω(t)=0時實現(xiàn)全局指數(shù)穩(wěn)定性;

2) 對于給定的γ ＞0,非零外部干擾ω(t)與控制輸出滿足定義1中的嚴格耗散性能(6).

2.2 預(yù)備知識

定義2如果存在常數(shù)k≥1,α ＞0,使得對于任意初始時刻,當u(t)=0,ω(t)=0時,解x(t)滿足

則稱τap是切換信號σ(t)的快切換模態(tài)依賴平均駐留時間.

3 穩(wěn)定性分析與耗散控制設(shè)計

3.1 穩(wěn)定性與耗散性分析

定理1對于給定標量,p=0,1,2,···滿足如下條件:

其中S表示穩(wěn)定子系統(tǒng)的集合,U表示不穩(wěn)定子系統(tǒng)的集合.那么系統(tǒng)(1)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證對于任何t≥t0,t ∈[tk,tk+1),對 式(13)的兩邊從tk到t積分有

注2定理1考慮了帶有混合時滯非線性切換系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定問題.為了解決不穩(wěn)定子系統(tǒng)存在的情況,本文設(shè)計了一個基于模態(tài)依賴平均駐留時間的快切換與慢切換的組合切換信號,使得到的結(jié)果比一些存在的結(jié)果更一般[10-11].式(14)表明當穩(wěn)定子系統(tǒng)處于激活狀態(tài)時,其運行的時間不能小于相應(yīng)的模態(tài)依賴平均駐留時間,即要進行慢切換;當不穩(wěn)定子系統(tǒng)處于激活狀態(tài)時,其運行時間不能大于相應(yīng)的模態(tài)依賴平均駐留時間,即要進行快切換.式(15)表明了在穩(wěn)定子系統(tǒng)上系統(tǒng)能量是遞減的而在不穩(wěn)定子系統(tǒng)上能量是遞增的.

那么對于任意滿足式(14)的切換信號,u(t)=0時系統(tǒng)(1)是嚴格〈Q,S,R〉-γ耗散的,且在ω(t)=0情況下滿足全局指數(shù)穩(wěn)定.

證對于任意的t ∈[tk,tk+1),σ(t)=ik,構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

因此,根據(jù)定義1,可知非線性切換系統(tǒng)(1)是嚴格〈Q,S,R〉-γ耗散的.

接下來,考慮當ω(t)=0,u(t)=0時,非線性切換系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性性能.把ω(t)=0代入式(24),有

結(jié)合條件(19)-(20),再根據(jù)定理1可知非線性切換系統(tǒng)(1)是全局指數(shù)穩(wěn)定的. 證畢.

注3定理2基于Lyapunov-Krasovskii泛函方法對系統(tǒng)(1)進行了穩(wěn)定性與耗散性分析.利用耗散性理論抑制外部擾動的影響,提出了保證系統(tǒng)嚴格〈Q,S,R〉-γ耗散性與全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.值得指出的是根據(jù)矩陣不等式的性質(zhì),滿足式(18)的必要條件是對角線矩陣是負定的,因此本文假設(shè)時變時滯函數(shù)滿足式(2).

3.2 控制器設(shè)計

那么閉環(huán)系統(tǒng)(5)在任意滿足條件(14)的切換信號下是全局指數(shù)穩(wěn)定的,同時也是嚴格〈Q,S,R〉-γ耗散的.進一步,控制器增益矩陣可表示為如下形式:

進一步應(yīng)用Schur補引理可得條件(18),再根據(jù)條件(27)可知定理1的條件滿足. 證畢.

4 數(shù)值仿真

把非線性切換系統(tǒng)(1)對切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進行建模.假設(shè)該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)有兩種運行模態(tài),每個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含兩個神經(jīng)元.其中兩種模態(tài)的參數(shù)如下:

對應(yīng)的非線性項,外部干擾,和時變時滯項取值如下:

接下來的目標是協(xié)同設(shè)計一組狀態(tài)反饋控制器和一組依賴于模態(tài)依賴平均駐留時間的切換信號,使得由上面參數(shù)構(gòu)成的的非線性切換系統(tǒng)不僅是全局指數(shù)穩(wěn)定性的而且滿足嚴格的(Q,S,R)-γ耗散性能.令Q=-0.01I,S=I,R=0.1I,γ=0.2,λ1=-3.8,μ1=11,λ2=5,μ2=0.1,l1=1,l2=0,解定理3可得

選取初始狀態(tài)x(0)=[1-1]T,圖1和圖2分別展示了模態(tài)1和模態(tài)2在設(shè)計的控制器下的狀態(tài)軌跡,從圖中顯然可知此時模態(tài)1是穩(wěn)定的而模態(tài)2是不穩(wěn)定的.目前已有的結(jié)果還不能解決這類帶有不穩(wěn)定子系統(tǒng)和混合時變時滯項的切換系統(tǒng)的耗散性問題.本文設(shè)計的慢切換和快切換相結(jié)合的模態(tài)依賴平均駐留時間方法考慮了不穩(wěn)定子系統(tǒng)存在的情況.根據(jù)切換規(guī)則(15)可解得τa1≥0.6310和τa2≤0.4605.如圖3所示,選擇滿足模態(tài)依賴駐留時間的切換信號,此時閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡是收斂到零的.進一步,圖4中的函數(shù)值都大于零,這表示定義1中的式(6)成立,即閉環(huán)系統(tǒng)是滿足嚴格耗散性的.因此,本文所提出的方法是有效的.

圖1 模態(tài)1的狀態(tài)軌跡Fig.1 State trajectory of mode 1

圖2 模態(tài)2的狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectory of mode 2

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)的切換信號與狀態(tài)軌跡Fig.3 Switching signal σ(t) and state trajectory of the closed-loop system

圖4 耗散性能指標函數(shù):-Λ(t)=zT(t)Qz(t)+2zTSω(t)+ωT(t)(R-γI)ω(t)Fig.4 Dissipative performance index function:-Λ(t)=zT(t)Qz(t)+2zTSω(t)+ωT(t)(R-γI)ω(t)

5 結(jié)論

本文研究了具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)和混合時滯的切換系統(tǒng)的耗散性分析與控制問題.利用模態(tài)依賴平均駐留時間技術(shù)、多重Lyapunov-Krasovskii 泛函方法和Jensen不等式,得到了保證閉環(huán)系統(tǒng)具有指數(shù)穩(wěn)定和耗散性質(zhì)的時滯相關(guān)的充分條件.分別針對不穩(wěn)定子系統(tǒng)和穩(wěn)定子系統(tǒng),設(shè)計了由模態(tài)依賴平均駐留時間的快切換和慢切換組合成的新切換信號.進一步,通過Schur補引理和矩陣變換方法得到一組可解的LMI條件.最后給出一個數(shù)值例子去證明本文所提出方法的有效性.