谷程鵬 陳武靜 文偉

(湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 湖南 株洲 412007)

Mathematica軟件是由美國(guó)物理學(xué)家及計(jì)算機(jī)學(xué)家Stephen Wolfram于1988年構(gòu)思、設(shè)計(jì)的一款科學(xué)計(jì)算軟件．發(fā)展迭代至今，它在科學(xué)工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)由于它具有直觀的數(shù)學(xué)圖像繪制功能、動(dòng)畫演播功能和卓越的符號(hào)計(jì)算能力，也逐漸被用于數(shù)字化科學(xué)課堂的建設(shè)[1]．該軟件的動(dòng)畫和交互式操作等功能，能模擬物理學(xué)的基本原理、復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象以及諸多因素的相互作用過(guò)程，將物理現(xiàn)象和知識(shí)直觀地展示給學(xué)生，有助于學(xué)生深入理解物理規(guī)律和知識(shí)，提高課堂教學(xué)效果．

本文以高中物理教學(xué)中難以進(jìn)行現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”為例，介紹如何利用Mathematica軟件進(jìn)行課件開(kāi)發(fā)和互動(dòng)性創(chuàng)設(shè)，同時(shí)也將展示如何利用它構(gòu)建情境性的教學(xué)環(huán)境以提高物理課堂教學(xué)效率．

1 “帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”教學(xué)現(xiàn)狀

這節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生理解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．在教學(xué)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“軌道圓心角大小與速度偏轉(zhuǎn)角大小相等”“速度方向與洛倫茲力方向始終垂直”這些動(dòng)力學(xué)特征，學(xué)生理解得并不透徹[2]，而這些知識(shí)內(nèi)容是本節(jié)中的重難點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)綜合性問(wèn)題中，也是高考題常見(jiàn)的熱點(diǎn)知識(shí)．由于“磁偏轉(zhuǎn)”現(xiàn)象在生活中不常出現(xiàn)，因此讓學(xué)生順利分析出粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，找出其幾何關(guān)系[3]，是一個(gè)比較大的挑戰(zhàn)．如果能夠通過(guò)圖像和動(dòng)畫形象地展示這種運(yùn)動(dòng)特征，并能夠讓學(xué)生親身探究運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這對(duì)于學(xué)生領(lǐng)悟和掌握這節(jié)內(nèi)容將是一個(gè)積極的幫助．

傳統(tǒng)的多媒體課件難以展示粒子運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，學(xué)生很難全面認(rèn)識(shí)物理現(xiàn)象，歸納物理規(guī)律．而常規(guī)動(dòng)畫缺乏對(duì)不同磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)邊界、粒子速度等諸多因素影響運(yùn)動(dòng)過(guò)程的模擬，學(xué)生在進(jìn)行變式題型的訓(xùn)練時(shí)，容易對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生聯(lián)想偏差，造成解題困難．而Mathematica軟件具有豐富的涵蓋計(jì)算領(lǐng)域的內(nèi)置函數(shù)，強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算和圖形繪制功能，能完成復(fù)雜的物理仿真模擬，將抽象的帶電粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，并且其交互式操作功能可以實(shí)現(xiàn)不同參數(shù)配置下的帶電粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)模擬，提高了程序應(yīng)用于教學(xué)的適應(yīng)性．所以，應(yīng)用Mathematica軟件制作“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”仿真實(shí)驗(yàn)可以促進(jìn)課堂教學(xué)．

2 交互式程序的制作

2.1 設(shè)計(jì)思路

仿真模擬物理現(xiàn)象，本質(zhì)就是對(duì)一個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的建模過(guò)程．為了精準(zhǔn)模擬帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象，要抽取帶電粒子運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，以下是帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中低速運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組[4，5]

而本程序模擬的是低速帶電粒子在垂直于平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的二維運(yùn)動(dòng)情況，因此

E=0Bx=By=0

運(yùn)動(dòng)微分方程組即變?yōu)?/p>

本程序中粒子的質(zhì)量m、電荷量q、垂直于平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B都是可調(diào)控的已知參數(shù)，再利用Mathematica軟件求出動(dòng)力學(xué)微分方程組的數(shù)值解，獲得粒子運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)(x，y)，輸入至繪圖命令中，對(duì)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行構(gòu)建，就可以完成物理仿真模擬．

2.2 程序?qū)崿F(xiàn)

為了使學(xué)生能更全面地認(rèn)識(shí)“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)”的規(guī)律，本程序使用了Mathematica軟件中的交互式操作命令Manipulate[expr,{u,umin,umax,du}]，其中expr為任意圖形的表達(dá)式,{u,umin,umax,du}用于生成一個(gè)滑動(dòng)條，控制變量u從umin到umax以du等間距變化．本程序共有7個(gè)控制變量，分別是運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2:{t2,0.01,4}，電荷質(zhì)量m:{m,1,5,0.5}，電荷量q:{q,-8,8,1}，磁感應(yīng)強(qiáng)度B:{B,-6,6}，發(fā)射速率v0:{v0,2,10}，發(fā)射角度θ:{θ,0,Pi}和發(fā)射位置x0:{x0,2,6}，通過(guò)調(diào)節(jié)滑動(dòng)條，輸入不同變量值，配置出粒子對(duì)應(yīng)不同荷質(zhì)比、磁感應(yīng)強(qiáng)度、發(fā)射速度等參數(shù)的動(dòng)力學(xué)微分方程組．

利用Mathematica軟件中的NDSolve命令求微分方程組的數(shù)值解，將帶電粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)時(shí)位置坐標(biāo)儲(chǔ)存在變量pos中，求解微分方程組程序如下：

{pos,{{points}}}=NDSolve[{m*x''[t]==q*B*y'[t],m*y''[t]==q*B*x'[t],x'[0] ==v0*Cos[θ],y'[0]==v0*Sin[θ],x[0]==x0,y[0]==0,WhenEvent[{y[t]<0,x[t]<0,y[t]>8,x[t]>8},{{x'[t],y'[t]}->{0,0},Sow[{x[t],y[t]}]}]},{x,y},{t,0,4}]//Reap;

Whenevent指定在NDSolve中，當(dāng)方程組中觸發(fā)了帶電粒子運(yùn)動(dòng)到勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界條件時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)使帶電粒子速度為零的相關(guān)函數(shù)，視覺(jué)上形成了帶電粒子打在勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上的效果，配合Reap和Sow[{x[t], y[t]}]命令，將帶電粒子打在磁場(chǎng)邊界的位置坐標(biāo)儲(chǔ)存在points中，使程序能提取坐標(biāo)并使用圖形命令Graphics畫出碰撞點(diǎn)．儲(chǔ)存在變量pos中的坐標(biāo)輸入至ParametricPlot命令，可以繪制出在有邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，繪制粒子運(yùn)動(dòng)軌跡程序如下：

ParametricPlot[Evaluate[{x[t],y[t]}]/.pos,{t,0,4},PlotRange→{{-2,10},{-2,9}},Axes→False,PlotStyle→{Dashed,Pink},Axes→False];

將上述代碼中的{t, 0, 4}改為{t, 0, t2}，t2在0.01 s到4 s內(nèi)任意播放，就可以呈現(xiàn)出帶電粒子在0到4秒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，更有利于學(xué)生觀察帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．同時(shí)為了模擬教材中的垂直平面的磁場(chǎng)方向“插入點(diǎn)出”的表達(dá)形式，在二維圖形命令Graphics中使用了Table表格程序:

Table[Inset[Style[If[B>0,"×","·"],"Title",Bold,RGBColor[0,0,0,(1/6)Abs[B]],16],{i-0.5,j-0.5}],{i,8},{j,8}];

將“×”或“·”的磁場(chǎng)符號(hào)均勻分布在8×8的二維平面中，通過(guò)RGBColor顏色命令，用符號(hào)顏色透明度表示磁場(chǎng)大小，增強(qiáng)了程序的視覺(jué)效果，有利于學(xué)生直觀感受磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)于“磁偏轉(zhuǎn)”現(xiàn)象的影響．并在圖形命令中加入了箭頭Arrow、插圖Inset、格子Grid等圖形命令，將發(fā)射速度與水平方向的夾角、軌跡半徑、運(yùn)動(dòng)周期和圓心角這些數(shù)據(jù)顯示在面板中，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．

2.3 程序外觀展示

圖3、圖4對(duì)應(yīng)著圖1、圖2的變量設(shè)置，分別模擬了正電粒子在垂直平面向外和垂直平面向里的磁場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)點(diǎn)擊播放按鈕還可以展示帶電粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)感和互動(dòng)感．程序?qū)l(fā)射的速度和角度都顯示在圖像中，并且在表格內(nèi)顯示了軌道半徑、周期、圓心角的數(shù)據(jù)．

圖1 交互式程序界面1

圖2 交互式程序界面2

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果1

圖4 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果2

如圖1、圖2所示，在變量的語(yǔ)句中，添加外觀命令A(yù)pperance，可選擇控件樣式，本程序?qū)?shù)據(jù)統(tǒng)一顯示在控件右側(cè)，方便數(shù)據(jù)記錄，并將運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)置為按鈕樣式，功能更加直觀．使用者可拖動(dòng)滑動(dòng)條來(lái)調(diào)整變量的數(shù)值，也可以選中右側(cè)數(shù)值處，輸入可調(diào)節(jié)范圍內(nèi)的數(shù)值，設(shè)置完成后點(diǎn)擊運(yùn)動(dòng)的播放按鈕即可顯示帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況．

3 教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 新課教學(xué)

在“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”新課教授時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生將“帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)”的特點(diǎn)與“圓周運(yùn)動(dòng)”的速度和加速度特點(diǎn)類比后，認(rèn)識(shí)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中會(huì)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征．根據(jù)新教材的指導(dǎo)，教師會(huì)采用“洛倫茲力演示儀”進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)，通過(guò)調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度或改變出射電子速度，觀察電子運(yùn)動(dòng)軌跡的變化，帶領(lǐng)學(xué)生探究帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．但實(shí)際上，“洛倫茲力演示儀”在高中并不常見(jiàn)，更多的教師會(huì)用視頻或動(dòng)畫的方式替代其教學(xué)功能．

首先，“洛倫茲力演示儀”采購(gòu)單價(jià)較高，很多中學(xué)缺乏這種儀器．其次，該設(shè)備只能演示電子在固定方向磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，并且不具備精確測(cè)量功能，教學(xué)用途較為單一，通常只用于演示實(shí)驗(yàn)．演示實(shí)驗(yàn)中教師操作儀器，將物理現(xiàn)象直接呈現(xiàn)給學(xué)生，雖然有效果直觀，節(jié)省實(shí)驗(yàn)儀器，有利于降低成本，便于推廣等優(yōu)點(diǎn)，但是也存在著學(xué)生參與度低，缺乏動(dòng)手實(shí)踐過(guò)程，不利于發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新和實(shí)踐能力的缺點(diǎn)．

而基于Mathematica制作的教學(xué)程序，只需將程序打包，通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)即可共享給每一位教師和學(xué)生，解決了教學(xué)儀器不足的困難．并且程序的交互式功能允許學(xué)生配置不同參數(shù)，觀察磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)方向、荷質(zhì)比等不同因素對(duì)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響．學(xué)生能親身感受到磁偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象中，“磁場(chǎng)強(qiáng)度越強(qiáng)，帶電粒子越容易發(fā)生偏轉(zhuǎn)”“粒子電荷量越大，越容易發(fā)生偏轉(zhuǎn)”等規(guī)律，對(duì)“磁偏轉(zhuǎn)”現(xiàn)象形成初步的感性認(rèn)識(shí)．

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)

在初步認(rèn)識(shí)各種因素對(duì)“磁偏轉(zhuǎn)”現(xiàn)象的影響后，要解決本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)問(wèn)題：“帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡”的規(guī)律．由于中學(xué)不具備該內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)教學(xué)條件，通常教師會(huì)采用直接教授“圖像繪制規(guī)律”的教學(xué)方式，學(xué)生沒(méi)有經(jīng)過(guò)自己探索、體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，規(guī)律與認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間只是簡(jiǎn)單的映射關(guān)系，學(xué)生不容易形成有意義學(xué)習(xí)，這不利于學(xué)生將新知識(shí)內(nèi)化至自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，可能造成學(xué)生理解和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題等方面的困難．

而本程序能精確模擬不同初始條件下帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，教師可運(yùn)用其交互式操作功能開(kāi)展虛擬仿真實(shí)驗(yàn)．學(xué)生通過(guò)調(diào)節(jié)荷質(zhì)比、磁感應(yīng)強(qiáng)度、出射速度等不同參數(shù)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)探究，觀察不同條件下帶電粒子運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)邊界的運(yùn)動(dòng)軌跡，從實(shí)踐中獲得豐富的直觀經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)現(xiàn)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何特征．

如圖5、圖6、圖7分別展示了帶電粒子運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)左側(cè)邊界、底部邊界、右側(cè)邊界的軌跡情況．經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，教師帶領(lǐng)學(xué)生反復(fù)認(rèn)識(shí)帶電粒子圓周運(yùn)動(dòng)中圓心角和速度偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系，學(xué)生不難從中歸納出“圓心角大小等于速度偏轉(zhuǎn)角大小”的規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)幾何知識(shí)，掌握確定帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心以及運(yùn)動(dòng)軌跡繪制的方法，具備解決“帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)”一類問(wèn)題的關(guān)鍵能力．

圖5 左側(cè)邊界

圖6 底部邊界

圖7 右側(cè)邊界

3.3 習(xí)題訓(xùn)練

筆者引入一道教材中的例題，來(lái)展現(xiàn)本程序的習(xí)題教學(xué)功能．

【例題】如圖8所示，一個(gè)質(zhì)量為m、帶負(fù)電荷粒子電荷量為q，不計(jì)重力的帶電粒子從x軸上的P點(diǎn)以速度v沿與x軸成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y軸射出第一象限．已知OP=a，求：

圖8 題圖

(1)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的B的大?。?/p>

(2)帶電粒子穿過(guò)第一象限所用的時(shí)間．

考點(diǎn)分析：本例題通過(guò)在有界磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)考查學(xué)生對(duì)“磁偏轉(zhuǎn)”現(xiàn)象以及規(guī)律的理解．需要學(xué)生通過(guò)物理思維分析已知條件，判斷帶電粒子偏轉(zhuǎn)方向；根據(jù)速度偏轉(zhuǎn)角推斷出圓周運(yùn)動(dòng)軌跡圓心角大??；結(jié)合數(shù)學(xué)幾何知識(shí)確定粒子圓周運(yùn)動(dòng)的圓心位置和半徑大小，繪制出精確的帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，再進(jìn)行未知量的求解．

講解過(guò)程：

師：各位同學(xué)閱讀了題目中的已知條件，可以知道帶電粒子會(huì)沿什么方向運(yùn)動(dòng)？

生：已知磁場(chǎng)方向垂直平面向外，帶電粒子是負(fù)電荷，根據(jù)“左手定則”，可知粒子會(huì)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)．

師：大家的分析非常正確，題目已知粒子垂直于y軸射出第一象限，那么大家嘗試?yán)L制一下粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．

教師活動(dòng)：調(diào)節(jié)交互式程序的參數(shù)，模擬出如圖9符合題意的帶電粒子運(yùn)動(dòng)情況，帶領(lǐng)學(xué)生觀看帶電粒子動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，指導(dǎo)學(xué)生與Mathematica模擬的結(jié)果進(jìn)行校對(duì)，修正自己繪制的圖像．

圖9 帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

師：我們已經(jīng)求得圓心角等于120°，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和周期T之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：Mathematica交互式程序?qū)⒘?xí)題中靜態(tài)的物理現(xiàn)象動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)于課堂之上，提高了教師習(xí)題教學(xué)的互動(dòng)效能，動(dòng)態(tài)的物理現(xiàn)象和教師的講解刺激學(xué)生的視聽(tīng)覺(jué)，幫助學(xué)生建構(gòu)正確的物理運(yùn)動(dòng)概念，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解和運(yùn)用，掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍．

使用Mathematica軟件制作的交互式程序，能有效解決現(xiàn)實(shí)“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)”內(nèi)容教學(xué)中實(shí)驗(yàn)資源不足的困難，并且在新課教學(xué)、仿真實(shí)驗(yàn)和習(xí)題訓(xùn)練等場(chǎng)景均有很好的教學(xué)價(jià)值．教師和學(xué)生使用交互式程序時(shí)，可以根據(jù)需要設(shè)置荷質(zhì)比、磁場(chǎng)強(qiáng)度、發(fā)射速度等參數(shù)，既可以觀察帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，感受各個(gè)參數(shù)對(duì)磁偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象的影響，也可以觀察運(yùn)動(dòng)軌跡，總結(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何特點(diǎn)，歸納帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．學(xué)生經(jīng)歷完整的科學(xué)探究過(guò)程，既可以從中獲得感性的認(rèn)識(shí)，又可以增加理性的理解，提高物理學(xué)科核心素養(yǎng)．

4 結(jié)束語(yǔ)

基于Mathematica制作的仿真實(shí)驗(yàn)程序，融合了科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)、數(shù)學(xué)和編程等學(xué)科思維，體現(xiàn)出跨學(xué)科能力的重要性，這與STEAM教育理念十分契合，并且將其應(yīng)用于教學(xué)也符合教育部的“教育信息化”主張，因此Mathematica軟件在中學(xué)理科教育中具有很高的應(yīng)用價(jià)值．本程序?qū)⒔换ナ焦δ軕?yīng)用于高中物理的重要教學(xué)內(nèi)容——“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”，模擬了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，生動(dòng)形象地展示了各種因素對(duì)于帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，增強(qiáng)了教學(xué)的情境性和互動(dòng)性，有助于學(xué)生更深入理解其中的物理規(guī)律，促進(jìn)教學(xué)目的的達(dá)成．